Tr_ma4s_0

111

Получим, используя формулу (6.20)

f(t) = 2Re

(3i)2e3ti

+

2e2t

=

3(3i)2 − 4(3i) + 9

3 · 4 − 4 · 2 + 9

Re

3e3ti

2e2t

Re

3

i

t

i

t

2

e2t

= 23

6 + 4i +

13

=

h

13(3 − 2

)(cos 3

+

sin 3 )2i

+ 13

=

=

Re (3 cos 3t + 2 sin 3t) + i(3 sin 3t

−

2 cos 3t) +

e2t =

13

13

3

2 2t

2

= 13(3 cos 3t + 2 sin 3t) + 13e .

∞

ВМ

6.6

МИРЭА

Вычисление интегралов Эйлера.

-

Определение 6.6. Гамма-функцией или эйлеровым интегралом

2-го рода называется (p), определяемая равенством

Кафедра

(6.21)

(p) =

xp−1e−xdx,

R

0

где p – любое комплексное число, Re p > 0.

Основные свойства (p):

5.

2 = √π.

МГТУ

1. (1) = 1

2. (p + 1) = p (p) – формула приведения

3. (n + 1) = n!

4. (p) (1 − p) =

π

– формула дополнения, 0 < p < 1

sin pπ

1

Определение 6.7. Бета-функция или Эйлеров интеграл 1-го

112

рода определяется формулой (для p > 0, q > 0)

1		x)q−1dx.	(6.22)
B(p, q) = xp−1(1	−

R

0

Свойства B(p, q):

2

1. B(p, q) = B(q, p)

∞

yp−1

-

2. B(p, q) =

dy

ВМ

0 (1 + y)p+q

(p) (q)

R

3. B(p, q) =

.

(p + q)

Пример 6.11.

a

2√

Вычислить I =

x

2

2

dx, a > 0.

a

− x

0

R

x2

√

a dt

Решение: сделаем замену

= t, т.е.

x = a

t, dx =

√

,

a2

2 t

пределы интегрирования изменятся x = 0 t = 0, x = a t = 1.

Подставляя в интеграл, получим

МИРЭА

a

1

2

√

4

t 1

2

2

1

I = x2√a2

a t

a

x2dx =

a

− a t

a dt =

t2 (1

t)

2 dt.

0

−

0

√

2

0

−

2

t

R

R

R

Это есть Бета-функция. Найдем p и q, используя формулу (6.22):

1Кафедра3 1 3

p − 1 =

p

=

, q

− 1 =

q =

.

2

2

2

2

a4 t

1

1

a4

3

3

a4 (23 ) (23 )

I = 2

0

tМГТУ2 (1 − t)2 dt = 2 B 2, 2

= 2

(3)

,

3

R

1

1

1

1

но

= 1 +

=

=

√π по свойствам 2 и 5 (p), а

2

2

2

2

2

113

(3) = 2! по свойству 3 (p).

1

2

a4

√π

=

a4

1

π

=

πa4

.

I =

2

2

2!

2 4 2

16

Пример 6.12.

1

ln

1

20

Свести интеграл к вычислению (p)-функции I =

0

dx.

x

1

R

2

Решение: сделаем замену переменной t = ln

x

x

= e−t,

ВМ

МИРЭА

dx = −e−tdt, пределы интегрирования также изменятся-

при x → 0−

t → +∞,

при x = 1

t = 0.

Кафедра

Интеграл примет вид

I =

1

1

20

0

∞

t20e−tdt = (21).

0

ln x

dx = −∞ t20e−tdt =

0

R

R

R

Вычислим (21) = 20! (по свойству 3 -функции), т.е. I = 20!.

Пример 6.13.

МГТУ

Вычислить интеграл с помощью -, B-функций

π

2

sin8 x cos4 xdx.

I =

0

Решение:R

чтобы свести интеграл к B-функции, сделаем замену

t = sin2 x, тогда dx =

dt

, пределы интегрирования из-

2 sin x cos x

менятся так:

x = 0 t = 0,

x =

π

t = 1.

