I этап – Умножение на однозначное число

При ознакомлении учащихся с письменным умножением лучше взять такой пример на умножение трех- или четырехзначного числа на однозначное, где были бы переходы через десяток или через сотню, т.е. где устно умножать трудно.

Возьмем пример: 418 * 3.

Сначала учащиеся решают его знакомым им способом: заменяют первый множитель суммой разрядных слагаемых и умножают сумму на число:

418 * 3 = (400 + 10 + 8) * 3 = 400 * 3 + 10 * 3 + 8 * 3 = 1200 + 30 + 24 = 1254

Далее предлагается решить еще раз этот же пример, переставив разрядные слагаемые:

418 * 3 = (8 + 10 + 400) * 3 = 8 * 3 + 10 * 3 + 400 * 3 = 24 + 30 + 1200 = 1254

После этого учитель знакомит учащихся с письменным умножением на однозначное число: показывает новую запись столбиком с подробным объяснение решения этого же примера.

Надо умножить 418 на 3. Записываем второй множитель под единицами первого множителя. Проводим черту, слева ставим знак умножения «X» (надо пояснить детям, что умножение обозначается не только точкой, но и таким знаком, хотя и здесь можно использовать точку).

Начинаем письменное умножение с единиц.

х	418
	3

1254

• Умножаем 8 единиц на 3, получается 24 единицы. Это два десятка и 4 единицы;

• 4 единицы пишем под единицами, а 2 десятка запомним;

• 1 десяток умножим на 3, получим 3 десятка, да еще 2 десятка, получим 5 десятков, пишем их под десятками;

• 4 сотни умножаем на 3, получим 12 сотен. Это 1 тысяча и 2 сотни.

• 2 сотни пишем под сотнями и 1 тысячу пишем на месте тысяч.

• Произведение 1254.

От подробного объяснения решения примеров учащиеся под руководством учителя переходят к краткому объяснению, когда опускается название разрядных единиц и выполняемых преобразований, например:

578 надо умножить на 4.

х	578
	4

2312

Умножаю 8 на 4, получится 32. 2 пишу, а 3 запоминаю.

7 умножу на 4, получится 28, да 3 всего 31; 1 пишу, а 3 запоминаю.

Умножаю 5 на 4, получится 20, да 3.

Всего 23; записываю 23.

Произведение 2312.

Можно объяснить и так: четырежды восемь — тридцать два. 2 пишу, 3 запоминаю.

Четырежды семь — двадцать восемь и т.д.

Запись можно выполнять и в строчку: 578 * 4 = 2312.

В начале изучения темы учитель сам сообщает ученикам, что письменное умножение на однозначное число начинается с единиц, а позднее полезно разъяснять, почему письменное умножение, подобно сложению и вычитанию, начинают с низшего, а не с высшего разряда. С этой целью один и тот же пример решают двумя способами:

х	184		х	184
	3			3
	342 55			552

Оказывается, что начинать письменное умножение на однозначное число с единиц высшего разряда неудобно, потому что приходится зачеркивать ранее записанные цифры.

Рассмотрим случаи с нулями в первом множителе.

Пусть надо 42 300 умножить на 6.

Решение таких примеров записывают следующим образом:

х	42300		х	423 сот
	6			6
	253800			2538 сот

Объяснение:

• подписываю второй множитель 6 под первой отличной от нуля цифрой первого множителя, под цифрой 3;

• в числе 42 300 содержится 423 сотни;

• умножаем 423 сотни на 6, получится 2538 сотен, или 253 800.

При решении аналогичных примеров с подробным объяснением надо обратить внимание детей, что в таких случаях выполняют умножение, не обращая внимания на нули, записанные в конце первого множителя, и к полученному произведению приписывают справа столько же нулей, сколько их записано в конце первого множителя. При этом ведется краткое объяснение: трижды шесть — 18, восемь пишу, 1 запоминаю, дважды шесть ... припишу справа два нуля, получится 253 800.

