МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009

m i	mi
16
12
8
4						xi
	0,14	0,18	0,22	0,26	0,3	0,34

Пунктирной линией построен полигон теоретических частот, а сплошной линией – полигон эмпирических частот.

Проверим согласованность теоретического и эмпирического распределения по критерию Пирсона

				p2		r	m	i		m	i	2
												.
					i 1				mi
			Расчёт величины p2														Таблица 5
																2	mi		m	i 2
xi	mi		mi				mi mi						mi mi
																		m	i
0,14	4	5				4							16				1
0,18	20	16
	16	11
0,22	14	15				–1							1				0,07
0,26	7	11				–4							16				1,45
0,30	6	5				1							1				0,166
0.34	9	6
	3	1
	50	48															2,686

Замечание к табл. 5

Если число наблюдений (частота mi ) в интервале меньше 5, то интервал объединяется с соседним и их частоты складываются. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты mi также надо сложить.

По прил. 5 ›Критические точки распределения 2 [1, с. 465;
2, с. 329] находим табл2	k, , где 0,05 – уровень значимости,

k – число степеней свободы, k r 3 4 3 1 ( r – число интервалов после объединения), табл2 1;0,05 3,8 . Так как p2 2,686

меньше табл2 1;0,05 3,8 , то различия между теоретическими и

эмпирическими частотами незначимы.

Вывод. Производительность труда рабочих при проходке штрека распределяется по нормальному закону и имеет функцию плотности

						x 0,22 2
	1
f x				e		2 0,053 2 .
	0,053
		2

Пример 3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью 0,95 по значениям x 0,22; x 0,053; n 50 , полученным в первом примере.

Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии генеральной совокупности определяется по формуле

x

s

tn, a

x

s

tn, .

n

n

t t , n

Для 0,95,

n 50 по прил. ›Таблица значений

[1, с. 464; 2, с. 328] определяем t t 0,95;50 2,009 .

Определяем исправленную дисперсию s2 :

s2 Db n

n 1

0,0029

50

0,00295;

50 1

s

s2

0,054;

0,00295

s

tn,

0,054

2,009 0,015;

n

50

0,205 a 0,235 .

0,22 0,015 a 0,22 0,015;

Пример 4. При уровне значимости 0,08 проверить нуле-

вую гипотезу H0 : M X M Z при

конкурирующей гипотезе

H1: M X M Z , если	z	0,24; D Z 0,01;			m 60 взяты из ге-
неральной совокупности Z , а			x	0,22; D X	0,029; n 50 берём

из первого примера.

Решение. Вычисляем расчётное значение Z – критерия. Так как дисперсии генеральных совокупностей известны, то

Zp				x			z								0,22 0,24					1,33.
														0,0029			0,01
			D X					D Z
														50			60
			n
									m

Определяем критическую точку из равенства

	Zkp	1		1 0,08	0,46 .
	2		2							z2
	По прил. 2 ›Таблица значений функции x						1		x
									e		2	dz
							2
								0

[2, с. 462] по значению функции 0,46 определяем табличное (критическое) значение аргумента Zkp 1,75 . Сравним Zp 1,33 и

Zkp 1,75 . Так как Zp Zkp , то гипотеза о равенстве средних при-

нимается,	то	есть,	справедлива	нулевая	гипотеза
H0 : M X M Z		[1, гл. 19, п. 11; 2, гл. 13, п. 4].

Пример 5. Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами X (производительность труда) и Y (скорость проходки) по данным, приведённым в табл. 1 (пример 1). Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии

y	x		y	rb		y	x	x	.
						x

Решение. Определим величину интервала для интервального вариационного ряда признака Y :

	hy		ymax ymin		311 64	38 .
			1 3,2lg n		6,44

Составим таблицу для расчёта выборочного коэффициента корреляции (табл. 6).

Замечания к табл. 6

1.В первой строке приведены интервалы для признака X , полученные в примере 1. В скобках указаны середины интервалов.

2.В первом столбце приведены интервалы для признака Y . В скобках указаны середины интервалов.

3.Просматривая по табл. 1 исходные данные (парами xi , yi ),

проставляем точки в тех клетках табл. 6, которым соответствуют данные значения xi , yi . Число точек в клетке определяет частоту

mi j ( i – номер строки, j – номер столбца).

