ЭМММ лаба 1

Рис. 10

10

(эта прямая явно проходит через начало координат и для ее построения достаточно отыскать лишь одну точку вне координатных осей), то в результате построения получаем мно-

жество планов в виде отрезка АВ (все его точки лежат на этой прямой и принадлежат полуплоскостям (1) и (3)).

Если к тому же учесть grad L(x) = (1, –1), легко видеть, что и максимум L(x) достигается в точке A (начале координат) и равен ну-

лю, а минимум – в точке B на пересечении прямых	–x1 + 2x2 = 5
и x1 + x2 = 0, с координатами (–5/3, 5/3), и Lmin(Х) =	–10/3.

В заключение заметим, что обнаруженные здесь свойства линейных программ переносятся и на общий случай более чем двух измерений, где прямые превращаются в плоскости, а полуплоскости – в полупространства, многоугольник – в многогранник, но использовать графические приемы решения здесь будет почти всегда нереально.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить задачу линейного программирования, рассматривая её как задачу максимизации (минимизации) функции L(x) на заданном множестве планов. Объяснить полученные результаты.

1.	L(x) = x1 + 2x2		2. L(x) = 2x1 + x2
при условиях			при условиях
	5x1 – 2x2 ≤ 7		x1 + 2x2 ≤ 15
	–x1 + 2x2 ≤ 5		3x1 – 5x2 ≤ 8
	x1 + x2 ≥ 6		5x1 + 3x2 ≥ 26
	x1	≥ 0	x2 ≥ 0

3.	L(x) = 2x1 + 3x2
при условиях
	8x1 – 5x2 ≤ 16
	– x1 + 3x2 ≤ 2
	2x1 + 7x2	≥ 9
	x1	≥ 1
5.	L(x) = x1 + 2x2
при условиях
	2x1 + x2 ≤ 14
	– 3x1 + 2x2 ≤ 9
	3x1 + 4x2	≥ 27
	x2 ≤ 7

7. L(x) = 2x1 + x2

при условиях

x1 + 2x2 ≤ 14 3x1 – 5x2 ≤ 5

5x1 + 3x2	≥ 21
x1	= 3

9. L(x) = x1 + x2

при условиях

7x1 + 5x2 ≤ 28 –5x1 + 4x2 ≤ 7 x1 + 2x2 ≥ 5 x1 + 3x2 = 9

11

4.	L(x) = x1 + x2
при условиях
	7x1 + 5x2 ≤ 40
	– 5x1 + 4x2 ≤ 6
	x1 + 2x2	≥ 8
	x1	= 3
6.	L(x) = x1 + 2x2
при условиях
	5x1 – 2x2 ≤ 4
	– x1 – 2x2 ≤ 4
	x1 – x2	≥ 4
	x1 = 4/3
8.	L(x) = 2x1 + 3x2
при условиях

8x1 – 5x2 ≤ 11

– x1 + 3x2 ≤ 1 2x1 + 7x2 ≥ 7

10. L(x) = x1 + 2x2

при условиях

2x1	+ x2	≤ 11
3x1 + 4x2		≥ 20
–3x1	+ 2x2 ≤ 10
x1		≤ 4
	x2 ≤ 6

11. L(x) = 2x1 + x2

при условиях

5x1 – 2x2 ≤ 7

– x1 + 2x2 ≤ 5 x1 + x2 ≥ 6 x2 ≥ 2

13. L(x) = x1 + x2

при условиях

8x1 – 5x2 ≤ 16

– x1	+ 3x2	≤ 2
2x1	+ 7x2	≥ 9
x1		≥ 1

15. L(x) = 2x1 + 3x2

при условиях

2x1 + x2 ≤ 14 –3x1 + 2x2 ≤ 9

3x1 + 4x2	≥ 27
x1	≤ 4

17. L(x) = 2x1 + 3x2

при условиях

x1 + 2x2 ≤ 14 3x1 – 5x2 ≤ 5 5x1 + 3x2 ≥ 21 x2 ≥ 2

12

12. L(x) = 2x1 + 3x2

при условиях

	x1 + 2x2 ≤ 10
	3x1 – 5x2 ≤ 8
	5x1 + 3x2	≥ 20
	x1	≥ 2
14.	L(x) = x1 + 2x2
при условиях
	7x1 + 5x2 ≤ 40
	– 5x1 + 4x2 ≤ 6
	x1 + 2x2	≥ 8
	x2 ≤ 4
16.	L(x) = 2x1 + x2
при условиях
	5x1 – 2x2 ≤ 4
	– x1 + 2x2 ≤ 4
	x1 + x2 ≥ 4
	x1	≥ 4/3
18.	L(x) = x1 + x2
при условиях
	8x1 – 5x2 ≤ 11
	– x1 + 3x2 ≤ 1
	2x1 + 7x2 ≥ 7
	x2	≥ 1

19.	L(x) = x1 + 2x2
при условиях
	7x1 + 5x2 ≤ 27
	–5x1 + 4x2 ≤ 8
	x1 + 2x2	≥ 5
	x1	≤ 5/2
	x2 ≥ 3/2
21.	L(x) = –2x1 – x2
при условиях
	–3x1 + 2x2 ≤ 10
	9x1 + 4x2 ≤ 56
	3x1 + 5x2 ≥ 4
	x1, x2 ≥ 0
23.	L(x) = –2x1 + 3x2
при условиях
	–x1 + 2x2 ≤ 4
	5x1 + 2x2	≥ 10
	4x1 – 3x2 ≤ 12
	7x1 + 4x2 ≤ 28

