- •Введение
- •1. Общая часть
- •1.3. Функциональная схема регулятора
- •1.4. Устойчивость
- •1.5. Критерий устойчивости Гурвица
- •1.6. Критерий устойчивости Михайлова
- •1.7. Построение областей устойчивости методом d-разбиения
- •1.8 Качество автоматических систем регулирования
- •Охрана труда и правила безопасности.
- •Техника безопасности при эксплуатации средств автоматизации.
- •Охрана окружающей среды.
- •Литература
1.5. Критерий устойчивости Гурвица
Наиболее распространенная в технической практике форма алгебраического критерия устойчивости известна под названием критерия Гурвица. Этот критерий формирует условия устойчивости в форме определителей.
Таблица составляется по следующему правилу: по главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз по убывающим: все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнениязаменяются нулями.
(1)
Его характеристическое уравнение третьей степени системы регулирования имеет вид:
++р +=0 (2)
Условия устойчивости будут:
; ;(3)
= 0,
откуда
Окончательно получаем условия:
0, 0;(4)
Следовательно, для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны, и чтобы определитель второго порядка был положителен.
1.6. Критерий устойчивости Михайлова
Основное преимущество частотных методов заключается в их большой наглядности.
Частотные критерии устойчивости можно разделить на 2 группы:
Характеризует устойчивость замкнутой системы;
Характеризует устойчивость разомкнутой системы.
Частотные критерии являются графико-аналитическими, они позволяют определить устойчивость замкнутой системы при отсутствии характеристического уравнения и передаточных функций системы, используя экспериментально полученные характеристики.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости.
Дано характеристическое уравнение:
+ (5)
Заменяем в характеристическом уравнении комплексную переменную Р мнимой переменной jw. Получим функцию мнимого переменного jw, в которой w может принимать любое значение от +∞ до -∞.
A(j) =(j+(j+(j) += 0 (6)
Выделяем мнимую и действительную части системы:
Re(j) = … - вещественная часть функцииA(j); (7)
Jm(j) = (…) - мнимая часть функцииA(j); (8)
A(j) =- модуль функцииA(j);(9)
arctg – фаза или аргумент функцииA(j). (10)
Годограф Михайлова для устойчивых систем называется правильным и имеет следующие особенности:
1.Он состоит из двух ветвей, соответствующих изменениям от 0 до +∞ и от 0 до -∞. Ветви симметричны, так как вещественная часть функции A(j) представляет собой четкую функцию , а мнимая ее часть является нечетной функцией. Поэтому достаточно исследовать только одну ветвь годографа (измерение от 0 до +∞).
2.При =0 получаем:
Re(j) = иjm() = 0,
т. е. обе ветви годографа начинаются в точке, расположенной на положительной вещественной полуоси.
3.При изменении w от 0 до +∞ кривая годографа поворачивается против часовой стрелки на угол поочередно обходя «» квадрантов комплексной плоскости, где𝚗 – степень характеристического уравнения системы.
Линейная система 𝚗 – го порядка устойчива, если при изменении w от 0 до ∞ годограф Михайлова последовательно обходит 𝚗 квандрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке на положительной вещественной полуоси и нигде не проходят через начало координат.
Если годограф обходит меньше чем 𝚗 квадрантов или при обходе нарушается последовательность перехода его из квадранта в квадрант, то система будет неустойчивой.
Если годограф проходит через начало координат, система будет на границе устойчивости.