2

																																																	114
Интеграл примет вид
														I =							1				t4(1 − t)2dt																								=						1			1 t4−									21 (1								t)2− 21 dt.
																				R
																																			12					−				t					2								R													−
																				0									2t								√1																				0
Найдем p и q в формуле (6.22):
p − 1 = 4 −													1				p =															9				,
													2																				2
														1																		5																																																						2
q − 1 = 2 − 2 q = 2.
																																																																																	-
Следовательно,
																																																																									ВМ
							·
9																									7															7				7													7
																																																	9																				МИРЭА5 7 5 5
																																																									5													1							9						5		.
								I =								1B					9,							5									=					1 2 2																									=										2						2
																2				2								2														2							9 + 5																					2							(7)
																																												2													2
Вычислим, используя свойства 2, 3, 5 -функции
							Кафедра
(7) = 6!,
5																									3															3				3													3													1
			2				= 1 +																		2							=								2							2		=									2			1 +									2				=
=		3							1								1	=									3				√						π,
		2							2								2										22																																											·						·		·			·				·
																					МГТУ
			2				= 1 +																		2							=								2							2		=									2			1 +									2						=		2		·		2					2		=
=		7				5			3			√				π		=				7 · 5 · 3																	√				π.
2 2 22																									24
Окончательно,
							9											5
	1																													1								7 · 5 · 3												√										3				√														1												7π	.
I =										2									2						=																																																															=
																																																						π													π
																																						4																						2								· 1						2			3			4										11
2											(7)																	2							·						2																· 2																										5 6							2

115

Содержание

Введение					32
1 Примерный вариант экзаменационного билета					6
2 Теоретические вопросы к экзамену (зачету)					7
3 Основные типы задач по курсу математического
анализа			-
(теория функций комплексной переменной)				2	11
Приложение					32
Тема 1. Комплексные числа и действия над ними					35
1.1	Алгебраическая форма комплексного числа. . . . .				35
Тема		ВМ
		МИРЭА53
1.2	Геометрическое представление комплексного числа.				36
1.3	Действия над комплексными числами (сложение,
	Кафедра				38
	вычитание, умножение и деление). . . . . . . . . . .
1.4	Тригонометрическая форма комплексного числа. . .				40
1.5	Действия над комплексными числами, заданными в
	тригонометрической форме. . . . . . . . . . . . . . .				41
1.6	Показательная форма записи комплексного числа. .				46
1.7	Изображение множеств на комплексной плоскости.				47
2.1	Определение функции комплексного переменного. .				53
2.2	Элементарные функции комплексного переменного.				55
2.3	Предел и непрерывность функции комплексного
	переменного. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .				60
2.4	Дифференцирование функций комплексного
	переменного. Условия Коши-Римана. . . . . . . . .				61
2.5	Связь аналитических и гармонических функций. . .				63
2.6	Геометрический смысл модуля и аргумента произ-
	водной. Примеры конформных отображений. . . . .				65

Тема 3.	Интегрирование функций комплексного пере-
менного	71

116

3.1Интеграл от функции комплексного переменного и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2Теорема Коши. Интегральная формула Коши. . . . 74

Тема 4. Ряды Тейлора и Лорана

79

4.1Ряд Тейлора. Коэффициенты ряда. Разложение функции, аналитической в круге, в степенной ряд. . . . . 79

4.2Ряд Лорана, его область сходимости. . . . . . . . . 81

4.3Примеры разложения функций в ряд Лорана. . . . 82

Тема	5. Вычеты функций	2	88
5.1			88
	Нули аналитической функции. . . . . . . . . . . . .
5.4	Вычеты функций. . . . . . . . . ВМ. . . . . . . . . . .		94
5.2	Изолированные особые точки. . . . . . . .	-. . . . .	89
5.3	Классификация изолированных особых точек по ви-
	ду главной части ряда Лорана. . . . . . . . . . . . .		92

Тема 6. Основная теорема о вычетах. Приложения

6.1ОсновнаяКафедратеорема о вычетах. . . . . . . . . . . . . . 97

6.2Вычет функции в бесконечно удаленной точке. . . . 99

6.3Вычисление несобственных интегралов. . . . . . . . 101

6.4Теорема Руше. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.5Приложение вычетов к вычислению преобразования Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.6Вычисление интегралов Эйлера. . . . . . . . . . . . 111вычетов МГТУ МИРЭА97