- •4.1. Лекционные занятия
- •4.2. Практические занятия
- •4.3. Самостоятельная работа студента, выполняемая
- •Контрольная точка 1 (ргр 1,2,3,4)
- •4.Анализ систем линейных ду порядка
- •Частные случаи условий трансверсальности
- •Примеры решения задач
- •Ргр 11. Принцип максимума л.С. Понтрягина
- •Шаг 4. Находим фазовые траектории при различных возможных значениях управления.
- •Исключая время, получаем уравнение для нахождения фазовой траектории
- •Вопросы к зачету.
Частные случаи условий трансверсальности
Если одна из граничных точек, например, правая перемещается по горизонтальной прямой то и условие трансверсальности записываем как
(6)
Если задана абсцисса одного из концов, а граничное условие отсутствует, то это означает, что граничная точка может перемещаться по вертикальной прямой, например, . Тогда вместо условия трансверсальности записывают условие
Примеры решения задач
Задача 1.
Найти кривую минимальной длины, соединяющую параболу и прямую
Решение.
Функционалом в данном случае является длина дуги
Пусть левая граничная точка перемещается по параболе а правая по прямой
Функция
Шаг 1. Составляем и решаем уравнение Эйлера:
Имеет место частный случай, когда функция F зависит только от
Тогда , а ;
Общее решение такого уравнения имеет вид
Заметим, что . (8)
Шаг 2. С учетом того, что искомая кривая и линии, по которым перемещаются граничные точки, должны пересекаться, получаем условие:
В данной задаче: ,
Шаг 3. Записываем условия трансверсальности
С учетом условия (8):
Шаг 4. Для определения решаем систему уравнений
Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем
.
Подставляя в третье уравнение системы, получаем соотношение между
Подстановка этого соотношения в первое уравнение системы дает:
Тогда Из четвертого уравнения системы получаем
Уравнение искомой кривой:
Расстояние между параболой и прямой:
Задача2.
Поскольку отсутствует граничное условие для левой граничной точки, то принято считать, что левый конец движется по вертикальной линии. В этом случае граничное условие имеет вид:
Решая уравнение Эйлера, находим уравнение экстремали:
С учетом условий трансверсальности:
С учетом граничного условия получаем
Искомая кривая
ВАРИАНТЫ:
()
()
()
Ргр 11. Принцип максимума л.С. Понтрягина
Принцип наименьшего действия в механике.
Наиболее общей формой закона движения в механике является принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу механическая система полностью задается координатами и скоростями (импульсами ) элементов системы при помощи функции Лагранжа , которая является разностью между кинетической и потенциальной энергиями системы. Движение между двумя точкамиивсегда происходит таким образом, чтобы функционал действияпринимал наименьшее возможное значение. Другими словами траектория движениядолжна быть экстремалью и удовлетворять уравнению Эйлера, которое в механике называют уравнением Лагранжа:.
Используя выражение для кинетической энергии, представляем функцию Лагранжа в виде . Тогда частная производная посовпадает с импульсом системы. А из уравнения Лагранжа следует, что. Пусть функция Лагранжа явно не зависит от времени. Тогда полную производную по времени записываем следующим образом:
.
Из последнего уравнения следует, что при движении по экстремали сохраняется постоянной величина (). Эта величина являетсяполной энергией системы и ее называют гамильтонианом системы .
Запишем выражение для полного дифференциала этой функции:
.
Сопоставляя полученное выражение с общим выражением для полного дифференциала
, получаем уравнения, которые в механике называют уравнениями Гамильтона
.
Эти уравнения являются наиболее общей формой записи уравнений движения. Таким образом, если движение подчиняется уравнениям Гамильтона, то вдоль всей траектории энергия системы сохраняется.
Принцип максимума Л.С. Понтрягина в оптимальном управлении.
Пусть движение объекта задается системой дифференциальных уравнений
,
Здесь - вектор фазовых координат, а - вектор управления. Важным является то, что вектор управления не может быть произвольным. Он ограничен физическими и конструкционными особенностями задачи : .
Задача. Требуется найти такую функцию управления , которая обеспечила бы минимум функционала
.
Этот функционал может иметь различный смысл, например, может быть временем перехода системы из одного состояния в другое, временем затухания переходного процесса и т.д.
Рассмотрим линейную задачу на быстродействие. В этой задаче функционал имеет смысл времени перехода
системы из состояния в состояние .
Оптимальным называют управление , которое обеспечит перевод системы из одного состояния в другое за наименьшее время.
Однако, ограниченность управления не позволяет применить для решения задачи классическое вариационное исчисление. Задачу решил Л.С. Понтрягин следующим образом.
Кроме фазовой координаты в рассмотрение вводится также и фазовый импульс. Обозначим вектор фазового импульса как .
По аналогии с классической теоретической механикой рассматривается функция
,
которая называется гамильтонианом и по смыслу является полной энергией системы. Эта функция связана с векторами фазовых координат и импульсов уравнениями, аналогичными уравнениям Гамильтона в механике
Для оптимального управления вектор управления должен быть таким, чтобы при любых фазовых координатах и импульсах обеспечивался максимум гамильтониана как функции управления .
При этом необходимые условия существования экстремума имеют вид
.
Запись линейной системы в матричной форме имеет вид
.
Из последнего выражения гамильтониана следует, что он принимает наибольшее значение в случае, когда скалярное произведение максимально. Другими словами векторы фазового импульса и управления должны быть сонаправлены.
Рассмотрим конкретную задачу: точка массы движется по инерции. Как за наименьшее время остановить ее в начале координат под действием ограниченной силы?
Уравнение движения в данном случае имеет вид .
Шаг1. Переписываем дифференциальное уравнение в равносильную систему, вводя новые переменные
.
Записываем гамильтониан системы
Шаг 2. Записываем уравнения Гамильтона (второе уравнение из системы) и получаем систему уравнений для нахождения фазовых импульсов:
.
Решение системы имеет вид .
Шаг 3. Найденные выражения для импульсов подставляем в гамильтониан системы
.
Записываем необходимые условия существования экстремума:
.
Из этого выражения видно, что производная имеет только один нуль. Функция является строго монотонной и изменяет знак один раз.
Максимум гамильтониана как функции управления обеспечивается при условии: управление принимает максимальное по абсолютной величине значение. Поэтому возможными значениями управления являются