25. L(x) = 3x1 – 2x2

при условиях

2x1 + 5x2 ≤ 3 –3x1 + 8x2 ≤ –5 –2x1 + 4x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0

13

20. L(x) = 2x1 + 3x2

при условиях

	2x1 + x2 ≤ 14
	–3x1 + 2x2 ≤ 11
	3x1 + 4x2	≥ 19
	x2	≤ 8
	x1	≥0
22.	L(x) = 2x1 – 3x2
при условиях
	–x1 + x2 ≤ 2
	5x1 + 2x2 ≥ 10
	5x1 – 2x2 ≤ 10
	x2 ≤ 4
	x1 ≥	0
24.	L(x) = x1 + 2x2
при условиях
	x1 + 2x2	≥ –1
	–5x1 + 2x2	≤ 10
	4x1 – 3x2 ≤ 12
	x2 ≥ 0
26.	L(x) = –8x1 + 9x2
при условиях
	x1 + 2x2	≥ 8
	–x1 + 2x2 ≤ 0
	x1	≤ 2
	x1, x2 ≥ 0

27. L(x) = 2x1 + x2

при условиях

	x1	– 5x2 ≤ 3
	x1 + x2 ≤ 9
	–x1 + x2 ≥ 3
	x1, x2 ≥ 0
29.	L(x) = –2x1 + x2
при условиях
	x1 + x2 ≤ 8
	2x1 – x2 ≤ 4
	x1 + 2x2 ≥ 4
	x1, x2 ≥ 0
31.	L(x) = –4x1 + x2
при условиях
	x1 – x2 ≤ 1
	x1 – x2 ≥ –1
		x2 ≥ 2
	x1	≤ 4
		x1 ≥ 0

33. L(x) = x1

при условиях

–x1 + x2 ≤ 7 x1 + x2 = 0

x2 ≥ 0

14

28. L(x) = 2x1 + x2

при условиях

	x1 – x2 ≥ –7
	x1 – x2 ≤ –2
	x1	≤ 6
	x1, x2 ≥ 0
30.	L(x) = –x1 + x2
при условиях
	–2x1 + x2 ≤ 2
	x1 + 2x2 ≤ 4
	x1 + 4x2 ≥ 4
	x1, x2 ≥ 0
32.	L(x) = x1 + 2x2
при условиях
	2x1	+ 3x2 ≤ 6
	2x1 + x2 ≤ 4
	2x1 + x2 ≥ 1
	x1	≤ 1
	x1 – x2 ≥ –1
	x1,2 ≥ 0
34.	L(x) = x1 + x2
при условиях
	–3x1	+ 2x2 ≤ –1
	x1 – x2 ≤ 2
	3x1 + 2x2 ≥ 3
		x2 ≥ 0

35.	L(x) = x1 + x2
при условиях
	–2x1 + x2 ≤ 2
	2x1 – 3x2 ≤ 6
	2x1 + x2 ≥ 4
	x1, x2 ≥ 0
37.	L(x) = 3x1 + 2x2
при условиях
	2x1	+ 3x2 ≤ 12
	x1 – x2 ≤ 3
	3x1 + 2x2 ≥ –6
	x1 – x2 = 0
39.	L(x) = 5x1 + 5x2
при условиях
	2x1 + x2 ≥ –4
	x1 + x2 ≤ 6
	2x1 – x2 ≤ 6
		x2 ≤ 4
		x1 ≥ 0
41.	L(x) = x1 + 2x2
при условиях
	x1 + x2 ≥ 3
	–2x1 + x2 ≤ 2
	x1 – 2x2 ≤ 2
	x1	≤ 4
		x2 ≤ 3
		x1,2 ≥ 0

15

36.	L(x) = 3x1 + x2
при условиях
	2x1 – 3x2 ≥ –6
	–x1 + 2x2 ≥ –4
	3x1 + 4x2 ≥ 5
	x1 ≥ 0
38.	L(x) = 3x1
при условиях
	–5x1 + 4x2 ≤ 20
	x1 – x2 ≤ 4
	3x1 + 2x2 ≥ –6
	4x1 + x2 ≥ –4
40.	L(x) = x1 + x2
при условиях
	–x1 + 2x2 ≥ 1
	x1 – x2 ≥ –3
	3x1 + 2x2 ≤ 6
	x1 + x2 ≥ –2
	x2 ≥ 0
42.	L(x) = x1 + 2x2

при условиях

3x1 + 2x2 ≤ 12 –x1 + 2x2 ≤ 6 3x1 – x2 ≤ 3 x1 + x2 ≥ 1 x1 ≥ 0

16

Составители Моисей Аронович Тынкевич Галина Николаевна Речко Елена Васильевна Буйная

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методические указания и задания к циклу практических занятий и для самостоятельной работы

студентов экономических специальностей по дисциплинам

«Исследование операций в экономике» и «Экономико-математические методы и модели»

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 23.10.2010.

Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе.

Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 130 экз. Заказ

.

ГУ КузГТУ. 650000, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография ГУ КузГТУ. 650000, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.