На данном этапе следует предлагать учащимся и умножение однозначных чисел на многозначные: 9 * 136, 4 * 2836, 7 * 1230. При решении таких примеров используется переместительное свойство умножения:

136 * 9, 2836 * 4, 1230 * 7.

Ученики, ознакомившись с письменными приемами вычислений, часто используют их в тех случаях, когда легко выполнить вычисление устно. Важно предупредить этот нежелательный перенос. С этой целью надо 1) больше включать в устные упражнения соответствующие случаи умножения, 2) сравнивать письменный и устный приемы умножения на однозначное число.

Вслед за умножением на однозначное число натуральных чисел дается умножение величин, выраженных в метрических единицах, например:

9 т 438 кг * 3;

7 км 438 м * 6.

Эти примеры можно решать по-разному: сразу выполнить умножение или сначала заменить величины, выраженные в единицах двух наименований, величинами одного наименования и выполнить действие:

		9 т 438 кг * 3 = 28 т 314 кг
х	9 т 438 кг		х	9438
	3			3
	28 т 314 кг			28314 (кг)

Первый способ чаще применяется на практике при умножении величин, выраженных в единицах стоимости

18 руб. 25 коп. * 3 = 18 руб. * 3 + 25 коп. * 3 = 54 руб. 75 коп.

Второй же способ используется при решении задач, а также в дальнейшем при умножении величин на любое двузначное и трехзначное число.

18. Методика изучения письменного алгоритма умножения (2 этап).

II этап. Умножение на разрядные числа.

После того как учащиеся твердо усвоят умножение на однозначное число, рассматриваются приемы умножения на 10, 100, 1000, а затем на 40, 400, 4000.

При умножении на двузначные—четырехзначные разрядные числа используется свойство умножения числа на произведение, например:

14 * 60 = 14 * (6 * 10) = 14 * 6 * 10 = 840.

Для знакомства с этим свойством учащимся предлагается вычислить разными способами значение выражения 16 * (5 * 2). Под руководством учителя они находят значение выражения такими способами;

16 * (5 * 2) = 16 * 10 = 160

16 * (5 * 2) = (16 * 5) * 2 = 80 * 2 = 160

16 * (5 * 2) = (16 * 2) * 5 = 32 * 5 = 160

Учащиеся замечают, что

• в первом случае они умножили число 16 на произведение чисел 5 и 2;

• во втором — число 16 умножили на первый множитель 5 и полученное произведение умножили на второй множитель 2;

• в третьем — число умножили на второй множитель 2 и полученное произведение умножили на первый множитель 5;

• значения выражений одинаковые.

После выполнения нескольких таких упражнений учащиеся формулируют свойство: «Чтобы умножить число на произведение, можно найти произведение и умножить число на полученный результат, а можно умножить число на один из множителей и полученный результат умножить на другой множитель».

Свойство умножения числа на произведение применяется при выполнении разнообразных упражнений:

• решение примеров и задач различными способами, например:

8 * (10 * 3);

• удобным способом, например: 25 * (2 * 7) = (25 * 2) * 7 = 350;

• сравнение выражений, например. 24 * 5 * 10 и 24 * 50 и др.

Затем это свойство используется для раскрытия вычислительного приема умножения на двузначные — четырехзначные разрядные числа.

Предварительно вводятся подготовительные упражнения на замену разрядных чисел произведением однозначного числа и 10 (100, 1000), например: 70 = 7 * 10, 600 = 6 * 100.

Далее рассматриваются устные приемы умножения на разрядные числа. Например, надо 15 умножить на 30; представим число 30 в виде произведения удобных множителей 3 и 10, по­лучим пример: 15 умножить на произведение чисел 3 и 10; здесь удобнее умножить число 15 на первый множитель — на 3 и по­лученный результат 45 умножить на второй множитель —на 10, получится 450. Запись:

15 * 30 = 15 * (3 * 10) = (15 * 3) * 10 = 450

Учащиеся иногда смешивают свойство умножения числа на произведение со свойством умножения числа на сумму.

