Tr_ma4s_0

81

в точке z = 2 (t = 0). Воспользуемся формулой (4.10), подставляя вместо z → 23t:

f(t) = 1

1

= 1 1 + 2t +

2t

2

+ . . . + 2t

n

+ . . . .

·

3

1 − 32 t

3

3

3

3

Сделаем обратную замену

1

2

22

2n

23

2

f(z) = 3h1 + 3(z − 2) + 32 (z − 2)2 + . . . + 3n (z − 2)n + . . . i.

ВМ

P

P

−

3

(z

2)

МИРЭА

Этот ряд сходится при

условии

−

<

1, или z

2 <

2

, т.е.

3

|

-− |

радиус сходимости ряда

2

R =

.

4.2 Ряд Лорана, его область сходимости.

Кафедра(z z ) z z (z z )

Определение 4.2.

Рядом Лорана называется ряд вида

. . . +

c−n

+ . . . +

c−1

+

(z − z0)n

z − z0

+c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + . . . + cn(z − z0)n + . . . =

(4.11)

∞

n

∞

c−n

= n=0 cn(z − z0)

+ n=1

(z z0)n

,

P

МГТУ

где z0

, cn

– комплексные постоянные, а z – комплексная перемен-

ная.

Ряд (4.11) сходится в области, в которой сходятся ряды

∞

c−n

n

=

c−1

+

c−2

2

+ . . .

(4.12)

P

−

0

−

0

−

0

n=1

∞

cn(z − z0)n = c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + . . . +

(4.13)

n=0

Областью сходимости ряда (4.12) является внешность круга |z − z0| > r. Областью сходимости ряда (4.13) является внутренность круга |z − z0| < R.

82

Если r < R, то ряд (4.11) сходится в кольце r < |z − z0| < R. Здесь r ≥ 0, 0 < R < +∞.

Теорема 4.2. Функция f(z) однозначная и аналитическая в кольце r < |z−z0| < R (не исключаются случаи r = 0 и R = +∞)

разлагается в этом кольце в ряд Лорана

				∞
	f(z) =				cn(z − z0)n =
		−1		n=−∞				∞
				P						(4.14)
	=			cn(z − z0)n +				cn(z − z0)n,	2
		n=−∞						n=0
		P						P	-
где коэффициенты cn находятся по формулам
cn =	1			f(z)dz			(n	= o, ±1, ±2, . . .)		(4.15)
	2πi L (z			−	z0)n+1
		R
Здесь L – произвольная окружность с центромВМв точке z0, ле-
жащей внутри данного кольца.

На практике при нахождении коэффициентовМИРЭАcn стараются избежать применения формул (4.15), так как они приводят к гро-

тарных функцийКафедра(4.4)–(4.10).

Определение 4.3. В формуле (4.11) ряд (4.12) называется главной частью ряда Лорана, а ряд (4.13) – правильной частью

ряда Лорана.

моздким вычислениям.

Чаще используют готовые разложения в ряд Тейлора элемен-

4.3 Примеры разложения функций в ряд Лорана.

Пример 4.2.
Разложить в рядМГТУЛорана функцию f(z) = (z − 3)4 cos		1			в
	z	−	3
окрестности точки z0 = 3.

83

Решение: сделаем замену t = z −1 3, получим f(t) = t14 cos t. Используя разложение (4.6), получим

1

1

1

1

cos

= 1 −

+

−

+ . . . ,

z − 3

2!(z − 3)2

4!(z − 3)4

6!(z − 3)6

тогда

−

−

1

2

4!(

1

−

6!(

1

2!( −

− 3)

− 3)

f(z) = (z

3)4

1

z

3)2

+

z

4

z

6

+

+ . . . = (z

3)4

(z − 3)

+

1

1

+ . . . 2

−

−

4! −

6!(z − 3)2

2!

-

так: 0 < |z −3| < +∞. Здесь r = 0, R = +∞ВМ. В указанной области

2z + 3

МИРЭА

Это разложение справедливо для любой точки z 6= 3. В данном

случае "кольцо" представляет с собой всю комплексную плос-

кость с одной выброшенной точкой z = 3. Его можно определить

f(z) – аналитическая.
	Пример 4.3.
	Получить все разложения в ряд Лорана по степеням z функции
f(z) =			.
2)		Кафедра
	кольцо 1 < |z| <МГТУ2,			+ 3z + 2 =
				Изобразим на
				проведем
				расстоянию до
				центром в точке
	круг |z| < 1,			аналитической:
1)
3)	2 < |z| < +∞ – внешность круга |z| ≤ 2 (см. рис. 17)

Кафедра

МИРЭА

Рис.17

Найдем ряды Лорана для функции f(z) в каждой из этих об-

ластей. Для этого представим f(z) в виде суммы элементарных

дробей

МГТУ

2z + 3

A

B

1

1

(4.16)

f(z) = z2 + 3z + 2 = z + 1 + z + 2 = z + 1 + z + 2.

