4.3. Самостоятельная работа студента, выполняемая

вне аудиторных занятий: расчетно-графические работы (трудоемкость – ЗЕ).

Раздел дисциплины	№ недели		Наименование расчетно-графических работ
					ЗЕ
1. Z- преобразования и дискретные преобразования Лапласа		1	1. Передаточная функция. Импульсная и переходная характеристики. Различные формы записи решений линейных дифференциальных уравнений [1]	0,138
		2	2. Решение разностных уравнений и систем уравнений и систем уравнений методом Z- преобразований [1,13]	0,138
2. Случайные процессы и их описание при помощи корреляционных функций		3,4	3. Преобразование стационарных случайных функций линейными системами 4. Определение характеристик случайного процесса по опытным данным [2,3,12]	0,278
3. Матричные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений		5	5. Фазовый портрет на плоскости. Понятие качественной эквивалентности линейных дифференциальных уравнений [4,10]	0,139
		6-8	6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты [4]	0,167
4. Элементы теории устойчивости		9-12.	7. Анализ устойчивости линейных систем. Критерии Гурвица, Михайлова 8. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению 9. Нелинейные системы. Геометрические методы анализа [4,6,7,9]	0,417
5. Элементы вариационного исчисления		13-17	10. Вариационные задачи с закрепленными и подвижными границами 11. Задача на принцип максимума Понтрягина [8]	0,306
		ИТОГО		1,583

Контрольная точка 1 (ргр 1,2,3,4)

1. Характеристики динамических звеньев

2. Z – преобразования и решение разностных уравнений

3. Случайные процессы. Корреляционная теория.

Контрольная точка 2 (РГР 5,6)

1. Качественная теория решений ДУ. Фазовые портреты

2. Матричный способ решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений порядка

3. Матричный способ решения систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений порядка

4.Анализ систем линейных ду порядка

Контрольная точка 3 (РГР 7,8)

1. Анализ устойчивости линейных систем (критерии Гурвица, Михайлова)

2.Устойчивость нелинейных систем по первому приближению.

Геометрические методы анализа.

Контрольная точка 4 (РГР 10, 11)

1.Элементы вариационного исчисления. Вариационные задачи с закрепленными и подвижными границами

2. Принцип максимума Понтрягина

РГР 1. Характеристики динамических звеньев

Литература

1. Казунина Г.А. и др. Дискретные и интегральные преобразования: КузГТУ. – 1999

2. Казунина Г.А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие [электронный ресурс].- КузГТУ.- 2009

Для динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями, найти следующие характеристики:

1. Передаточную функцию - отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях

2. Импульсную переходную характеристику систем

( реакцию системы на импульсное входное воздействие)

3. Переходную характеристику системы (реакцию системы на ступенчатое воздействие)

4. Найти реакцию системы на входное воздействие двумя способами а) операторным методом, б) методом свертки

А)

В)

5. Найти частотную передаточную функцию , а также

А) амплитудно – частотную характеристику

В) фазово-частотную характеристики

.

С) Постройте графики функций .Примечание: последний график можно построить как функцию параметра ω, используя компьютер.

Пример выполнения задания (вариант 10).

1. Из уравнения , переходя к изображениям Лапласа при нулевых начальных условиях, находим передаточную функцию:

.

2. Поскольку передаточная функция не является правильной дробью, то для перехода к оригиналу выделяем целую часть и остаток

.

3. В результате импульсная переходная характеристика имеет вид

.

Переходную характеристику находим как интеграл от импульсной переходной характеристики:

4.Реакцию системы на внешнее воздействие находим двумя способами. Так для сигнала получаем:

Способ 1.

Способ 2 Используем формулу свертки с импульсной переходной или переходной характеристикой, например, формулу Дюамеля:

Для входного сигнала получаем:

Способ1.

Способ 2.

