Пример выполнения третьего задания контрольной работы №2

В качестве исходных данных заданы следующие характеристики: .

Первоначально определим, какой вариант из пяти возможных соотношений выпуск – спрос наблюдается в нашем случае. Для заданных условий вектор желаемых выпусков (здесь мы упорядочили предприятия по возрастанию коэффициентов эффективности),. Здесь– спрос превышает предложение. Определим:

–максимальное , тогда, а,.

Теперь определим планы предприятий по формуле :,.

Прибыль предприятий (предприятия рассматриваем в порядке возрастания их коэффициентов эффективности):

,

,

,

.

Пример выполнения контрольной работы №3

1. Определить эгалитарное и утилитарное решение, если функции полезности агентов равны, соответственно, ,, и должно выполняться условие. Проверить независимость от общей шкалы полезности для указанных решений, если к функциям полезности агентов была применена функция.

Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие или. Учитывая, что, получаем, тогда. Вектор полезностей.

Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: , подставив вместополучаем. Рассматриваемая функция возрастает оти достигает своего максимума при, тогда. Здесь вектор полезностей.

После применения функции получаем новые функции полезностей агентов:,. Для новых функций полезностей эгалитарное решение (учитывая, что), отсюда,. Новое эгалитарное решение совпадает с полученным ранее, что подтверждает независимость эгалитарного ПКБ от общей шкалы полезности. Вектор полезностей.

Утилитарное решение для новых функций полезности: . Максимум достигается при. Вектор полезностей.

2. Характеристическая функция игры: . Дележи:.

Сравним сначала дележи и. Учитывая, что доминирование по одиночной коалиции невозможно, будем рассматривать только двойные коалиции. В дележеигроки из коалицииполучают выигрыши больше, чем в дележе. Но при этом они могут обеспечить себе выигрыш только лишь равный 12, а в дележеих суммарный выигрыш составляет 16. Таким образом, не выполняется второе условие доминирования, следовательно, дележне доминирует дележ. По остальным двойным коалициям рассматриваемых дележей не выполняется первое условие доминирования.

Теперь сравним дележи и. Единственная двойная коалиция, по которой выполняется первое условие доминирования – это. Но опять же, игроки этой коалиции могут обеспечить себе выигрыш равный 12, а в дележеих суммарный выигрыш составляет 15. Следовательно, и в данном случае дележи не доминируют друг друга.

При сравнении дележей ивидим, что по коалицииигроки в дележеполучают больше, чем в дележе. При этом они могут обеспечить себе выигрыш, равный 10, так как. Следовательно, дележдоминирует дележпо коалиции:.

3. Доходы агентов: . Затраты коалиций на обслуживание:.

Определим характеристическую функцию игры по формуле . Получаем,,(так как характеристическая функция коалиции в данной игре неотрицательна),,,,.

Проверим существование с-ядра, для этого должно выполняться пять условий:,,,,– все условия выполняются, следовательно,с-ядро существует.

Для нахождения с-ядра необходимо решить задачу со следующими условиями:

,

,

,

,

.

Заменим переменные натак, чтобы искомые переменные были просто неотрицательными:, тогда

,

,

,

.

На рисунке изображен симплекс, внутри которого три дополнительных ограничения выделяют с-ядро игры (заштрихованная область):

Определим координаты вершин четырехугольника. Точка 1: , точка 2:, точка 3:, точка 4:.

Переходя к первоначальным переменным получаем с-ядро игры, которое является четырехугольником с координатами вершин:,,,.

4. Функция затрат , квазилинейные предпочтения агентов.

Определим сначала характеристическую функцию игры.

, для нахождения максимума приравняем первую производную функции нулю: , тогда.

, здесь максимум достигается при .

, находим производную: .

Здесь прибыль от кооперации составляет .

Для нахождения N-ядра игры необходимо найтис-ядро. В данной игре (с двумя игроками)с-ядро – это множество дележей, составляющих отрезок, на одном конце которого вся прибыль отдается первому игроку, на втором – второму игроку.

1. если вся прибыль отдана первому игроку, получаем: . Если рассматривать затраты игроков, а не прибыль, то получимприполучаем,,(здесьпоказывают затраты игроков).

2. если вся прибыль отдана второму игроку, получим: . По затратам (при) получаем,.

Тогда N-ядро (которое является центромс-ядра) по прибыли будет, по затратамN-ядро составит.

Определим теперь вектор Шепли:

, .

Заметим, что мы получили однозначное решение – вектор Шепли и N-ядро совпали.