Tr_ma4s_0

= 2h cos − 6

+ i sin − 6 i.

МИРЭА

Рис.3

5π

1

2

Кафедра1 2

Тогда

ϕ = Arg z

= −

6

+ 2πk (k = 0, ±1,

±2, . . .). Подставляя

значения модуля и аргумента в формулу (1.5), получим

z =

√

i = 2

cos

5π

+ 2πk

+ i sin

5π

+ 2πk

=

−

3 −

5π

h −

6 5π

− 6

i

МГТУ

1.5 Действия над комплексными числами, заданными в

тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа z1 и z2 даны в тригонометрической фор-

ме z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2).

1. Произведение z z

комплексных чисел z

и z

находится по

формуле

z1z2 = r1r2

cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2) ,

(1.6)

т.е. при умножении

комплексных чисел их модули перемножают-

ся, а аргументы складываются

|z1z2| = |z1||z2|,

Arg(z1z2) = Arg z1 + Arg z2.

42

2. Частное двух комплексных чисел z1 и z2 =6 0 находится по формуле

z1

r1

=

cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1

− ϕ2) ,

(1.7)

z2

r2

z2

|z2

|

z2

1 −

Arg z

2

.

z1

= |z1

|,

Arg z1 = Arg z

3.

sin

) в на-

Возведение комплексного числа z = r(cos ϕ + i

2

ϕ

туральную степень n производится по формуле

-

ВМ

МИРЭА

т.е.

zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ),

(1.8)

Кафедра√z = √r cos n + i sin

n

,

(1.10)

|zn| = |z|n,

Arg zn

= n Arg z + 2πk

(k

= 0, ±1, ±2, . . .)

Из (1.8) получается формула Муавра

(cos

ϕ + i sin ϕ)

n

= cos nϕ

+ i sin nϕ.

(1.9)

МГТУ

Часто формулу (1.8) также называют формулой Муавра.

4. Корень n-й степени из комплексного числа z 6= 0 имеет n

различных значений, которые находятся по формуле

ϕ + 2πk

ϕ + 2πk

n

n

где ϕ = arg z,

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Пример 1.8.

Вычислить (2 − 2i)10.

43

Решение: представим число z = 2 − 2i в тригонометрической

π

π

форме: 2 − 2i = 2√2h cos −

+ i sin −

i.

4

4

Применяя формулу (1.8), получим

i

10

= (2√

10

cos

10π

i

10π

4

sin −

i =

(2 − 2

)

5π

2)

h5π

−

+

4

= 215

cos

− i sin

= −215 · i.

2

2

2

√

Пример 1.9.

-

Вычислить

4

.

−16

МИРЭА

Решение: представим число −16 в тригонометрической форме.

Число лежит на действительной оси: x < 0, y = 0.

Из (1.2) | − 16| =

(

16)2 + 02 = 16, из (1.4) ϕ = π.

Кафедраk = 1 z1 = 2 cos 34 + i sin

34

,

По формуле (1.10)p

−

ВМ

√

√

π + 2πk

π

+ 2πk

4

4

+

−16 =

16

cos

4

+ i sin

4

=

π

2πk

π + 2πk

,

= 2 cos

+ i sin

k = 0, 1, 2, 3.

4

4

k

МГТУ= 2 z2 = 2 cos 54 + i sin

54

,

Полагая последовательно k = 0, 1,

2, 3, выпишем все корни

π

π

k = 0

z0 = 2 cos

4

+ i sin

4

,

π

π

π

π

π

π

k = 3

z3 = 2 cos

7

+ i sin

7

.

4

4

44

Рис.4 МИРЭА На плоскости корни располагаются на окружности радиуса 2

в вершинах правильного четырехугольника, вписанного в окруж-

ность радиуса R = 2 с центром в начале координат (см. рис.4)

Пример 1.10.

		4		2
	РешитьКафедрауравнение . Корни уравнения изобра-
	z		− 2z		+ 4 = 0
зить на комплексной плоскости.
			2
	Решение: обозначимМГТУt = z . Тогда уравнение примет вид
2					√			√
									3 i,
t	− 2t + 4 = 0. Корни этого уравнения t1 = 1 + 3 i, t2 = 1 −

45

откуда z1,2 = √

, z3,4 = √

.

t1

t2

p1 +

√

π

π

Пусть z =

3 i. Представим в тригонометрической фор-

ме 1 + √

i = 2 cos

+ i sin

. Число 1 + √

i

находится в I

3

3

3

3

четверти, из (1.2), (1.4) найдем модуль и аргумент:

|1 + √3 i| = q1 + (√3)2 = 2,

arg(1 +

√3 i) = 3 .

