2ая методичка МАТАН

						1			t,
	1					x
2								dx
	e	x	dx							dt,
									x2
		x2			1
1							x 2,
					1		t				1
							2

Ответ: e e.

1			1		1
2
		t	2			1
t	dt e				2			e	e.
e			1	e		e
1

2

в) x cosx dx.

0

Решение

Для нахождения данного интеграла воспользуемся формулой (2.4) интегрирования по частям

2

x

0

cosx dx	u x du dx,
	dv cosxdx v

	xsin x		2	2
sin x				sin xdx
		0		0

						sin		0 sin0 cosx	2		cos		cos0		1.
		2					2		0	2		2		2
Ответ:				1.
		2
1 2			x3dx
г)							.
	x2	3x 2
0

Решение

Степень числителя подынтегральной функции больше степени знаменателя, поэтому необходимо выделить целую часть

x3		x2 3x 2
x3 3x2 2x		x 3

3x2 2x

3x2 9x 6

7x 6

Следовательно, рациональное выражение под знаком интеграла запишем в следующем виде

40

x3		7x 6
	x 3		.
x2 3x 2		x2 3x 2

Знаменатель оставшейся дроби раскладывается на множители, поэтому разложим ее на простейшие

7x 6			A			B		A(x 2) B(x 1)
									.
x 1 x 2			x 1			x 2		x 1 x 2

Найдем коэффициенты A и B

x1 : 7 A B, x0 : 6 2A B,

A 1, B 8.

Таким образом, в исходном интеграле подынтегральное выражение запишем в виде суммы целой части и простейших дробей и вычислим интегралы от каждого слагаемого

								1										x3dx										1										1						8
								2																				2
																															x 3																			dx
																x2 3x 2																						x 1
								0																				0																x 2
																			x2																													12
																								3x ln								x 1		8ln							x 2
																					2
																																																0
												1						3		ln					1	8ln					3		8ln2						13				ln2 8ln												3		.
																															2
								8									2								2													8																	4
	Ответ:					13			ln2 8ln													3		.
							8														4
	Задача 2.3. Вычислить несобственные интегралы.
	а) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
					x2dx																				arctg2xdx																																			dx
1)											;										5)																;							9)																									;
																													1 4x2
	0		3 x3 8 4																						0																								2 4 x2												arctg					x
																																																																		2
					dx																											16dx
																					6)				1																;
2)	1													;																																													dx
																												4x2 4x 5
			9x2 9x 2																																									10)																			;
																																																					x2
																									2																																	2x ln3
					xdx																									x3dx																			1
3)														;							7)																;
			4x		2																																																		3x
																																												11)						xe									dx;
																													16x4 1
	0				4x 5																				0
							dx																							x 2 dx																			0
4)																			;			8)																		;									0			x2										x
		1 9x					2	arctg							2
	1																3x								0				3 x2 4x 1 4															12)																					dx;
																																																								3						1 x		2
	3																																																			x						1

41

														xdx																											3 x2 dx																																		dx
13)																							;								19)																						;												25)																		;
				1							16x4 1																						0											x2 4																						0			2x2 2x 1
														dx																			0													xdx																									xdx
14)																					;										20)																								;										26)													;
											2
																																																																							4
				1						x			x 1																															x2 4 3																						0		16x 1
														xdx																																4dx																											dx
15)																										;					21)																										;								27)															;
																					5																																																									2
																																		1							x1 ln2 x
				0					4 16 x2																																																									e2			x lnx 1
															xdx																																																													dx
16)																												;			22)			xsin xdx;																															28)																						;
																																																																				6x				2
				4								x2 4x 1																					0																																	1								5x 1 ln0,75
															dx																		1															7dx																					16xdx
17)																														;	23)																															;			29)													;
																																																																					2
									x2						4x 5
																																									x2
			1																																													4x ln5																		1		16x							1
														xdx																																																												dx
																																												2						arctg2x
18)																									;						24)																																	dx;	30)																.
																																																																					x	2		3x 2
										x2 4x 5
			1																														0											1 4x2																						3
		б) Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:
	1											dx																				1																dx																						cos3xdx
		2																															3																																	6
1)																		;													7)																											;							13)																				;
						2x							1			2
		0																														0				9x2 9x 2																														0		6 1 sin3x 5
	1																															2												xdx																						1			xdx
		4								dx																					8)
2)																	;																																										;						14)										;
																																						x							3
																																												2																									4
					3
									1 4x																																												ln2
		0																														1														1																				01 x
										tg x																							0											dx																						2
		2																																																																3 3 ln 2 3x
3) 0							e								dx;																9)	3																					;												15)	0																dx;
																																												4x 3
																																																																							2 3x
						cos							2 x																						4
	3																																								sinxdx																									1									ln2
		2												dx
																																																																		1 1 x ln2 1 x dx;
4)																									;						10)		7																		;														16)
																																												cos2 x
										3x x2									2
		1																																	2																															2
	5									x			2	dx																			2															dx																		1									dx
5)																					;										11)																														;				17)																			;
																																					5																																				2
							31 x3 1																																																													20x
	1																																1									4x x2 4																								1									9x 1
		1								dx																																					2																			4		ln 3x 1
																																	1 2e																	arcsinx																1
6)	1																;
																															12)																																	dx;	18)														dx;
					9
										1 2x
																																																																						3x 1
																																																1 x2
		2																															0																																	13