5.Находим частотную переходную характеристику

;

А) Амплитудно-частотная характеристика

Б) Фазово-частотная характеристика

С) Амплитудно-фазовая характеристика строится как кривая в координатах .Кривую можно построить аналитически, исключив параметр ω из системы уравнений:

Окончательно получаем смещенную окружность

ВАРИАНТЫ

1) , 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

РГР 2. Z – преобразования и разностные уравнения

Литература

1. Казунина Г.А. и др. Дискретные и интегральные преобразования: КузГТУ. – 1999

2. Казунина Г.А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие [электронный ресурс].- КузГТУ.- 2009

-преобразованием для числовой (действительной или комплексной) бесконечной последовательности называют функцию комплексной переменнойкоторая определяется как разложения в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки:

Если функция является решетчатой функцией и удовлетворяет условиюто ряд Лорана сходится в областито есть вне круга с центром в начале координат и радиусомФункцияявляется в этой области аналитической функцией.

Пример 1. Найти Z-преобразование функции .

Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:

Так как данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем и первым членом прогрессии, равным, то сумма ряда равна:

Область сходимости ряда:

В дальнейшем будем обозначать соответствие между решетчатой функцией и ее Z- преобразованием следующим образом:

Пример 2. Найти Z-преобразование для функции

Разложение функции в ряд Лорана имеет вид:

Область сходимости ряда определяется соотношением: или Полную таблицу преобразований найдите в указанной выше литературе.

Восстановить решетчатую функцию-оригинал (общий член последовательности) можно используя общую формулу для коэффициентов ряда Лорана в окрестностях :

Сумма вычетов берется по всем особым точкам, лежащим в конечной части плоскости.

Пример. Восстановить решетчатую функцию

Функцию x[n] восстановим по формуле для коэффициентов ряда Лорана:

С учетом того, что данная функция имеет простые полюсы в точкахz = 2 и z = 3, получаем:

Некоторые свойства преобразований:

1. ,

2. 

ВАРИАНТЫ

Решите линейные разностные уравнения и системы уравнений:

1. Ответ:

2)

Ответ: .

3. 

Ответ:

3. Ответ:

РГР3,4. Случайные процессы. Корреляционная теория.

Литература.

1. Сборник задач по математике для втузов, часть 3 « Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. Ефимова А.В. М., « Наука», 1990 (имеется в библиотеке университета).

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М: Высшая школа, 1999

3. Хрущева И.В. Основы математической статистики и теории случайных процессов [электронный ресурс]: учеб. пособие.- СПб: Лань, 2009

1. По заданной ковариационной функции стационарного случайного процесса найти

а) спектральную плотность :

б) время корреляции (эффективную длительность автокорреляционной функции)

,

с) эффективную ширину спектра :

д) среднюю мощность случайного процесса

ВАРИАНТЫ

1) , 2)

3) 4)

2. По заданной спектральной плотности стационарного случайного процесса найдите:

а) автоковариационную функцию

б) дисперсию

с) эффективную ширину спектра:

3. На вход линейной динамической системы подается случайный сигнал, заданный спектральной плотностью или автоковариационной функцией. Найдите характеристики сигнала на выходе системы: , , среднюю мощность случайного процесса. Сравните дисперсии ( средние мощности ) на входе и выходе системы: и , сравните эффективную ширину спектра и эффективное время корреляции на входе и выходе системы. При решении задачи используйте связь между спектральной плотностью на входе и выходе системы:

ВАРИАНТЫ (выбрать одно уравнение и один вид входного сигнала по указанию преподавателя)

Дифференциальные уравнения линейных систем:

1)

2)

3)

4)

5)

Возможные входные сигналы:

а) белый шум,

б) низкочастотный белый шум

и ,

с) сигнал с автоковариационной функцией

,

д) сигнал с автоковариационной функцией

РГР 5. Линейные дифференциальные уравнения. Качественная теория. Фазовые портреты.

