Задание 9.24

Вычислите математическое ожидание дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением. Выполните вычисления для распределения из задания 9.12.

9		0	9
	0	0.07	0.1
	2	0.17	0.29
	4	0.27	0.1

Решение:

Распределение двумерной случайной величины

Математическое ожидание 

Математическое ожидание 

Задание 9.25

Вычислите дисперсию дискретного двумерного случайного вектора с заданным распределением. Выполните вычисления для распределения из задания 9.12.

9		0	9
	0	0.07	0.1
	2	0.17	0.29
	4	0.29	0.1

Решение:

Распределение двумерной случайной величины

Математическое ожидание 

Математическое ожидание 

Математическое ожидание 

Математическое ожидание 

Дисперсия 

Дисперсия 

Задание 9.26

Вычислите условные математические ожидания и постройте графики регрессий компонентов двумерных случайных величин из заданий 9.14 и 9.15.

9		0	9
	0	0.07	0.1
	2	0.17	0.29
	4	0.27	0.1

х² /а²+у² / b² 1.

N	а	b
9	5.5	6.5

Решение:

Из 14

Из 15

Распределение плотности вероятностей СВ

Распределение плотности вероятностей СВ

Математическое ожидание

Математическое ожидание

Условные математические

ожидания

Условные математические

ожидания

Задание 9.27

Вычислите ковариацию и дисперсию компонент двумерных случайных величин из заданий 9.14 и 9.15.

9		0	9
	0	0.07	0.1
	2	0.17	0.29
	4	0.27	0.1

х² /а²+у² / b² 1.

N	а	b
4	5.5	6.5

Если между случайными величинами  и  существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи, является ковариация cov( ,). Ковариацию вычисляют по формулам:

cov( ,) = M [( – M )( – M)] = M() – M M.

Если случайные величины  и  независимы, то cov( ,) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства ковариации нулю не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимы, в то время как их ковариация нулевая!

Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Интересно отметить, что cov( ,) = D и cov( ,) = D.

Кроме того, важны следующие свойства ковариации:

cov( + C₁ ,  + C₂) = cov( , );

cov( , ) = cov( , );

cov(C₁ + C₂,  ) = C₁ cov( ,  ) + C₂ cov( ,  )

Ковариационной матрицей случайного вектора (, ) называется матрица вида

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин ( ,).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D( ,) = D + D. Если же случайные величины зависимы, то

D(  ) = D + D  2cov( , )

Решение:

Р а с п р е д е л е н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы

Р а с п р е д е л е н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы

К о в а р и а ц и я

Д и с п е р с и я +

р а с п р е д е л е н и е +