42

	2				x2dx												1							dx											3			dx
19)													;			23)													;					27)											;
																				5																3
	0			64 x6													3	4						3 4x											1			3 x 5
	1			x4dx													1																						1
20)									;											2xdx															13 e3
	0															24) 0											;												x
		3 1 x5
																																		28)							dx;
																						1 x4
	3																																					x2
21)		3 9xdx									;							0							dx										0
																																			3
	0															25)		1													;							dx
		3 9 x2																																29)
																							3																								;
																									1 3x
																																						x2 6x 9
																	4	3																	1
	2 3sin3 xdx																							10xdx											1
22)														;		26)																						dx
							cosx																										;	30)	0								.
	0																0	4			16 x2 3															3		2 4x
	Пример 2.3
	Вычислить несобственные интегралы.
								3dx
	а)															.
					3x2			6x 5
				2

Решение

Данный интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственный интеграл первого рода).

B

f x dx

lim f x dx,

(2.6)

a

B

a

где функция f x интегрируема на произвольном отрезке a;B .

Согласно определению (2.6), получаем

B

3dx

3dx

lim

.

3x

2 6x 5

3x2

6x 5

B

2

2

Вычислим интеграл под знаком предела (выделим в знаменателе полный квадрат), а затем найдем значение предела

					B								3dx																B									dx													B								dx
lim																						lim																								lim
																																										5																						2
B									3x2				6x 5									B																							B														2
					2																								2				x2 2x																				2 x 1
																																										3																						3
																	x 1								B																								B 1
							3								3																				3													3
lim											arctg																										lim																					arctg						3
																																									arctg
B							2								2																				2 B																2
																										2
3																		3 B 1																		3																	3									6
						lim
												arctg										2							3													2																			12			.
		2 B																																		2									3						2 6

43

6

Ответ: .

1	12
		xdx
б)				.
0	1 x2

Решение

Подынтегральная функция не ограничена вблизи точки x 1, поэтому данный интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции (несобственный интеграл второго рода).

b	f x dx		b
		lim		f x dx,	(2.7)
		0
a			a

где функция f x непрерывная, но неограниченная на полуинтервале a;b . Исходя из определения (2.7), получаем

1		xdx			1		xdx
				lim					.
0	1 x2			0	0	1 x2

Вычислим интеграл под знаком предела методом замены переменной (при этом границы интегрирования также необходимо заменить), а затем найдем значение предела

						1 x2	t,
	1					2xdx dt,											2 2														2 2
lim			xdx			xdx					dt	,		1	lim			dt								1	lim 2 t
	0																1
0		1 x2					2							2 0						t						2 0					1
						0 x 1 ,
						1 t 2 2
											2 2
			lim					t					lim				2 2						1 1.
						0				1			0
Ответ: 1.