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

ВАРИАНТЫ

1.Построить фазовые портреты для автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Разбить уравнения на классы качественно эквивалентных и для каждого класса схематично построить интегральные кривые:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11)

12) 13)

2. Системы дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами удобно анализировать и записывать в матричной форме, вводя обозначения:

матрица - столбец неизвестных,

матрица - столбец производных,

матрица - коэффициентов системы .

Система дифференциальных уравнений переписывается следующим образом:

_.

ПРИМЕР. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

эквивалентно системе линейных уравнений

с матрицей коэффициентов . Фазовыми траекториями этой системы является семейство гипербол . Матрица системы имеет собственные значения и и и может быть приведена к более простой матрице в базисе из собственных векторов . При этом матрица перехода . В новой системе координат исходная система уравнений принимает более простой вид

_.

Исключив параметр t, получаем, что уравнение фазовых траекторий имеет вид: x₁x₂ = C. Это также гиперболы. Но оси симметрии этих гипербол повернуты на угол φ = π / 4 относительно осей гипербол .

Заметим, что характер фазового портрета в окрестности точки (0; 0) (характер особой точки) сохраняется и является «седлом».

Две системы дифференциальных уравнений первого порядка называются качественно эквивалентными, если существует непрерывное взаимно однозначное преобразование, которое переводит фазовый портрет одной системы в фазовый портрет другой, так что сохраняется ориентация траектории (тип фазового портрета).

Сохранение фазового портрета «седло» при переходе к новой системе координат

ПРИМЕР. Линейному дифференциальному уравнению второго порядка

соответствует система уравнений

с матрицей коэффициентов .

Исключив параметр t из системы уравнений, для нахождения фазовых траекторий получаем однородное дифференциальное уравнение

.

Обозначив получаем

.

При имеем семейство парабол

(3.6)

с осью симметрии, расположенной под угломк осиОХ₁.

Замечание. Тип кривой определяется из общего уравнения кривой второго порядка . Параболическому типу соответствует; эллиптическому типу гиперболическому типу

Для приведения системы к более простому виду находим собственные значения матрицы А: ; и собственные векторы: .

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид

;

В базисе Е₂ исходная матрица принимает простой вид

:

,

а исходная система преобразуется в систему

После исключения t и интегрирования получаем уравнения фазовых траекторий, которые также являются параболами

.

Для построения фазовых траекторий в случае «седла» и «вырожденного узла» нужно, прежде всего, найти фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Эти направляющие прямые - сепаратрисы всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы А. Для особой точки типа «узел» траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению .

Уравнения направляющих прямых можно найти, положив x₂ = kx_{1 ,}

.

Сохранение характера фазового портрета типа «неустойчивый узел» при переходе к новой системе координат

Над приведенными дифференциальными уравнениями выполнить действия

а) Преобразовать линейные дифференциальные уравнения второго порядка в равносильную систему линейных уравнений и записать в матричной форме,

б) Найдите собственные значения матрицы системы и определите по ним жорданову форму матрицы и тип фазового портрета,

в) Найдите точные уравнения фазовых траекторий и схематично постройте их,

с) Сделайте вывод об устойчивости нулевого решения.

ВАРИАНТЫ

1) 2)

3) 4)

РГР 6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

Запись решения линейной однородной системы в матричной форме удобно выполнить, используя матрицу , которая называется матричной экспонентой:

Поскольку справедливо соотношение , прямой подстановкой в систему

убеждаемся, что - решение.

Обозначив - матрицу искомых функций, а- матрицу столбец начальных условий, получаем решение системы (3.26) в компактном виде

или

при

Матрицу будем находить согласно преобразованию подобия

,

где матрицу будем определять по собственным значениям матрицы А и виду матрицы J из таблицы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Вид матрицы легко получается непосредственной подстановкой в формулу

3. 

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Кроме того, матрица может быть найдена по формулам

а) для случая различных собственных значений (действительных или комплексных)

4. ;

б) для случая одинаковых собственных значений

,

где .