Например, ошибка вида 15 * 12 = 300 свидетельствует о таком смешении: ученик умножает 15 на 2 и полученный результат умножает на 10, т.е. он заменил число 12 суммой разрядных слагаемых 10 и 2, а далее умножал как на произведение этих чисел, т.е. на число 20.

Аналогичная ошибка встречается также при выполнении упражнений на сравнение выражений, например:

27 * 7 * 10 = 27 * 7 + 27 * 10

Чтобы предупредить такие ошибки, полезно предлагать упражнения на сравнение соответствующих приемов вычислений. Например, учащиеся решают с комментированием и подробной записью следующие примеры:

6 * 50 = 6 * (5 * 10) = 6 * 5 * 10 = 300

6 * 15 = 6 * (10 + 5) = 6 * 10 + 6 * 5 = 90

Затем выясняется, что в обоих примерах одинаковые первые множители, но разные вторые; при решении примеров второй множитель (50) заменили произведением удобных множителей (5 и 10) и использовали свойство умножения числа на произведение: умножили число 6 на первый множитель и полученное произведение умножили на второй множитель. Во втором примере множитель 15 заменили суммой разрядных слагаемых 10 и 5 и использовали свойство умножения числа на сумму; умножили число 6 на первое слагаемое, потом умножили это же число 6 на второе слагаемое и полученные результаты сложили.

Полезно предлагать детям и упражнения на сравнение выражений (поставить вместо пустых клеток знак «>», «<» или « = »):

36 * 10 * 4 □ 36 * 14 17 * 5 * 10 □ 17 * 50

45 * 6 + 45 * 10 □ 45 * 60 16 * 10 □ 16 * 3 +16 * 10

21 * 4 + 21 * 3 □ 21 * 12 18 * 9 + 18 * 10 □ 18 * 19

В целях предупреждения ошибок в смешении свойств арифметических действий, изучаемых в начальных классах, надо чаще выполнять упражнения в их сравнении.

После изучения приемов устного умножения на разрядные числа вводятся приемы письменного умножения. Предлагается решить пример 546 * 30.

Будем вычислять письменно, запишем пример так:

х	546
	30
	16380

Число 546 сначала умножим на 3, и полученный результат умножаем на 10. Умножаем 546 на 3:

• трижды шесть — 18; восемь пишем, 1 запоминаем;

• трижды четыре — 12, да 1, получится 13, три пишем, 1 запоминаем;

• трижды пять — 15, да 1, получится 16, записываем 16, получаем 1638.

• Умножаем 1638 на 10, для этого приписываем к полученному числу справа один нуль.

• Произведение 16 380.

Заметим, что здесь при умножении на однозначное число (546 * 3) пользуемся кратким пояснением. Аналогично следует поступать и в дальнейшем, когда в новых, более сложных случаях умножения составной частью является умножение на однозначное число.

Умножение на трехзначные и четырехзначные разрядные числа выполняется так же, как и умножение на двузначные разрядные числа.

Особого внимания заслуживают те случаи, в которых оба множителя оканчиваются нулями, например: 20 • 30, 400 • 50, 800 • 70, 4000 • 60 и т.д.

Сначала при решении таких примеров учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить 300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, а затем полученное число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15000.

Такие примеры записываются в строчку и решаются устно.

Аналогичным образом рассуждают ученики и при письменном умножении в том случае, когда оба множителя оканчиваются нулями.

Записывать такие примеры в столбик удобнее следующим образом:

х	7800		х	3670		х	1320
	30			20			400
	234000			73400			528000

Наблюдая за выполнением умножения чисел, оканчивающихся нулями, ученики приходят к выводу, что сначала в этих случаях надо умножать числа, которые получатся, если отбросить эти нули, а затем к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей вместе. В дальнейшем при умножении чисел, оканчивающихся нулями, учащиеся руководствуются этим выводом.

19. Методика изучения письменного алгоритма умножения (3 этап).