4.В столбце my указана частота по данной строке.

5.В каждой клетке столбца yim y записаны произведения сере-

дины интервала на соответствующую частоту.

6. В каждой клетке столбца yi 2m y записаны произведения yi и

yim y .

7.В каждой клетке столбца yi 2 записаны квадраты середин интервалов для признака Y .

8.Каждую клетку строк mx , ximx , xi 2mx заполняем по аналогии с пунктами 4,5,6.

9.В строке yx записываем групповые средние признака Y .

Например, для столбца с интервалом [0,20;0,24) и его серединой 0,22 получаем

yx 0,22 83 4 121 4 159 3 197 3 134,57 .

14

10.В строке ximx yx записываем произведения соответствующих значений строк ximx и yx .

11.В конце каждой строки и столбца записываем суммы значений данной строки и столбца.

Таблица 6

Расчёт коэффициента корреляции

		X			0,12-0,16	0,16-0,2	0,2-0,24	0,24-0,28	0,28-0,32	0,32-0,36	my	yim y	y	i	2m	y	y	2
		Y			(0,14)	(0,18)	(0,22)	(0,26)	(0,30)	(0,34)								i
64-101					2	10	4	1			17	1411	117113				6889
(83)
102-140					2	4	4	1	2		13	1573	190333				14641
(121)
140-178						2	3	3	2		10	1590	252810				25281
(159)
178-216							3	2	1		6	1182	232854				38809
(197)
216-254									1		1	235	55225				55225
(235)
254-292										1	1	273	74529				74529
(273)
292-330										2	2	622	193442				96721
(311)
m x					4	16	14	7	6	3	50	6886	1116306				312095
xi mx					0,56	2,88	3,08	1,82	1,8	1,02	11,16
xi		2mx			0.0784	0,5184	0,6776	0,4732	0,54	0,3468	2,6344
y	x				102	102	134,57	153,57	165,33	298,33	955,80
xi m x			y	x	57,12	293,76	414,48	279,5	297,594	304,297	1646,75

Для определения коэффициента корреляции вычисляем значения

x ximi 11,16 0,22;

n50

y yimi 6886 137,72;

n50

_ ximi yx 1646,75

xy 32,935; n 50

_

xi

2mi

2,6344

x2

0,0527;

50

_

n

yi 2mi

1116306

y2

22326,12;

n

50

_

x

x2

x

2

0,0527 0,22 2

0,054;

Db X

_

y

y2

y

2

22326,12 137,72 2 57,96 .

Db Y

Определяем коэффициент корреляции

_

r

xy

x

y

32,935 0,22 137,72

0,7 .

b

x y

0,054 57,96

Так как rb 0,7 – то связь между признаками X и Y тесная, то есть скорость проходки зависит от производительности труда.

Определим коэффициент регрессии

		y x	r		y	0,7		57,96			751,3 .
			b		x		0,054
Запишем уравнение прямой регрессии
y	x 137,72 751,3 x 0,22						или		y		x 751,3x 17,57 .

Построим на одном чертеже полученную прямую регрессии и эмпирическую линию регрессии, отложив точки с координатами xi , yx ( xi – середины интервалов, yx – условные средние, вычисленные в табл. 6 в предпоследней строке) и соединив их ломаной.

300

200

150

100

0,14

0,18

0,22

0,26

0,3

0,34

Контрольная работа № 9

Теория вероятностей

1–30. Непосредственный подсчёт вероятностей

1.Из партии изготовленных шестерён, среди которых 20 годных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 8 штук. Определить вероятность того, что среди них будет 3 бракованных.

2.В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу 3 деталей все детали нестандартные.

3.На карточках написаны буквы А, Е, К, Р. Карточки тщательно перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ›РЕКА ?

4.Из карточек с буквами А, Б, В, Д наудачу последовательно выбирают три и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ›ДВА ?

5.Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковые цифры, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.

6.В ящике 12 писем, из них 7 иногородних и 5 городских. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 3 писем все письма будут городскими?