Таблица. Определение вида матрицы

Характер собственных значений	J

Исходя из вышеизложенного, алгоритм нахождения решения можно разделить на несколько шагов. Рассмотрим это на примере.

ПРИМЕР. Найти решение системы

.

Шаг 1. Запишем матрицу системы .

Найдем след и определитель матрицы системы

,

Отрицательное значение определителя Det A < 0 свидетельствует о том, что неподвижная точка является неустойчивым положением равновесия, а фазовый портрет является «седлом».

Шаг 2. Запишем характеристическое уравнение матрицы А и найдем собственные значения матрицы А

6. 

- действительные и различные.

Шаг 3. По виду собственных значений согласно таблице выбираем матрицу

.

Шаг 4. Найдем матрицу перехода Т , решая матричное уравнение

Обозначаем

_.

Приравнивая элементы матрицы, стоящие на одинаковых местах, получаем систему уравнений:

которая имеет множество решений, удовлетворяющих соотношениям

_.

Выбирая простейшее из этих решений, получаем матрицу перехода

.

Шаг 5. Находим обратную матрицу:

.

Шаг 6. Проверяем правильность нахождения Т и подстановкой в

.

Шаг 7. По виду матрицы J выберем матрицу по таблице.

и находим матрицу:

Шаг 8. Запишем решение системы

7. Эта запись удобна тем, что позволяет сразу находить решение системы при любых начальных условиях

1.Решите однородные системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка различными методами

а) с использованием матричной экспоненты

б) операторным методом. Начальные условия заданы в момент

1) 2) 3)

4) 5)

2.Решите неоднородные системы, используя метод матричной экспоненты:

ПРИМЕР.Найдем решение системы дифференциальных уравнений

.

при начальных условиях и матрицахпрежде всего находим собственные значения матрицы:матрицу переходаи обратную матрицу.

Тогда матричная экспонента имеет вид

.

Общее решение однородной системы:

Для нахождения найдем обратную матрицу_{заменой в выражении для матричной экспоненты :}

Затем преобразуем подынтегральное выражение

и находим интеграл

В результате частное решение имеет вид

Полное решение исходной системы записывается в виде

или

ВАРИАНТЫ:

1)2)

3)

3. Проанализируйте линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

а) перепишите дифференциальные уравнения высших порядков в равносильную систему уравнений первого порядка.

б) запишите систему в матричной форме.

в) найдите собственные значения и жорданову форму матрицы системы.

г) установите, из каких элементарных блоков более низких порядков формируется жорданова форма.

ВАРИАНТЫ:

1) 2) 3)

РГР 7. Элементы теории устойчивости. Устойчивость линейных систем. Критерии Гурвица, Михайлова

Литература

1. Алексеев Д.В., Казунина Г.А. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

3. Казунина Г.А. и др. Элементы теории функций комплексной переменной: учеб. пособ. – КузГТУ.- 2008

Во многих задачах, например, при создании конструкций, автоматических устройств важно знать не только конкретное решение задачи (дифференциального уравнения) при заданных начальных условиях, но и характер поведения решения при изменении начальных условий. Если сколь угодно малые изменения начальных условий способны сильно изменить решение системы

,

то решение системы не имеет никакого значения и даже приближенно не описывает изучаемое явление. Такое решение называется неустойчивым.

Устойчивым называют такое решение (или положение равновесия системы), когда малое изменение начальных условий влечет малые изменения решения системы. При этом вопрос об устойчивости решения системы сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения при нулевых начальных условиях.

В тех случаях, когда положение равновесия системы (неподвижная точка) не совпадает с началом координат (пусть это будет точка параллельный перенос координат смещает неподвижную точку в начало координат новой системы.

Нулевое решение системы при нулевых начальных условияхназываетсяустойчивым по Ляпунову, если для любого можно указать такое, что из неравенства

при всех следует

где обозначение - норма матрицы.