A и B нашли методом неопределенных коэффициентов.

1) Рассмотрим круг |z| < 1. Преобразуем f(z):

f(z) =

1

1

1

+

·

.

1 + z

2

1 + 2z

																																				85
Используя формулу (4.9), получим
																																								1											z								z2			z3
	f(z) = (1 − z + z2 − z3 + . . .) +																																									1 −													+					−			− . . . =
																																								2											2								22			23
=				3						3						5			2		9						3 + . . .
						−						z +					z				−			z
					2						2					4							8
Это разложение является рядом Тейлора функции f(z), при этом
ряд для функции																					1							= 1 − z + z2 − . . . сходится при |z| < 1, а
																					1 + z
																																																														-
																					1															z					z2							z3																2(4.17)
																												= 1 −									+							−											+ . . .
																				1 + 2z																2				4									8
																																																				ВМ
																					f(z) = 2 · 1 + z																																											2
сходится при																z																									+ z · 1 +МИРЭА1 . (4.18)
																2			< 1 или |z| < 2, т.е. внутри круга |z| < 1 оба
ряда сходятся.
	2) Рассмотрим кольцо 1 < |z| < 2. Ряд для функции																																																															1
																																																																1 + z оста-
Этот рядКафедрасходится для z < 1, т.е. при |z| > 1. Подставляя (4.17),
ется сходящимся в этом кольце, т.е.																																											|z|						<						2, а ряд для функции
1					расходится при |z| > 1. Поэтому преобразуем f(z) следую-
	1 + z
щим образом
																											1									1							1												1
																			МГТУ
																																				2																					z
Применяя формулу (4.9), получаем
																					1							= 1 −								1				1									1															(4.19)
																				1 + z1																z			+		z2			−				z3							+ . . .
																											1
(4.19) в (4.18),																получаем
				1												z						z2							z3														1												1			1				1
														2							3
	f(z) = 2 1 −															2 + 22 − 23 + . . . + z 1 − z + z2 − z3 + . . . =
1							z						z					z									1									1							1												1
=				−						+					−							+ . . . +												−							+						−											+ . . .
		2					4						8					16															z					z2						z3										z4

86

3) Рассмотрим |z| > 2. Ряд (4.17) для функции

1

при |z| >

1 + 2z

2 расходится, а ряд (4.19) для функции

1

сходится, если |z| >

1 + z1

2, то условие |z| > 1 выполняется. Представим f(z) в виде

1

1

1

1

f(z) =

·

+

·

.

z

1 + z1

z

1 + z2

2

Используя формулу (4.9), получим

z2

ВМ

+ z − 2

1

1

1

1

1

2

4

-8

f(z) = z

1 − z

+ z2

− z3 + . . .

+ z

1 − z

+ z2

− z3

+ . . . =

1

3

5

9

2

3

5

9

= z 2 − z

+ z2

− z3

= z

− z2 + z3

− z3 + . . .

Т.е. для разных областей ряд Лорана функции f(z) имеет разный

вид.

Пример 4.4. Разложить в ряд Лорана функцию

f(z) =

2z − 1

в окрестности z0 = 1.

Решение: найдем особые точки функции f(z) для этого при-

Кафедра равняем знаменательМГТУк нулю z2 + z − 2 = 0, z1 = 1, z2 = −2, т.е. разложение необходимо осуществить в окрестности особой точки

z1 = 1, т.е. в кольце 0 < |z − 1| < 3. Число 3 найдено, как расстояние между центром разложения z = 1 и ближайшей особой точкой z = −2 (см. рис. 18).

87

разложениеКафедра(4.9), получим

МИРЭА

Рис.18

Представим f(z) в виде суммы элементарных дробей

z + 2

3

· 1 + zМГТУ−3 1 3h − 3

9

−

27

i

2z − 1

=

A

+

B

=

1

+

1

.

z2 + z − 2

z − 1

z + 2

z − 1

z

+ 2

Введем новую переменную z − 1 = t, т.е. z = t + 1 и перепишем

функцию

1

=

1

=

1

·

1

=

1

·

1

. Используя

z + 2

t + 3

3

1 +

3

3

1 +

z−3

1

1

=

1

1

=

1

1

z − 1

+

(z − 1)2

(z − 1)3

+ . . .

z − 1

Область сходимости этого ряда

< 1 или

z

1

|

< 3. Таким

3

|

−

|

−

1

|

< 3 имеет

образом, разложение в ряд

Лорана в кольце 0

< z

88

вид

f(z) =

2z − 1

=

1

+

1

z − 1

+

(z − 1)2

−

(z − 1)3

+. . .

