Prezentatsia_IG_KhN_KhO_KhP_KhM_2013
.pdf4. Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Под плоскостями частного положения понимаят такие плоскости, которые перпендикулѐрны и параллельны плоскостѐм проекций.
Различаят проецируящие плоскости и плоскости уровнѐ.
Проецирующие плоскости – плоскости, проходѐщие через центр проецированиѐ и перпендикулѐрные какой-либо плоскости проекций.
Плоскость, перпендикулѐрнаѐ горизонтальной плоскости проекций П1, называетсѐ горизонтально проецируящей плоскостья (рис. 3.7). Плоскости, перпендикулѐрные фронтальной или профильной плоскости проекций, называят фронтально (рис. 3.8 ) и профильно проецируящими (рис. 3.9).
Соответствуящие следы проецируящих плоскостей обладаят собирательным свойством, которое может быть сформулировано следуящим образом: лябой геометрический элемент, лежащий в проецируящей плоскости, проецируетсѐ на вырожденнуя проекция плоскости. Так, на рис. 3.7, 3.8 и 3.9 точки А, В, С и прѐмые l, a и b,
лежащие в плоскостѐх , β и δ, проецируятсѐ на след плоскости на соответствуящих плоскостѐх проекций.
Плоскости уровня – это плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций. Различаят:
1)горизонтальнуя плоскость уровнѐ ׀׀ П1 (рис. 3.10 );
2)фронтальнуя плоскость уровнѐ β ׀׀ П2 (рис. 3.11);
3)профильнуя плоскость уровнѐ δ ׀׀ П3 (рис. 3.12).
На той плоскости проекции, к которой параллельна заданнаѐ плоскость уровнѐ,
лябой |
геометрический |
элемент, |
лежащий |
в |
ней, |
проецируетсѐ |
в натуральнуя величину.
41
Горизонтально проецируящаѐ плоскость
z
|
|
z |
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
|
αП2 |
ℓ2 |
А2 |
|
|
|
αП2 |
ℓ2 |
А2 |
|||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
А |
y |
x |
ℓ |
П3 |
|
|||
x αx |
|
|
|
ℓ1 |
|
|
|
А1 |
|
ℓ1 |
А1 |
|
|
||
y |
|
П1 |
|
α ┴ П1 (αП2 ┴ х, αП3 ┴ y) |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Рис. 3.7
Назад
42
Фронтально проецируящаѐ плоскость
В2
А2
С2
x βx
А1
В1
βП1
С1 |
y |
β ┴ П2 (βП1 ┴ х, βП3 ┴ z)
Назад
z |
z |
П2
x |
А |
|
|
y |
|
В |
β |
|
|
С |
|
1 С1
y
Рис. 3.8
43
Профильно проецирующая плоскость
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δП2 |
|
|
δП2 |
|
|
δ |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
x |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
δy |
x |
|
П3 |
|
|
|
a1 |
|
b1 |
|
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
δП1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
δy |
|
|
|
|
b1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
δП1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
П (δ |
П1 ┴ |
y; δ |
П2 ┴ |
z; δ |
П1 |
, δ |
П2 |
║ x) |
П1 |
|
|
|
┴ 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
|||
Назад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
|
Горизонтальнаѐ плоскость уровнѐ |
|
||
|
|
|
|
z |
|
|
|
П2 |
|
|
z |
|
|
|
αП2≡h2 |
αП3≡h3 |
|
αП2≡h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
x |
y |
x |
h |
П3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
|
|
y |
|
П1 |
|||||
α ║ П1 (αП2 ║ х, αП3 |
║ у) |
||||||
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.10
Назад |
45 |
|
Фронтальнаѐ плоскость уровнѐ
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
βП3 |
|
|
|
|
А2 |
|
|
А3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
С3 |
|
|
|
|
|
н. в. |
|
|
|
x |
|
|
В2 |
|
В3 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
βy |
|
β |
|
|
А1 |
В1 |
С1 |
βy |
|
П1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
β ║П2 (βП1 ║ х, βП3 ║ z) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
|
|
|
Назад |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
П2 |
|
|
|
|
|
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
β |
|
А |
|
|
βП3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
В2 |
|
|
С |
П3 |
|
|
|
|||
|
βП1 |
В |
|
|
|
|
А1 |
В1 |
|
С1 |
|
|
П1 |
|
|
|
|
y
46
|
|
Профильнаѐ плоскость уровнѐ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
П2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a3 |
b3 |
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|||
≡b |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
≡b |
|
|
a |
|
|
|
2 |
|
|
≡ |
|
н. в. |
|
a |
|
|
П2 |
|
|
≡ |
a |
a3 |
|
|
|
|
||||
δ |
|
y |
x |
П2 |
||
x |
|
δ |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
≡b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
≡ a |
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
|
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
П1 |
|
|
δ║П3 (δП1, δП2 ┴ х) |
|
|
|
|
b3
П3
y
Назад |
Рис. 3.12 |
|
47 |
||
|
Тема № 4 «Взаимное положение прѐмой и плоскости, двух плоскостей»
1.Параллельность прѐмой и плоскости, двух плоскостей.
2.Перпендикулѐрность прѐмой и плоскости, двух плоскостей.
3.Пересечение двух плоскостей.
4.Пересечение прѐмой и плоскости.
48
1. Параллельность прѐмой и плоскости, двух плоскостей
Возможны три случая относительного расположения прямой и плоскости
впространстве:
1)прямая принадлежит плоскости (см. слайд 36);
2)прямая параллельна плоскости;
3)прямая пересекает плоскость. Частный случай пересечения прямой и плоскости
– пересечение под прямым углом.
|
|
|
В |
2 |
|
|
ℓ2 |
k |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
А2 |
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ℓ |
1 |
k1 |
|
|
А1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
11
В1
Рис. 4.1
Прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно провести прямую, параллельную этой прямой.
Прѐмаѐ ℓ (рис. 4.1) параллельна плоскости, заданной треугольником АВС, так как горизонтальнаѐ проекциѐ прѐмой ℓ (ℓ1) параллельна горизонтальной проекции прѐмой ВС (В1С1), лежащей в плоскости треугольника. Фронтальнаѐ проекциѐ этой прѐмой (ℓ2) параллельна фронтальной проекции прѐмой ВС
(В2С2).
Прѐмаѐ k параллельна плоскости заданной треугольником, так как параллельна прѐмой С-1.
49
Две плоскости относительно друг и пересекающимися.
|
f2 |
|
h2 |
х |
ho2 ≡ f o1 |
f1
h1
Рис. 4.2
друга могут быть параллельными
Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны |
двум |
пересекающимся |
прямым |
другой плоскости. |
|
На рис. 4.2 плоскость , |
|
заданнаѐ |
двумѐ |
пересекаящимисѐ прѐмыми h и f, параллельна плоскости β, заданной следами βП1 и βП2. Согласно определения о параллельности двух плоскостей:
f1 ׀׀ f o1 (ось х), f2 ׀׀ f o2, ( β П2),
h1 ׀׀ ho1 ( β П1), h2 ׀׀ ho2 (ось х).
У параллельных плоскостей заданных следами одноименные следы параллельны.
50