Другими словами, решение системы устойчиво, если матрица-решение ограничена при. Если, кроме того,

то решение системы называют асимптотически устойчивым.

Теорема об устойчивости решений.

Решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений являются:

1. асимптотически устойчивыми, если действительные части собственных значений матрицы строго отрицательны

;

1. устойчивыми, если действительные части собственных значений матрицы неположительны: ;

2. неустойчивыми, когда среди собственных значений матрицы имеется хотя бы одно с .

Утверждения этой теоремы обобщают полученные в предыдущих главах результаты исследования характера устойчивости нулевых решений (положений равновесия) для систем второго порядка .

Вид собственных значений матрицы второго порядка определяет характер фазового портрета в окрестности положения равновесия. При этом все устойчивые положения равновесия соответствуют условиямDet А > 0, Sp А ≤ 0 (при условии Sp А < 0 положение равновесия асимптотически устойчиво) и собственные значения матрицы удовлетворяют условию:

_.

ПРИМЕР. Система

имеет неподвижную точку (положение равновесия) в начале координат .

По матрице системы

cразу видно, что нулевое решение будет асимптотически устойчивым, так как . Найдя собственные значения матрицы , убеждаемся в справедливости теоремы и уточняем характер фазового портрета - «устойчивый вырожденный узел».

ПРИМЕР 3.12. Система

с матрицей также имеет положение равновесия в начале координат. Собственные значения матрицы, найденные из уравнения

cвидетельствуют о неустойчивом характере решения (0, 0, 0), так как имеются собственные значения, для которых реальные части положительны

О системах порядка смотрите Приложение 2.

В теории матриц существуют теоремы, которые позволяют сделать вывод о знаке , не находя собственных значений непосредственно. Например, имеет место

Критерий Рауса-Гурвица.

Действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

Если характеристическое уравнение матрицы имеет вид

то матрица Гурвица - это матрица вида

Критерий Рауса-Гурвица требует, чтобы выполнялись условия

Для уравнения порядка характеристическое уравнение имеет вид

.

Матрица Гурвица имеет вид

а условием устойчивости является требование

ПРИМЕР. Проверить, при каких значениях параметров инулевое решение уравнения

aсимптотически устойчиво.

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения и равносильной ему системы имеет вид

.

Здесь коэффициенты . Матрица Гурвица

Условие устойчивости имеет вид

Таким образом, нулевое решение будет асимптотически устойчиво при условии .

Логарифмический вычет и принцип аргумента

При рассмотрении вопроса об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений главным является вопрос о числе корней характеристического многочлена линейной системы в некоторой области. Так для асимптотической устойчивости решений линейной системы

необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения матрицы системы

лежали в левой полуплоскости, т.е. выполнялось условие

.

Один из способов решения этой задачи основан на результатах теории функций комплексного переменного, а именно на понятии логарифмического вычета и принципа аргумента.

Рассмотрим теорему.

Пусть функция комплексного переменного аналитична в областиза исключением конечного числа полюсов. Областьи ограничена контуром. Функцияне имеет на контурени нулей, ни полюсов. Тогда справедливо

,

где – число нулей, а– число полюсов функциив областис учетом их кратности.

Для доказательства покажем, что число , которое является нулем кратностидля функции, для отношенияявляется простым полюсом. Действительно, в силу условия

4. ; .

Тогда получаем

.

Поскольку второе слагаемое в этой формуле является функцией, аналитической в точке , то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки имеет вид

.

Из разложения следует, что главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое и поэтому точка является простым полюсом, а вычет в этой точке совпадает с коэффициентоми равен кратности:

.

Далее покажем, что если число является для функцииполюсом порядка, то для функциионо является простым полюсом.

Действительно, по принятому условию

; .

Тогда справедливо соотношение

в силу аналитичности функции в точке. Из вида полученного разложения в ряд Лорана следует, что главная его часть содержит только один член ряда и поэтому точкаявляется для функциипростым полюсом. Вычет функции в этой точке совпадает с коэффициентоми равен порядку полюса, взятому со знаком минус:

.

