МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009

										np 0 e np	np 1 e	np
P A 1 P A 1 P10000								0 P10000	1 1	0!
											1!
1	20 e 2			21 e 2		1	3	1 0,41 0,59.
	1			1			e2

Законы распределения дискретных случайных величин, определение числовых характеристик (задачи № 91–120) рассмотрены в [1, гл. 6-7; 2, гл. 4, п. 1, 3].

Пример. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон распределения случайной величины X , которая выражает число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Случайная величина X – число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей, может принимать пять значений 0, 1, 2, 3, 4. Случайная величина X имеет биномиальное распределение, значит, вероятности находятся по формуле Бернулли [1, гл. 5, п. 1; 2, гл. 3, п. 1].

при n 4;	p 0,5;		k 0,1,2,3,4,														q 1 p 1 0,5 0,5
P X 0 P4		0 C40 p0 q4							1					;
			16
P X 1 P		1 C1	p1 q3			4									1			;
	4	4	16												4
P X 2 P		2 C2	p 2 q2					6									3			;
	4	4	16												8
P X 3 P		3 C3	p 3 q1				4									1			;
	4	4	16												4
P X 4 P 4 C4 p4 q0					1					.
	4	4	16
Запишем закон распределения случайной величины X
X	0			1													2				3	4
P	1/16			1/4													3/8				1/4	1/16

	5	1		1		3		1		1
	Контроль: pi										1. Закон составлен пра-
										16
	i 1	16 4				8 4

вильно.

Так как случайная величина имеет биномиальное распределение, то математическое ожидание M X np 4 0,5 2, дисперсия D X npq 4 0,5 0,5 1, среднее квадратическое отклонение

X D X 1.

В некоторых задачах при подсчёте вероятностей возможных значений случайной величины следует использовать основные теоремы теории вероятностей.

Пример. Студент с вероятностью 2/3 даёт правильный ответ на любой предложенный на экзамене вопрос. Студент может взять три вопроса, причём каждый следующий вопрос берётся только в том случае, если предыдущий ответ был неправильный. Составить закон распределения случайной величины X – числа взятых студентом вопросов. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Случайная величина X – число взятых студентом вопросов – может принимать значения 1, 2, 3. Для подсчёта вероятностей возможных значений введём события: Ai – студент даёт правильный ответ на i -й вопрос; Ai – студент даёт неправильный ответ на i -й вопрос (i = 1, 2, 3).

			P Ai					2	; P				i 1 P Ai 1								2		1		.
												A
				3														3				3
	Определяем вероятности возможных событий
	P X 1 P A1					2	;
				3											1		2		2
	P X 2 P		1 A 2 P								1 P A 2									;
		A								A
														3		3		9
	Составляем закон распределения случайной величины X
	X				1									2										3
	P				2/3									2/9										1/9

	3	2		2		1
	Контроль: pi						1. Закон составлен правильно.
		3
	i 1			9 9

Вычисляем числовые характеристики. Математическое ожидание

3					2								2						1				13
M X xi pi 1									2							3									.
				3									9										9
i 1																		9
Дисперсию определяем		по				формуле												D X M X2 M 2 X .
Здесь						2								2						1				23
3
M X2 xi pi 1									4								9									.
													9
i 1				3														9					9
D X		23		13 2									38					.
		9
				9									81
Среднее квадратическое отклонение
X											38			0,68 .
	D X
											81

В некоторых задачах следует производить непосредственный подсчёт вероятностей возможных значений случайной величины.

Пример. В лотерее из десяти билетов три выигрышных. Наудачу взяты два билета. Составить закон распределения случайной величины X – числа невыигрышных билетов среди отобранных. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Случайная величина X – число невыигрышных билетов среди отобранных – может принимать значения: 0, 1, 2. Найдём соответствующие им вероятности.

Событие X 0 означает, что среди двух взятых билетов оба выигрышных. Тогда

2

P X 0 C3 3 1 .