Задача 2.4. Функция предельного дохода некоторого предприятия имеет вид Rпред q R q . Найти функцию дохода и закон спроса на продукцию

данного предприятия.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 1 по 15:

						q										2
	9 q e						;			3)	R q 45 0,02q 0,001q ;
															2
1) R q					9					4)
				q2							R q 25 0,3q 0,04q ;
										;			q
2) R q		q		400
										5)				;
			3									5

44

6)										11)
	R q 30 0,03q;										R q 40 0,04q;
7)								2		12)							2
	R q 25 0,4q 0,06q ;										R q 55 0,05q 0,002q ;
				q									q2
	R q 7 q e 7 ;
8)										13)			;
											R q
9)									2				q3 1600
	R q 45 0,04q 0,003q ;									14)						2
			q2								R q 30 0,2q 0,05q ;
											R q 20 0,02q.
			;							15)
10) R q
			q3 900

Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид Спред q С q . Найти функцию издержек, если фиксированные издержки

составляют F ден. ед. в месяц, и определить издержки производства K из-

делий в месяц.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам с 16 по 30:

16)		F 2500,	K 250;
	C q 50 0,02q,
17)		2	F 200,	K 250;
	C q 60 0,04q 0,003q ,
18)		F 1800,	K 150;
	C q 60 0,04q,
19)		F 2000,	K 230;
	C q 60 0,03q,
20)		2	F 250,	K 200;
	C q 75 0,03q 0,001q ,
21)		F 2000,	K 150;
	C q 50 0,05q,
22)		F 3500,	K 300;
	C q 80 0,05q,
23)		2	F 300,	K 150;
	C q 65 0,04q 0,002q ,
24)		F 2500,	K 250;
	C q 90 0,06q,
25)		F 1500,	K 150;
	C q 65 0,02q,
26)		2	F 250,	K 200;
	C q 70 0,02q 0,002q ,
27)		F 2000,	K 350;
	C q 75 0,02q,
28)		F 3000,	K 350;
	C q 70 0,04q,
29)		2	F 150,	K 100;
	C q 80 0,03q 0,002q ,
30)		F 3000,	K 400.
	C q 95 0,08q,

Пример 2.4

Задана функция предельного дохода R q 20 0,04q. Найти функцию

дохода и закон спроса на продукцию.

Решение

Известно, что функция предельного дохода является производной функции дохода, следовательно, для нахождения уравнения функции дохода следует вы-

45

числить интеграл от выражения, определяющего предельную функцию дохода, т.е.

R q R q dq 20 0,04q dq 20q 0,02q2 C.

Найдем константу C из условия, что при производстве нуля единиц продукции значение функции дохода равно нулю

R 0 20 0 0,02 02 C,

С 0,

таким образом,

R q 20q 0,02q2.

Если каждая единица продукции продается по цене p, то доход определяется

формулой

R qp.

Следовательно, деля на q функцию дохода, находим закон спроса p q

p q 20 0,02q

или

qD p 50q 1000.

Ответ: R q 20q 0,02q2 – функция дохода, qD p 50q 1000 – за-

кон спроса на продукцию.

Замечание. При нахождении функции издержек C q следует учитывать, что ее значение равно значению фиксированных издержек, при условии, что ничего не производится (в точке q 0).

Задача 2.5. Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренца y f x , где y – доля совокупного дохода, получаемая частью x

наиболее низко оплачиваемого населения. Определить часть дохода, которую получают N % наиболее низко оплачиваемого населения. Посчитать коэф-

фициент неравномерности распределения совокупного дохода. Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)	y		9	x2		1	x,	N 10;		7)	y	14				x2			1				x,		N 15;
	10				10						15							15
2)	y 0,87x2				0,13x,				N 8;	8)	y 0,77x2							0,23x,								N 8;
3)	y		9	x2		3	x,	N 4;		9)	y		6			x2				4			x,		N 5;
	12				12						10							10
4)	y 0,96x2				0,04x,				N 8;	10)	y 0,82x2 0,18x,															N 10;
5)	y	13		x2		1	x,	N 14;		11)	y			8			x2				6			x,	N 14;
					14
	14										14							14
6)	y 0,78x2				0,22x,				N 10;	12)	y 0,95x2 0,05x,															N 12;

46

13)	y	11					x2		4			x,	N 15;
								15
	15
14)	y		10				x2		2			x,	N 6;
								12
	12
15)	y 0,85x2							0,15x,						N 15;
16)	y	11					x2		3			x,	N 14;
								14
	14
17)	y			8			x2		2			x,	N 5;
								10
	10
18)	y 0,75x2							0,25x,						N 12;
19)	y			8			x2		4			x,	N 3;
								12
	12
20)	y 0,89x2							0,11x,						N 15;
21)	y		12			x2			2			x,	N 7;
								14
	14

