184

где Мр = Ми2 + Мк2 – расчетный (эквивалентный) момент; Ми – сум-

марный изгибающий момент; Мк – крутящий момент; Wи – момент сопротивления при изгибе; Wк – момент сопротивления при кручении (полярный).

Тогда условие прочности будет иметь вид

sрасч = Мр £ [s].

Wи

При проектном расчете требуемый момент сопротивления поперечного сечения

W =		pd3	³			Mp	;
						[s]
и		32
d ³ 3		32 Mp		.
		p[s]
Пример 7.2.
Вал зубчатой передачи		(редуктора) изготовлен из стали 35

(sт=360 МПа). К левому концу вала подводится от электродвигателя мощность Κ = 28 кВт.Частота вращения вала n = 630 об / мин. Диаметр

вала dв= 45 мм, диаметр зубчатой передачи d = 90 мм. Соотношение

радиального и тангенциального усилий на зубчатой передаче

Τr = 0,364Τt .

Проверить прочность вала в сечении под серединой зубчатого колеса. Влияние концентратора напряжений (шпоночный паз) не учитывать. Принять [n т ]= 4,0. Расчет выполнить по теории наибольших ка-

сательных напряжений.

Решение.

Момент, передаваемый валом:

М =	K	=	28 ×103
	w			66	= 425 Н × м,
где	w = p n			=	3,14 × 630	= 66 рад / c.
			30		30

		185
а)	М	RAх RAу	RВх	RBу
		Tt	Tr
	x		M	z
		85	85
	y		ℓ = 170
	M
б)			M

Мкр
		425
		Тr = 3,44 кН
y		RBy = 4,735 кН
	RAy = 1,72 кН
Мx
		146
		Tt = 9,47 кН
x		RBx = 4,735 кН
	RAx = 4,735 кН
Мy

403

Рис. 7.8. Расчетная схема (а) и эпюры внутренних усилий (б)

186

Выражая этот момент через окружную силу, найдем

	М = T		d	;
			2
		t
	T = 2 M			=	2 × 425	= 9470 H = 9,47 кН;
	t	d			90 ×10−3

Tr = 0,364Tt = 0,364 × 9,47 = 3,44 кН;

Ми = Мx 2 + М y 2 = 1462 + 4032 = 428,6 Н× м.

Расчетный момент под серединой колеса

Мр = Ми2 + Мк 2 = 428,62 + 4252 = 603,6 Н ×м.

Расчетное напряжение для опасной точки сечения

sрасчIII	=	Mp		=	603,6 ×103	= 66,3×10	6	Па = 66,3 МПа.
		0,1d			0,1× 453
			3в

Коэффициент запаса

n т =	σт	=	310	= 4,7 > [n т ]= 4,0.
	III		66,3
	sрасч

Пример 7.3.

Определить размеры поперечного сечения вала из условия прочности. Материал вала – сталь Ст. 4,

sт = 260 Н / мм2 = 260 МПа; [n]= 4,0; радиальная сила Τr = 0,364Τt . Число оборотов вала n = 375 об / мин. Размеры зубчатых колес – D =

250 мм, D1= 300 мм, D2= 200 мм. Передаваемые мощности – К = 28 кВт, К1=28 кВт, К2=12 кВт. Скорость вращения – 375 об/мин.

187

a)

K1

1

K2

2

K D

D

D

х

100

100

100

100

у

T1t

T1r Tr

T1t

T1r

б)

m

Tt

m2

m1

407

Mкр

306

T1r	T1t
Tt

Tr

х T2r

T2t

у

вертикальная плоскость yoz

T2t = 3060 Н			T1r = 977 Н
		Tr = 3060 Н			z
у	RAу = 3551 Н			RBу = 2509 Н
Mизг
	350		250
		418
	горизонтальная плоскость xoz
	T2r = 1102 H		T1t = 2713 H
					z
	RA = 2960 Н	Tt = 5624 Н		RВ	= 1053 Н
x	296	502
Mизг			105

Рис. 7.9. Расчетная схема (а) и эпюры внутренних усилий (б)

188

Решение.

Вычислим скручивающие моменты, приложенные к валу:

w =	pn		=	3,14 × 375		= 39,3 рад/с; m =	K		=	28 ×103	= 713 Н × м;
	30				30		w			39,3
m1	=	К		=	16 ×103	= 407 Н × м; m2 =	К		=	12 ×103	= 306 Н × м.
			1		39,3			2		39,3
		w					w

По вычисленным значениям строим эпюру крутящих моментов. Определяем окружные и радиальные усилия:

T =			2 m	=	2 × 703 ×103		= 5624 Н;
t			D			250
Tr	= 0,36Tt = 0,36 × 5620 = 2020 Н;
T		=	2 m		=	2 × 407 ×103		= 2713 Н;
			1
1t			D1			300
T1r		= 0,36 × 2710 = 977 Н;
T		= 2 m2			= 2 × 306 ×103			= 3060 Н;
2t			D2			200

T2r = 0,36 × 3060 = 1103 Н.

По вычисленным значениям строим эпюры крутящих моментов Мкр и изгибающих моментов в вертикальной Мх и горизонтальной Му

плоскостях, после чего определяем расчетный момент для опасного сечения по энергетической теории прочности:

МIVр = Mх2 + М у2 + 0,75Mкр2 =

=4182 + 5022 + 0,75 × 4072 = 744 Н ×м.

МIV [ ]

Из условия прочности sрасч = Wр £ s имеем

189

pD3

MpIV

W =

32 ³

.

[s]

Диаметр вала с учетом коэффициента запаса [n] = 4,0 определится

из условия

32MpIV

D ³

=

32 × 744 ×103

= 49 мм.

3

p

sт

3

3,14

260

[n]

4

Округляем до ближайшего

большего

стандартного и принимаем

D = 50 мм.

190

8. Устойчивость прямолинейной формы равновесия центрально сжатого стержня

8.1. Общие понятия об устойчивости сжатых стержней и критической силе

Определение внутренних усилий методом сечений основывается на равновесии между внешними силами и внутренними усилиями.

Искривление сжатого стержня (рис. 8.1) путем приложения весьма малой силы ΔΡ в поперечном направлении вызывает дополнительные силы упругости, препятствующие его искривлению. После удаления причин, вызвавших искривление стержня, его выпрямлению будут препятствовать только сжимающие силы Ρ. Внутренние же силы до неко-

торого значения сжимающей силы Ρ будут преодолевать их сопротивление и возвращать стержню первоначальную прямолинейную форму упругого равновесия. Такое равновесие между внешними и внутренними силами прямого сжатого стержня будет устойчивым. Рассчитываемая конструкция будет надежна при условии, если форма равновесия, положенная в основу расчета, устойчива.

	а)	P		б)	ν(z)
	P		P	Pкр		Pкр
		ℓ		z	ℓ	z
				ν

Рис. 8.1. Схема загружения стержня (а) и форма изогнутой оси (б)

При дальнейшем постепенном увеличении силы Ρ можно достичь такого состояния, при котором и после удаления силы ΔΡ стержень не выпрямится, а останется искривленным. Это обусловливается тем, что

действие внешних сжимающих сил Ρ уравновешивается силами упругости как в прямом, так и в искривленном стержне. Такое состояние сжатого стержня называют критическим состоянием, а сжимающие силы при таком состоянии – критическими. Дальнейшее самое малое увеличение сжимающей силы Ρ приводит к нарушению указанного равновесия и стержень переходит в неустойчивое положение. При незначи-