27

81

z2 + z

−

2 z

−

1 3 − 9

1

является степенью (z −1)−1 и поэтому не требует

Слагаемое

z − 1

дальнейшего разложения.

Тема 5. Вычеты функций

-2

5.1Нули аналитической функции.

						ВМ
						МИРЭА
Определение 5.1. Точка z0 называется нулем n-го порядка ана-
литической функции f(z), если
f(z	) = 0,	f′(z	) = 0, . . . , f(n−1)	(z	),	f(n)(z	) = 0,	(5.1)
0		0		0		0	6

т.е. n – Кафедрапорядок первой не равной нулю производной. Если n = 1, то точка z0 называется простым нулем.

Теорема 5.1. Точка z0 является нулем n-го порядка функции f(z) аналитической в точке z0, тогда и только тогда, когда

имеет место равенство
	МГТУ
	f(z) = (z − z0)nϕ(z)	(5.2)
где ϕ(z) аналитична в точке z0 и ϕ(z0) 6= 0.
Пример 5.1.

Найти нули функции и определить их порядки f(z) = cos z −1.

Решение: приравняем f(z) нулю, получим cos z = 1, откуда

zn = 2πn (n = 0, ±1, . . .) – нули данной функции.

Найдем			− cos zz=2πn
f′′(z) z=z n		=			= 1 = 0.
f′(z)	z=z	=	sin z	z=2πn	= 0,
			−		− 6
	n

89

Согласно определению (5.1) zn = 2πn являются нулями второго порядка.

Пример 5.2.

Найти нули функции и определить их порядки f(z) = z8 − 9z7. Решение: приравняем f(z) нулю, получим z7(z − 9) = 0, z1 = 0, z2 = 9. Можно воспользоваться определением (5.1), однако проще использовать теорему 5.1. Функция f(z) представима в виде

f(z) = z7(z − 9), но тогда z = 0 является нулем порядка 7, функ-
цией ϕ(z) является сомножитель				-
				ϕ(z) = z − 9, ϕ(0) = −2 6= 0,
z = 9, является нулем порядка 1, функцией ϕ(z) в данном2случае
7	, ϕ(9) = 9	7	6= 0.
является ϕ(z) = z

5.2Изолированные особые точки.

Определение 5.2. Точка z9 называетсяВМизолированной особой точкой функции f(z), если f(z) аналитична в некоторой окрест-

ности этой точки, за исключением самой точки z0. Определение 5.3. Точка z0 называется устранимой особой

точкой функции f(z), если существует конечный предел функ-

ции f(z) в точке z0

lim f(z) = C.

z→z0	МИРЭА

Пример 5.3.

Найти особые точки функции f(z) и установить их тип

f(z) =	1 − e3z	.
	z
Решение:Кафедраособая точка функции f(z) есть z0 = 0. Вычислим
		lim	1 − e3z	= 0 = lim	−3z	=	3.
		z→МГТУ0 z 0 z→0 z				−

т.е. z0 = 0 – устранимая особая точка.

90

Определение 5.4. Точка z0 называется полюсом функции

f(z), если lim f(z) = ∞.

z→z0

Теорема 5.2. Для того, чтобы точка z0 была полюсом функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы эта точка была ну-

лем для функции ϕ(z) = f(1z).

Определение 5.5. Точка z0 называется полюсом порядка n (n ≥ 1) функции f(z), если эта точка является нулем порядка n

	1		ВМ(z − z0)n
для функции ϕ(z) =		. При n = 1 полюс называют простым.2
		1	МИРЭАz 2z
	f(z)		-

Теорема 5.3. Для того, чтобы точка z0 являлась полюсом порядка n функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы функ-

цию f(z) можно было представить в виде f(z) =

ϕ(z)

, где

первого порядка,Кафедрапоэтому f(z) можно представить в виде

z3 ,

ϕ(z) – аналитична в точке z0 и ϕ(z0) 6= 0.

Пример 5.4.

Найти особые точки функции f(z) и установить их тип f(z) =

2z + 1

.

z

4

− 2z

3

z − 2, где МГТУΨ(z) = z3 , Ψ(2) =

8

4

3

в виде

6= 0. По теореме (5.3)

Решение: найдем нули функции

=

−

, так как z4

−

1

f(z)

2z + 1

2z3 = z3(z − 2), то функция

f(z)

имеет два нуля. z1 = 0 – это

нуль третьего порядка согласно формуле (5.2), а z2

= 2 – нуль

ϕ(z)

где ϕ(z) =

2z + 1

1

, ϕ(0) = −

6= 0. Или f(z) можно представить

z − 2

2

Ψ(z)

2z + 1

5

f(z) в точке z = 0 имеет полюс третьего порядка, в точке z = 2 – полюс первого порядка.