C102 45 15

Событие X 1 означает, что среди двух взятых билетов один выигрышный и один невыигрышный. Тогда

P X 1	C13 C17		7	.
	C102
		15

Событие X 2 означает, что среди двух взятых билетов оба невыигрышных. Тогда

							P X 2				C72			7	.
											C102
													15
	Составляем закон распределения случайной величины X
	X		0							1						2
	P		1/15							7/15						7/15
	3			1		7		7
	Контроль: pi								1. Закон составлен правильно.
			15			15		15
	i 1

Вычисляем числовые характеристики. Математическое ожидание

3			1						7					7				21
M X xi pi 0							1					2									1,4 .
			15															15
i 1						15						15
Дисперсию определяем			по				формуле D X M X2 M 2 X .
Здесь				1						7					7				7
3
M X2 xi pi	0						1					4								2,33.
																		3
i 1			15			15						15
D X 2,33 1,4 2												0,37 .
Среднее квадратическое отклонение
X													0,61.
		D X
								0,37

Закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан функцией распределения F x (интегральная

функция) или функцией плотности вероятностей f x (дифферен-

циальная функция).

Для решения задач № 121–150 надо знать определение функции плотности вероятностей, формулы, позволяющие находить числовые характеристики, а также уметь определять вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Соответствующие вопросы изложены в [1, гл. 10–11; 2, гл. 6, п. 1–3].

Пример. Функция распределения случайной величины имеет

вид

0, x 0,

x

F x , 0 x 3,

3

1, x 3.

Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал 2,4 .

Решение. Найдём функцию плотности вероятностей по определению f x F x . Для этого продифференцируем функцию

F x , то есть

0, x 0,

1

f x , 0 x 3,

3

0, x 3.

Числовые характеристики вычисляем по формулам

M X		D X		x M X 2 f x dx .
	x f x dx;

Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу

D X		2
	x	2 f x dx M X .

Так как f x задана на разных интервалах различными анали-

тическими выражениями, то несобственный интеграл при нахождении математического ожидания и дисперсии будет представлен в виде суммы интегралов

M X				0					3				1										1	3				1				x	2			3		1		9				3	.
				x 0 dx x											dx x 0 dx									x dx
												3
									0									3			3			0			3 2									0	3 2 2
	Дисперсию вычисляем по второй формуле
D X				0							3					1									3 2				1 3											9
						x2 0 dx x2												dx x2 0 dx														x2					dx
																																								4
											0					3				3					2				3 0
	1		x3			3	9		1			9						1			3																			.
										9					3			2				.
	3		3				4		3			4									4
						0												4

Найдём вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле

P 2 X 4 F 4 F 2 1 2 1 .

3 3

Для решения задач № 151–180 следует изучить закон нормального распределения. Соответствующий вопрос изложен в [1, гл. 12, п. 2,5; 2, гл. 6, п. 5].

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a 3,2 и средним квадратическим отклонением 0,8 . Записать плотность распределения. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал 2,5 .

Решение. Так как случайная величина X распределена по нормальному закону, то её функция плотности имеет вид

							x a			2														x 3,2 2
		1																1
f x													f x											2 0,8 2
									2 2
						e				;											e					.
																			2
		2													0,8
Вероятность того, что случайная величина примет значение
из интервала	2,5 , определяется по формуле
P 2 X	5			a							a					5 3,2								2 3,2
																										0,8
																		0,8
2,25 1,5 2,25 1,5 .
По прил. 2 ›Таблица значений функции x																											1		x			x 2
																																	2 dx
																													e
[1, с. 462; 2, с. 326] определяем значения функции																											2 0
		2,25 0,4878,											1,5 0,4332.
		P 2 X 5 0,4878 0,4332 0,921.

Контрольная работа № 10

Для выполнения работы следует изучить соответствующий материал по литературе [1, гл. 15–17; 2, гл. 9–13].

Одной из задач математической статистики является установление закономерностей массовых случайных явлений, осно-

ванное на изучении результатов наблюдений. Покажем на примере систематизацию опытных данных и вычисление числовых характеристик.

Пример 1. На угольных предприятиях определяли производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина X ) и скорость проходки (случайная величина Y , м/мес.). Результаты наблюдений приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные (выборка)

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
0,31	136	0,19	110	0,16	70	0,15	118	0,15	100
0,16	76	0,16	87	0.33	300	0,18	152	0,19	64
0,27	160	0,14	75	0,23	185	0,21	155	0,31	150
0,25	170	0,21	120	0,36	311	0,26	151	0,22	150
0,23	101	0,18	97	0,20	97	0,29	230	0,23	126
0,17	87	0,24	100	0,17	120	0,22	215	0,36	280
0,18	72	0,12	123	0,25	201	0.23	202	0.31	154
0,22	100	0,24	103	0.20	152	0,16	120	0,21	120
0,29	194	0,21	100	0,18	118	0,18	101	0,16	120
0,25	190	0.23	103	0,17	158	0,17	100	0.28	125

По данным X – производительности труда рабочего (табл.1) необходимо:

а) составить вариационный ряд;

б) вычислить выборочную среднюю x , выборочную дисперсию Db , выборочное среднее квадратическое отклонение x .