22)	y 0,74x2					0,26x,				N 10;
23)	y		7		x2		5	x,	N 12;
						12
	12
24)	y 0,92x2					0,08x,				N 10;
25)	y		10		x2		4	x,	N 7;
						14
	14
26)	y		7		x2		3	x,	N 10;
						10
	10
27)	y 0,88x2					0,12x,				N 5;
28)	y	13		x2			2	x,	N 15;
						15
	15
29)	y 0,76x2					0,24x,				N 15;
30)	y		9		x2		5	x,	N 14.
						14
	14

Пример 2.5

Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренца

y	11	x2		1	x, где y – доля совокупного дохода, получаемая частью x
12			12

наиболее низко оплачиваемого населения. Определить часть дохода, которую получают 12% наиболее низко оплачиваемого населения. Посчитать коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.

Решение

По условию наиболее низко оплачиваемого населения 12%, следовательно, для того, чтобы найти его часть дохода, необходимо вычислить значение совокупного дохода в точке x 0,12

y 0,1 11 0,122 1 0,12 0,0232. 12 12

Таким образом, 12% наиболее низко оплачиваемого населения получают 2,32% совокупного дохода.

Отклонение реального распределения доходов от идеального измеряется отношением L и называется коэффициентом неравномерности распределения совокупного дохода

1
L 2 x f x dx,	(2.8)
0

где y f x – уравнение кривой Лоренца.

47

По формуле (2.8) находим коэффициент L неравномерности распределения совокупного дохода

1		11				1							1			11								11										11				1
L 2 x					x2					x	dx 2											x							x2		dx 2							x x2 dx
		12																	12
0						12							0											12										12				0
							11 x2							x3				1				11 1							1					11
																																				.
																						6
								6 2						3				0						2					3					36

Ответ: 12% наиболее низко оплачиваемого населения получают 2,32% совокупного дохода; коэффициент неравномерности распределения совокупного до-

11

хода равен		.

36

48

Раздел III. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Функции многих переменных»: нахождение частных производных первого, второго порядка и полного дифференциала функции многих переменных, вычисление смешанных производных, исследование функции многих переменных на глобальный и локальный экстремум. Отметим, что раздел содержит задачи с экономическим содержанием, при решении которых необходимо применить сведения, полученные при изучении данной темы.

При выполнении семестровой работы и самостоятельной подготовке к учебным занятиям целесообразно рассмотреть теоретический материал и методы решения задач, которые представлены в учебных пособиях Н. Ш. Кремера, В.А. Малугина, В.И. Малыхина и в практикумах В.И. Ермакова, Г.Н. Бермана.

Задача 3.1. Найти частные производные первого порядка функции двух переменных z z x, y .

Данные к условию задачи, соответствующие варианту:

3xy

11)

z arctg x2 y2 ;

1)

z

;

xy

2x 5y

12)

z ln y2

e x ;

21)

z x2 y2

;

y

y

22)

y arccos x

;

2)

z sin

;

z sin

xy

13)

;

x y

z e x2 3y2 ;

x3

3x

23)

3)

z

2

;

14)

z 2y2

;

24)

z

3

y

;

5 x2 y3

6 x2 y2

x2 5y

4)

z ln 4 x

2

y

2

;

15)

z

2y

;

25)

y cos

y

2

x

;

5)

z

x2 y2 5;

3 2x2 ey

y x2

z

;

16) y sin

x2

y

;

26)

z arcctg xy2 y ;

6)

y2 x2 xy

7)

z arccos 2x3

3y2 ;

x y2

27)

z x

2

y2

;

17)

z e

xy

y

2

x;

y

x 5y

8)

z 3x

;

18)

z ln 3x

2

y

4

;

z tg

2x y2

2 x y

x3 3y

28)

;

9)

z arcsin

x 2

;

19)

z arcctg

;

x

y x

29)

z e x2 ln xy ;

y2 1

10)z e

;

x

x2

.

x 3y 7

20)

z ctg

;

30)

z

y2

x y

2x 5y

Пример 3.1

Найти частные производные первого порядка функции z ex y2 ex2 y .

49