Prezentatsia_IG_KhN_KhO_KhP_KhM_2013

в) Цилиндрическая поверхность общего положения

Ф(ℓ, m) *ℓ – образуящаѐ, m – направлѐящаѐ криваѐ, ℓ ∩ m; ℓ║ℓ!║… +.

При пересечении

наклонного цилиндра

плоскостью получается

(рис. 6.13):

1. Окружность,	если
секущая	плоскость
пересекает	ось

и параллельна основанию (плоскость Г).

2.Четырехугольник, если

секущая плоскость

параллельна оси (плоскость Т).

3.Эллипс, если секущая плоскость пересекает ось

под углом не равным 90○

(плоскость R, Q).

i2 ТП2

	А2	ГП2
		RП2

i1

А1

QП1

Рис. 6.13

91

91

г) Коническая поверхность общего положения

Ф (ℓ, m, S) *ℓ – образуящаѐ прѐмаѐ, m – направлѐящаѐ криваѐ,

S – точка; ℓ ∩ m, S ю ℓ+.

При	пересечении		ТП2
наклонного		конуса
плоскостью	получается
(рис. 6.14):						А2
1. Окружность,		если
							РП2
секущая	плоскость
пересекает		ось
и	параллельна
основанию (плоскость Р).

2. Образующие, если

секущая плоскость проходит через вершину конуса (плоскость Т).

3. Во всех	остальных
случаях	получаются	А1
линии	похожие
на эллипс.		Рис. 6.14

92

д) Сфера

Ф(ℓ, ί) *ί – ось вращениѐ, ℓ – образуящаѐ полуокружность, O– центр образуящей; ℓ

вращаетсѐ вокруг ί, O ю ί,+.

i2

i3

А2

А3

Е2 ≡ Е!2

Е!

Е3

3

С ≡ С!

С!3

С

2

2

D!

3

≡ D

О

2

2

В2

≡ В!

2

D!3

О

3

D3

2

(В! )

3

(В3)

F2

Р

П2

F3

Е!1

В!1

При

пересечении

сферы

плоскостью

С!1

!

D 1

в сечении всегда получается окружность, которая

может

проецироваться

на плоскости проекций

i1

в виде:

А1

О

1

F

1.

Прямой

(если

секущая

плоскость

1

перпендикулярна

плоскости

проекций)

(рис. 6.15).

2.

Окружности

(если

секущая

плоскость

Е1

D1

параллельна плоскости проекций).

3. Эллипса (если секущая плоскость наклонена

Рис. 6.15

В1

С1

к плоскости проекций).

93

е)Тор

Ф(ℓ,ί )*ί – ось вращениѐ; ℓ – образуящаѐ окружность, О – центр окружности; ℓ вращаетсѐ вокруг ί; точка O не принадлежит ί).

t		Если t > 2R – открытый тор (кольцо),
i2	А2	R < t < 2R	– закрытый, (см.
О2		слайд № 80),
		t < R – самопересекающийся.
		При пересечении	тора плоскостью
		получаются кривые Персея.

Кривые Персея:

О1	i1	∞

А1

Рис. 6.16

94

	S2	4.4. Пересечение поверхностей вращениѐ плоскостья общего положениѐ
		ГП2
			Решение			задачи
х		с применением метода перемены
		плоскостей		проекций		сводитсѐ к
		переводу		секущей		плоскости
		в	проецируящее			положение,
ГП1	S1	нахождения			точек	сечениѐ
		на	дополнительной			плоскости
		проекций		и	их	обратному
		проецирования			в	исходные
		плоскости проекций (рис. 6.17).
		ГП4
	х1
		S4
	Назад	Рис. 6.17

95

Тема №7 «Взаимное пересечение поверхностей

1.Частные случаи пересечениѐ поверхностей.

2.Общие случаи пересечениѐ поверхностей.

2.1.Метод вспомогательных секущих плоскостей.

2.2.Метод сфер.

96

96

1. Частные случаи пересечениѐ поверхностей

Форма большинства технических изделий образована комбинацией различных элементарных поверхностей. Поэтому важным этапом выполнениѐ чертежей этих изделий ѐвлѐетсѐ построение линии пересечениѐ поверхностей.

При взаимном пересечении двух многогранников получаетсѐ пространственнаѐ ломанаѐ линиѐ (замкнутаѐ или нет), котораѐ может распадатьсѐ на две ломаные линии.

При пересечении криволинейных поверхностей получаетсѐ пространственнаѐ криваѐ линиѐ, котораѐ тоже может распадатьсѐ на две и более линий.

При пересечении многогранника с криволинейной поверхностья получаетсѐ пространственнаѐ линиѐ, состоѐщаѐ из рѐда плоских кривых.

В случае, если одна или обе пересекаящиесѐ поверхности проецируящие, одна или две проекции искомой линии пересечениѐ уже есть хотѐ бы на одной из плоскостей проекций.

Решение задачи сводитсѐ к нахождения недостаящей проекции линии пересечениѐ поверхностей по принципу принадлежности точки и линии поверхности (рис. 7.1).

97

	12		13
			12	32	22
42	32	22	43≡ (23)		(52)
			(6 )
			2
			33	42
			61		51
41		21		11
					21
					31
	11≡ (31)
				41
			Рис. 7.1

98

Случаи пересечениѐ криволинейных поверхностей, когда пространственнаѐ криваѐ линиѐ распадаетсѐ на плоские кривые или прѐмые:

1.При пересечении двух цилиндров с параллельными осѐми (рис. 7.2, а).

2.При пересечении двух конусов с общей вершиной (рис. 7.2, б).

3.При пересечении двух соосных поверхностей (рис. 7.2, в).

4.При пересечении двух криволинейных поверхностей, описанных вокруг сферы

(рис. 7.2, г).

а)	б)	в)	г)

Рис. 7.2

99

Условиѐ при которых линиѐ пересечениѐ криволинейных поверхностей распадаетсѐ на две плоские кривые можно сформулировать в виде теорем.

Теорема о парности плоских сечений

«Если две поверхности второго порѐдка* пересекаятсѐ по одной плоской кривой, то они пересекаятсѐ и ещё по одной плоской кривой» (рис. 7.3).

Теорема о двойном прикосновении

«Если две поверхности второго порѐдка имеят касание в двух точках, то линиѐ их пересечениѐ распадаетсѐ на две кривые второго порѐдка, плоскости которых проходѐт через прѐмуя, соединѐящуя точки касаниѐ».

Частным случаем теоремы о двойном прикосновении ѐвлѐетсѐ теорема Монжа.

«Если две поверхности второго порѐдка описаны около третьей поверхности второго порѐдка, или вписаны в нее, то линиѐ их пересечениѐ распадаетсѐ на две кривые второго порѐдка, плоскости которых проходѐт через прѐмуя, соединѐящуя точки пересечениѐ линий касаниѐ» (рис. 7.2, г).

Рис. 7.3

*)	Порядок
поверхности	определяется

порядком образующей и равен 2n. Порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Две поверхности вращения второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка.

При распаде линии пересечения на линии сумма их порядков равна порядку

самой линии.

100