Решение. а). Систематизация результатов наблюдения.

Для построения интервального вариационного ряда определим оптимальную величину интервала (шаг) по формуле Стерджеса

h xmax xmin ,

1 3,2lg n

где xmax , xmin – соответственно максимальные и минимальные значения X, n – объём выборки.

h	0,36 0,12		0,24	0,04 .
	1 3,2lg 50
		6,44

Величину интервала определяем с той же точностью, с какой заданы исходные данные.

Составим таблицу распределения случайной величины или признака X , называемую вариационным рядом.

Таблица 2 Вариационный ряд производительности труда рабочих

Интервалы J	Частота mi	Частость p*i	Накопленная
			частость F	*	x
[0,12;0,16)	4	0,08	0,08
[0,16;0,20)	16	0,32	0,40
[0,20;0,24)	14	0,28	0,68
[0,24;0,28)	7	0,14	0,82
[0,28;0,32)	6	0,12	0,94
[0,32;0,36]	3	0,06	1,00
	50	1

Замечания к составлению табл. 2

1.Запись интервалов начинается с xmin и продолжается до тех пор, пока не войдёт xmax .

2.Просматривая по табл. 1 исходные данные признака X в порядке записи, проставляют (во втором столбце табл. 2) точки в интервале, которому соответствует данное значение X . Подсчитав количество проставленных точек, определим частоту, соответствующую данному интервалу.

3.В интервал включаются значения большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала.

4.Отношение частоты к общему числу наблюдений определяет

частость p*i mi .

n

5. Накопленная частость интервала определяется как сумма частостей, предшествующих и данного интервала [1, гл. 15, п. 7; 2, гл. 9, п. 2].

б) Вычисление числовых характеристик

Таблица 3

Расчёт числовых характеристик

xi		mi	xi mi	xi	x	xi	x	2	xi	x	2 mi
0,14	4		0,56	-0,08		0,0064			0,0256
0,18	16		2,88	-0,04		0,0016			0,0256
0,22	14		3,08	0		0			0
0,26	7		1,82	0,04		0,0016			0,0112
0,30	6		1,80	0,08		0,0064			0,0384
0,34	3		1,02	0,12		0,0144			0,0432
	50		11,16						0,1440

Замечания к табл. 3 1. В первом столбце записаны середины интервалов, например,

для первого интервала x1 0,12 0,16 0,14 .

2

2. В третьем столбце результаты перемножения соответствующих значений первого и второго столбца. Вычисляем выбороч-

ную среднюю x xi mi 11,16 0,2238 0,22 .

n50

3.В четвёртом столбце разности между значениями xi и выбо-

рочным средним x .

4.В пятом столбце записываются квадраты значений четвёртого столбца.

5.В шестом столбце записаны результаты перемножения соответствующих значений второго и пятого столбцов. Вычислим

выборочную дисперсию	Db	xi	x	2	mi				0,1440		0,0029		и
		n							50
среднее квадратическое отклонение x						Db				0,0029		0,053.

Пример 2. Построить теоретическую кривую нормального распределения по данным примера 1. Проверить по критерию Пирсона правильность выбранной гипотезы при уровне значимости 0,05 .

Решение. Для построения нормальной кривой рассчитываем теоретические частоты mi по формуле

m

i

nh

ti ,

x

t 2

xi x

t

1

где ti

2 , n – объём выборки, h – шаг ин-

,

e

2

x

тервала.

Составим расчётную таблицу

Таблица 4

Расчёт теоретических частот

xi	mi	ti	xi 0,22		ti					50 0,04 ti
							mi
		0,053							0,053
0,14	4	–1,51			0,1276	5
0,18	16	–0,75			0,3011	11
0,22	14	0			0.3989	15
0,26	7	0,75			0,3011	11
0,30	6	1,51			0,1276	5
0,34	3	2,26			0,0310	1
	50					48

Замечания к табл. 4

1. Значения ti находят по прил. 1 [1, с. 461; 2, с. 324] ›Таблица

значений функции	x		1			x 2		. При этом учитывают, что
				e		2
			2
x x . Для x 3,99 x 0 .

2. Теоретические частоты округляют до целых значений. Построим полигоны эмпирических и теоретических частот

производительности труда рабочих