3.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Вобъеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрамиx, y, z параллельными соответствующим осям координат (см. рис. 3.2). Как и предыдущем случае, составим уравнения проекций сил на оси координат.

Рис. 3.2. Силы, действующие на выделенный в объеме жидкости элементарный параллелепипед

Аналогично рассмотренному ранее для проекций сил на ось х имеем

, где , тогда

(3.2)

Обозначим, координаты центра параллелепипеда Т х, y, z, а гидростатическое давление в центре р = р(х, у, z).

Учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длины в направлении координатной оси x, может быть представлено частной производной , давлениеp₁ в центре левой грани определится как

, а в центре правой как

Тогда, выразив P₁ и P₂ через р, получим

;

;

Подставляя полученные зависимости в уравнение (3.2), имеем

; или

;

Сокращая на W и переходя к пределу при x0, y0, z0, окончательно имеем

.

Действуя аналогично, но проектируя силы на оси у и z, получим еще два уравнения равновесия. Таким образом, будем иметь три уравнения

(3.3)

Система (3.3) может быть заменена одним уравнением. Для этого умножим каждое уравнение системы (3.3) на dx, dy. dz соответственно и сложим:

.

Так как p = p(x,y,z), то

Из высшей математики известно, что сумма частных дифференциалов, представляет собой полный дифференциал dp.

Тогда окончательно имеем

(3.4)

Уравнения (3.3) и (3.4) называются дифференциальными уравнениями равновесия жидкости. Они были получены Л. Эйлером в 1755 г. для произвольно заданных сил и позволяют решать всевозможные задачи, связанные с равновесием жидкости.

Для лучшего понимания их физического смысла запишем уравнение (3.4) в векторной форме:

, (3.5)

где ‑ вектор ускорения силы инерции переносного движения;‑ вектор ускорения силы тяжести;grad р – градиент давления (‑ это вектор, указывающий направление максимального изменения рассматриваемой функции р = р(x, y, z) в данной точке).

Из уравнения (3.5) следует, что направление ускорения равнодействующей массовых сил является тем направлением, в котором гидростатическое давление максимально возрастает. Это же выражение показывает, что в направлении, перпендикулярном к направлению ускорения равнодействующей массовых сил, давление имеет одно и то же значение.

3.3. Гидростатические законы для жидкости, находящейся в абсолютном покое

В этом случае массовые силы включают в себя лишь силы тяжести, а потому X = g_x, Y = g_y, Z = g_z.

3.3.1. Основные уравнения гидростатики и поверхности равного давления для несжимаемой жидкости

Для получения основного уравнения гидростатики воспользуемся дифференциальным уравнением равновесия (3.4) .

Если расположить оси координат так, чтобы ось z была направлена вертикально, то в этом случае

(т.к. X =0, Y = 0, Z = -g) (3.6)

Поскольку  для однородной несжимаемой жидкости есть величина постоянная, то из уравнения (3.6) следует, что

, откуда

. (3.7)

В несжимаемой жидкости давление линейно зависит от вертикальной координаты.

Уравнение (3.7) справедливо для любых точек одного и того же объема однородной жидкости, находящейся в состоянии равновесия. Для двух частиц с координатами z₁ и z₂, уравнение (3.7) можно записать в виде:

(3.8)

Уравнение (3.8) называют основным уравнением гидростатики. Из этого уравнения следует, что в одном и том же объеме покоящейся однородной жидкости все частицы, расположенные в одной и той же горизонтальной плоскости, имеют одно и то же гидростатическое давление, т. е горизонтальные плоскости являются поверхностями равного давления.

Под одним и тем же объемом жидкости следует понимать такой объем однородной жидкости, две любые частицы которого могут быть соединены линией, не выходящей за пределы этого объема.

Также как один и тот же объем могут рассматриваться объемы жидкости, заполняющие так называемые сообщающиеся сосуды (см. рис. 3.3).

Для таких объемов давления в точках 1 и 2, расположенных на одном и том же горизонтальном уровне, будут равны. Отсюда также следует, что в сообщающихся сосудах с одинаковым давлением на свободной поверхности уровни однородной жидкости в обоих, сосудах располагаются на одной и той же высоте, так как свободные поверхности представляют собой поверхности равного давления.

Рис. 3.3. Сообщающиеся сосуды