Далее по теореме о вычетах находим контурный интеграл

,

где

–число нулей с учетом кратности,

–число полюсов с учетом их порядка.

Следствием этой теоремы является соотношение, называемое принципом аргумента:

,

где – приращение аргумента функциипри обходе кривойв положительном направлении.

Действительно, по условию аналитична на кривойи не имеет нулей на этой кривой:. Следовательно, в некоторой окрестности кривойможно выделить аналитическую ветвь функции.С учетом того что , получаем для интеграла по контуру

.

Здесь – приращение функциипри обходе замкнутого контурав положительном направлении. Поскольку, где– однозначная функция. Приращения логарифма модуля, и все приращения функциисовпадает с приращением аргумента:

.

С учетом же полученного выше соотношения, выражающего интеграл через число нулей и полюсов получаем:

.

Если функция не имеет полюсов в области, охваченной контуром, т.е., справедливо

.

Другими словами, приращение аргумента, разделенное на , при обходе контурасовпадает в этом случае с числом нулей функциив этой области, ограниченной контуром.

Выясним геометрический смысл выражения

.

Рассмотрим наряду с комплексной плоскостьюплоскость комплексного переменного. Каждый нуль функциипереходит в начало координатна комплексной плоскости. Пустьокружена малым простым замкнутым контуром. Тогда в плоскостиэтому контуру соответствует замкнутый контур(возможно с точками самопересечения), охватывающий начало координат.

При однократном обходе точки против часовой стрелки по контурувекторсовершает вокруг начала координат на плоскостичисло полных оборотов, равное кратности нуля.

Таким образом, если функция не имеет полюсов в некоторой области, то число нулей функциив этой области совпадает с числом полных оборотов векторавокруг начала координат.

Критерий устойчивости Михайлова

Многочлен степени

является аналитической функцией на всей комплексной плоскости за исключением бесконечно удаленной точки. Для асимптотической устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений требуется, чтобы все корни характеристического многочлена лежали в левой полуплоскости. Следовательно, существует связь между критерием устойчивости и принципом аргумента, связывающим число нулей многочлена в некоторой области с приращением аргумента логарифмической функции (числом оборотов) при обходе вдоль границы области. При этом граница левой полуплоскости определяется равенством и проходит через единственную особую точку функции. При движении вдоль мнимой осина плоскостиотдона плоскостиполучим некоторую кривую – образ мнимой оси, называемую кривой (или годографом) Михайлова. Эту кривую всегда можно построить по точкам, выделив у функцииреальную и мнимую части после подстановки:

.

Пример. Построим кривую Михайлова для многочлена

.

Заменяя , получаем

Таким образом,

.

Далее, придавая переменной значение отдо, строим по точкам.

При построении использовали свойства кривой Михайлова, характерные для многочленов с действительными положительными коэффициентами:

1. Кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси , так как в случае действительных коэффициентов. Поэтому достаточно построить ветвь годографа для, а другую ветвь дляпостроить зеркальным отображением относительно действительной оси.

2. Начало ветви лежит на положительной действительной полуоси, т.е., .

3. Кривая проходит через начало координат тогда и только тогда, когда точкаявляется нулем многочлена.

Имеет место следующая теорема.

Если многочлен с действительными коэффициентами не имеет корней на мнимой оси, то число оборотов радиус-вектора кривой Михайловавокруг точкипри возрастанииотдовыражается формулой

,

где ,– число нулейв левой и правой полуплоскостях соответственно.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости или . А поскольку многочлен степениимееткорней, токритерий устойчивости формируется следующим образом:

для устойчивости многочлена с действительными коэффициентами, не имеющего корней на мнимой оси, необходимо и достаточно, чтобы радиус-вектор кривой Михайлова при измененииотдоповернулся против часовой стрелки на угол

.