π

-, 2k = 0, 1,

z1,2 = p

1 + √

i

= √

cos

π3 + 2πk

+ i sin

π3 + 2πk

3

2

2

2

,ВМk = 1.

z2 = √

cos

7

+ i sin

7

2

6

6

|1 −

3 | = q1 + (

3)

π

−

π

МИРЭА− 3

т.е.

z

√

π

π

,

1 =

2 cos 6π+ i sin 6

π

k = 0,

(1.11)

Кафедра√ π π

Пусть z = p1 −

√3 i. Представим в тригонометрической фор-

ме 1 −

√

√

3

i. Число 1 −

3 i

находится в IV четверти, из (1.2), (1.4)

найдем модуль и аргумент:

√

√

π

√

2

z4 = √2 cosМГТУ56 + i sin 56 , k = 1.

√

i

= 2,

arg(1

3 i) =

т.е. 1 − √

i = 2 cos −

+ i sin

.

3

−

3

3

π

+ 2πk

π

+ 2πk

z3,4 = √2 cos

− 3

− 3

,

+ i sin

k = 0, 1.

2

2

π

π

−

(1.12)

z3 = 2 cos −

+ i sin

,

k = 0,

6

6

Все корни находятся на окружности радиуса R =

2

из (1.11),

(1.12) (см. рис.5).

46

Кафедра	2
Рис.5
1.6 Показательная форма записи комплексного числа.
МГТУ	МИРЭА
Используя формулу Эйлера
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ	(1.13)

перепишем тригонометрическую форму записи комплексного числа из формулы (1.5) в виде

z= r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ

,где r = |z|, ϕ = Arg z, т.е. любое комплексное число z 6= 0 можно записать в показательной форме

iϕ	(1.14)
z = re , r = |z|, ϕ = Arg z.

47

Пример 1.11. Записать комплексное число z = −3 − 3i в тригонометрической и показательной форме.

Решение: число находится в III четверти. Используя формулы

(1.2) и (1.4) найдем модуль и аргумент

= 3√

,

z

=

(

−

3)2

+ (−

3)2

2

| |

p

y

−

3

−

π

3π

−

x

−3

4

− 4

arg z =

π

+ arctg

=

π + arctg

−

=

π +

=

.

2

Тригонометрическая форма записи z

-

ВМ

z = 3√2 cos −

3π

МИРЭА

4

+ 2πk

+ i sin −

4

+ 2πk ,

k = 0, ±1, ±2, . . .

Показательная форма записи

Кафедра

= 3√

ei −

3π

+2πk ,

(1.15)

z

2

4

k = 0,

±1, ±2, . . . .

но из (1.13)

ei2πk = cos 2πk + i sin 2πk = 1,

поэтому (6.22) можно переписать в виде z = 3

√

2e−

3π

i

.

4

1.7 ИзображениеМГТУмножеств на комплексной плоскости.

Изобразить на комплексной плоскости линии и области, заданные уравнениями и неравенствами.

Пример 1.12.

Re z ≤ 3.

Решение: т.к. Re z = x, то неравенство можно переписать так: x ≤ 3. На плоскости xOy это определяет полуплоскость левее прямой x = 3 (см. рис.6).

48

Решение: по определению, |z| – это расстояниеМИРЭАот начала координат до точки z, т.е. |z| = 4 – это геометрическое множество точек равноудаленныхМГТУот начала координат. Таким геометриче-

Рис.6

|z| = 4

ским местом является окружность с центром в начале координат радиуса R = 4.

ПримерКафедра1.13.

Также можно вывести уравнение кривой алгебраическим спо-

p

собом. Из (1.2) |z| = x2 + y2, т.е. уравнение переписывается в

p

виде x2 + y2 = 4, или x2 +y2 = 42 – это и есть уравнение окружности с центром в точке O и R = 4 (см. рис. 7).

-2 ВММИРЭАРис.7

49

1 < |z − 1 + i| ≤ 2

ПримерКафедра1.14. .

Решение:|z − 1 + i| = |z − (1 − i)| ≤ 2

Это множество точекМГТУz, расстояние которых от точки 1 − i не

больше 2, то есть круг с центром в 1 − i радиуса 2. Множество точек z таких, что 1 ≤ |z − (1 − i)| представляет собой внешность круга радиуса 1 с центром в точке 1 − i. Таким образом, исходное множество - кольцо с центром в точке 1 − i (см. рис.8).

50

1 < |(x − 1) + i(y + 1)| ≤ 2. Данное множество точек должно одновременно удовлетворять двум условиям

МГТУРис.8 Алгебраический способ: перепишем неравенство в виде

|(x − 1) + i(y + 1)| ≤ 2

|(x − 1) + i(y + 1)| > 1.