7.В партии из 20 телефонов 3 неисправных. Какова вероятность того, что из двух случайно взятых аппаратов оба будут хорошими?

8.Ребёнок играет с разрезной азбукой (33 буквы). Определить вероятность того, что при случайном вынимании 7 букв и расположении их в ряд он получит слово ›самолёт .

9.Из 10 билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов оба выигрышных.

10.Слово ›интеграл составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу случайно берут 4 карточки и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что получится слово ›игра ?

11.Абонент забыл последнюю цифру телефона и поэтому набирает её наудачу. Какова вероятность того, что он сразу позвонит нужному лицу? Какова эта вероятность, если он вспомнит, что последняя цифра нечётная?

12.Имеется 5 букв разрезной азбуки К, Л, О, О, С. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд получится ›КОЛОС ?

13.Монета бросается дважды. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпадет герб?

14.Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

15.Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали разные цифры?

16.Три человека задумали по одной цифре каждый. Какова вероятность того, что они задумали одинаковые цифры?

17.Подсчитать вероятность того, что в выбранном наудачу телефонном номере, содержащем 4 цифры, все цифры различны. Предполагается, что номером может быть любое четырёхзначное число, начиная с 0001.

18.Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число.

19.Каждая из букв Т, М, Р, О, Ш написана на одной из 5 карточек. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад

в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово ›ШТОРМ ?

20.На столе лежат 36 экзаменационных билетов с номерами от 1 до 36. Преподаватель берёт любые 3 билета. Какова вероятность того, что они из первой четвёрки?

21.Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путём жеребьёвки распределяются на две группы по 9 команд в каждой. Какова вероятность того, что 9 лучших команд попадут в одну группу?

22.Какова вероятность того, что три друга попадут в комиссию, состоящую из трёх человек, если комиссию можно избрать из 10 человек?

23.Из 10 собранных узлов карданной передачи 2 получили высокую оценку. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу двух узлов оба высокого качества.

24.В партии содержится 70 деталей, из которых 10 нестандартных. Какова вероятность того, что среди извлечённых наугад 7 деталей две нестандартные?

25.Четырёхтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо?

26.В пачке 20 перфокарт с номерами от 101 до 120, расположенными в случайном порядке. Перфоратор наудачу извлекает две перфокарты. Определить вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

27.Ящик содержит 100 деталей, из которых 10 нестандартных. Определить вероятность того, что среди трёх наудачу взятых из ящика деталей нет нестандартных.

28.Профессор вызвал через старосту на консультацию трёх студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трёх отстающих студентов. Определить вероятность того, что староста послал именно тех студентов, которых вызвал профессор.

29.Числа 1, 2, 3, 4, 5 написаны на 5 карточках. Наудачу последовательно вынимают 3 карточки и раскладывают слева направо в порядке появления. Какова вероятность того, что получится число 324?

30. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что наудачу извлечённый кубик будет иметь две окрашенных грани?

31–60. Основные теоремы теории вероятностей (сложения, умножения, формулы полной вероятности и Байеса)

31.Два токаря обрабатывают одинаковые детали. Вероятность брака первого – 0,03; второго – 0,04. Обработанные детали складываются в одно место. Причём первый токарь изготавливает деталей в 2 раза больше, чем второй. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной?

32.Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него две одинаковые детали. Берёт он их случайным образом из имеющихся у него 10 штук. Среди деталей находятся две уменьшенного размера против номинала. Механизм не будет работать, если обе установленных детали окажутся уменьшенного размера. Найти вероятность того, что механизм будет работать.

33.Процесс изготовления детали состоит из нескольких операций. После первой и второй операции производится контроль качества, и при обнаружении брака деталь отбрасывается. Вероятность того, что деталь окажется бракованной после первой операции, равна 0,02, а после второй – 0,1. Определить вероятность того, что деталь окажется отбракованной до третьей операции.

34.Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса – 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей групп попадёт в сборную института, равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал студент?

35.Через остановку возле вокзала проходят трамваи маршрутов 5, 6, 7, 8. Пассажир ждёт трамвай 6 или 7. Известно, что среди 45 трамваев, идущих через эту остановку шесть трамваев маршрута номер 6 и девять маршрута номер 7. Найти вероятность