1.7. Построение областей устойчивости методом d-разбиения

При проектировании систем автоматического управления, когда требуется определить влияние значений каких – либо варьируемых параметров на устойчивость, строят области устойчивости системы в пространстве этих параметров.

Для определения значений варьируемых параметров, обеспечивающих устойчивость системы, разработаны специальные методы. Рассмотрим наиболее простой из них метод D - разбиения по одному параметру, позволяющий находить области значений этого параметра, при которых система будет устойчивой. Пусть характеристическое уравнение неустойчивой САУ имеет следующий вид:

QM(p)+N(p)=0 (11)

Здесь Q – варьируемый параметр, входящий линейно в некоторые члены уравнения, обозначенные как M(p); N(p) – группа остальных членов уравнения, в которые этот параметр не входит.

Заменим в (ном) p на j и найдем выражение для Q в комплексном виде:

Q = - p j= -= U(j)+ jV() (12)

Задавая теперь ряд дискретных значений , от 0 до +∞, вычислим соответствующие им значенияU() иV(), которые перенесем на комплексную плоскость параметраQ и объединим полученные точки плавной линией. Для частотного диапазона от -∞ до 0 достроим полученную линию ее зеркальным отображением относительно вещественной оси. Результирующая линия называется линией D-разбиения. Она образует несколько областей (НУ), которые нужно проанализировать с целью нахождения среди них областей устойчивости.

Для этого необходимо заштриховать линию D-разбиения по следующему правилу: двигаясь по линии от = -∞ к= ∞, штрихуем ее слева. Точно так же заштрихована мнимая ось плоскости корней. Это не случайно, так как линияD-разбиения является отображением мнимой оси плоскости корней на комплексную плоскость параметра Q.

1.8 Качество автоматических систем регулирования

К автоматической системе регулирования предъявляются требования не только относительно ее устойчивости. Для работоспособности ее системы необходимо, чтобы процесс автоматического регулирования осуществлялся при осуществлении определенных качественных показателей. Качество процесса регулирования оценивается по ее переходной функции.

1. Вид переходного процесса – он может быть колебательным, апериодическим и монотонным.

1. Длительность переходного процесса – время, в течение которого отклонение выходной величины от установившегося значения в статике станет меньше наперед заданной величины.

2. Перерегулирование – оценивается в абсолютном значении величиной или в относительных единицах зависимостью.

3. Колебательность – определяется числом полных колебаний выходной величины за время.

4. Частота колебаний. Применяется только в случае колебательных переходных процессов.

5. Декремент затухания характеризует интенсивность затухания переходного процесса.

6. Время достижения первого максимума.

7. Время нарастания переходного процесса.

Алгоритм разбития частотной характеристики на трапеции. Разбиваем частотную характеристику на трапеции таким образом, чтобы левая боковая сторона каждой трапеции совпадала с осью ординат, другая сторона параллельно оси абсцисс, а третья наклонна. Полученные трапеции выносим на отдельный рисунок и располагаем их так, чтобы большее основание каждой трапеции совпадало с осью абсцисс, а суммарная площадь трапеции при их расположении в первом и четвертом квандрантах была бы как можно ближе к площади под ВЧХ.

Алгоритм построения переходной характеристики САУ (t) методом трапеции.

1. Из частотной передаточной функции W(j) замкнутой устойчивой минимальной - фазовой САУ находим () и строим график ВЧХ.

2. Разбиваем полученную ВЧХ на трапеции таким образом, что бы левая боковая сторона каждой трапеции совпадала с осью ординат.

3. Полученные трапеции выносим на отдельный рисунок и располагаем их так, чтобы большее основание каждой трапеции совпало с осью абсцисс, а суммарная площадь трапеций при их расположении в первом и четвертом квадрантах была бы как можно ближе к площади под ВЧХ.

4. Для каждой трапеции определяем (),,,𝚔, и, задаваясь рядом дискретных значений , по таблице- функций находим соответствующие им значения().

5. Используя формулы, переходим от нормированных трапеций к реальным и строим на их основе графики () в первом и четвертом квандрантах в соответствии с расположением трапеций.

6. Суммируя графики h(t), получаем результирующий график переходного процесса САУ, по которому находим прямые показатели качества.