Другими словами, радиус-вектор , начиная с вещественной полуоси, должен повернуться на число квадрантов, равное порядку уравнения.

является многочленом все корни которого лежат в левой полуплоскости (многочлен Гурвица), так как построенная кривая Михайлова при изменении проходит последовательно три квадранта. Таким образом, рассмотренный ранее многочлен третьего порядка

1. Исследуйте устойчивость нулевое решение для линейных дифференциальных уравнений и систем, используя критерии а) Гурвица

б) Михайлова

с) анализируя знак вещественных частей собственных значений матрицы (если это возможно).

1. ,

2) ,

3)

4) 5) 6)

2. Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение асимптотически устойчиво

1. 

2. 

3. 

4. 

РГР 8,9. Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению.

Во многих практически важных случаях системы дифференциальных уравнений, описывающие реальные объекты, являются нелинейными

тo есть функции , не являются линейными функциями своих аргументов. Главным методом изучения поведения решения такой системы в окрестности положений равновесия является метод линеаризации - приближенной замены точной системы вблизи неподвижной точки на линейную систему.

Суть метода состоит в следующем. Решив систему уравнений

выбирают одну из неподвижных точек

Затем рассматривают отклонение системы от положения равновесия

и записывают линейное по отклонениям разложение поля направлений по формуле Тейлора:

.

Когда в частные производные подставлены конкретные координаты неподвижной точки , коэффициентыстановятся постоянными, и исходная система приближенно представляется в виде линейной системы

(3.35)

Матрицасистемы при этом имеет вид

. (3.36)

Заметим, что операцию линеаризации можно выполнить непосредственно разлагая функции , в ряд Тейлора в окрестности неподвижной точки, сохраняя в разложении только линейные слагаемые.

ПРИМЕР. Найти линеаризацию системы

Способ 1. Решая систему уравнений

находим, что начало координат является неподвижной точкой. Поэтому , а матрица линеаризации (3.36) имеет вид

Первое линейное приближение исходной системы записывается в виде

Способ 2. Разлагаем функции по формулам Маклорена в окрестности

В результате получаем линейное приближение исходной системы, которое совпадает с полученным выше

На вопрос: в какой мере решение линейной системы (3.35), полученной линеаризацией исходной системы вблизи неподвижной точки, соответствует решению нелинейной системы вблизи этой точки отвечает теорема о линеаризации. Эта теорема устанавливает связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности неподвижной точки с фазовым портретом ее линеаризации.

Теорема о линеаризации.

Если нелинейная система имеет неподвижную точку в начале координат (), то в окрестности этой точки фазовые портреты системы и фазовые портреты ее линеаризации качественно эквивалентны, если только неподвижная точка не является «центром».

Если неподвижная точка линеаризации является «центром», то фазовый портрет исходной нелинейной системы будет «центром» или «фокусом». Для наличия «центра» необходимо, чтобы фазовые траектории исходной системы имели ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. Последнее требование равносильно требованию того, чтобы уравнение

не изменилось при замене x₁ на -x₁ (или на).

ПРИМЕР. Исследовать устойчивость решения нелинейной системы

вблизи неподвижной точки.

Решая систему уравнений

находим, что неподвижной точкой системы является точка

Рассмотрим отклонение системы от положения равновесия, вводя новую переменную

Подставляя в исходную систему, получаем

Далее можно использовать разложение Маклорена для показательной функции с точностью до бесконечно малых первого порядка

И, оставляя во втором уравнении только линейное слагаемое, получаем линеаризацию системы

;

Заметим, что линеаризацию можно получить и по формуле с использованием частных производных

Характеристики матрицы свидетельствуют о том, что неподвижная точка исходной нелинейной системы и ее линеаризации является неустойчивым положением равновесия. Фазовый портрет относится к типу «седло».

1.Исследуйте на устойчивость нелинейные системы дифференциальных уравнений:

а) найдите положения равновесия (неподвижные точки)

б) постройте линеаризованную систему в окрестности каждой неподвижной точки и определите характер неподвижных точек

с) схематично постройте фазовые траектории в окрестности положений равновесия. В том случае, если неподвижная точка является центром, проведите дополнительные исследования.

ВАРИАНТЫ

1. 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение системы является устойчивым

ВАРИАНТЫ

1. 2)

2. 4)

РГР 10. Элементы вариационного исчисления. Экстремали.

Литература

Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления [электронный ресурс] / Н. М. Гюнтер. – СПб.: Лань, 2009. – 320 с.

1. Задачи с закрепленными границами

Простейшей вариационной задачей называют задачу нахождения экстремума функционала

на множестве непрерывно дифференцируемых функций , заданных на отрезкеи удовлетворяющих условиям.

Функция, которая доставляет экстремум функционалу, называется экстремалью. Если функция дважды непрерывно дифференцируема наи является экстремалью, то она необходимо удовлетворяетуравнению Эйлера:

.

В некоторых случаях решение уравнения Эйлера упрощается по сравнению с общим случаем

1. Функция в выражении для функционала явно не зависит от:( это уравнение не является дифференциальным) ;

2. Функция зависит только от:. Общим решением этого уравнения являются прямые линии

3. Функция не зависит от:

4. Функция явно не зависит от:

.

ВАРИАНТЫ (в скобках ответы)

Найти экстремали функционала, удовлетворяющие заданным граничным условиям.

1. 

()

2. 

()

3. 

()

4. 

()

1. Материальная точка перемещается вдоль плоской кривой , соединяющей точкиисо скоростью, а точки имеют координаты

(Ответ: )

2. Задача о брахистохроне. Найдите плоскую кривую, соединяющую точки и, при скатывании вдоль которой под действием силы тяжести материальная точка перемещается извза наименьшее время. Ответ:

2.Задачи с подвижными границами

Простейшая задача вариационного исчисления с подвижными границами состоит в определении функции , принадлежащей отрезку и точек для которых функционал

достигает экстремума при условиях ,

Эту задачу можно сформулировать также следующим образом. Пусть на плоскости заданы гладкие кривые

Требуется найти такую гладкую кривую которая соединяет какую-либо точку кривой с какой-либо точкой кривой и доставляет экстремум функционалу.

Рис 1.

Рассмотренная ранее задача, когда граничные условия были зафиксированы :

является частным случаем задачи с подвижными границами.

Поэтому искомая кривая должна быть экстремалью, то есть должна удовлетворять уравнению Эйлера :

Однако, в задаче с подвижными границами одно из условий или оба эти условия отсутствуют. Поэтому для определения произвольных постоянных, возникающих при решении задачи, необходимы некоторые условия. Условия для нахождения произвольных постоянных в задаче с подвижными границами называют условиями трансверсальности.

Найдем эти условия, взяв за основу необходимое условие существования экстремума функционала :

При этом будем считать, что кривая является экстремалью.

Рассмотрим случай, когда одна из граничных точек закреплена : а другая может перемещаться вдоль кривой Пусть – кривая, близкая к искомой .

Запишем приращение функционала при переходе от к точке

:

Рис.2.

Второй интеграл в этой сумме оценим по теореме о среднем

Приближенно можно считать

(2)

В первом интеграле этой суммы заменим приращение по переменным дифференциалом (или представим по формуле Тейлора для функции двух переменных с точностью до линейных слагаемых):

С учетом того, что точка закреплена а искомая кривая удовлетворяет уравнению Эйлера :

получаем для вариации фукнционала выражение

С учетом того, что

Таким образом, необходимые условия существования экстремума функционала записываются в виде:

(4)

При условии перемещения правой граничной точки по кривой получаем для вариации функции

Поэтому условия (4) имеют вид:

(5)

Полученное условие и называют условием трансверсальности.

Если левая граничная точка также перемещается по кривой , то добавляется аналогичное условие

(5a)