1.3 Правила сложения и умножения вероятностей

Правило сложения. Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

. (1.4)

Для несовместных событий их совместное наступление есть событие невозможное, его вероятность равна нулю. Поэтому только доя несовместных событий вероятность суммы равна сумме их вероятностей.

Задача 1. Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 36 листов. Чему равна вероятность того, что извлеченная карта – туз или имеет бубновую масть?

Решение. Обозначим события: A- «извлеченная карта – туз», B - «карта имеет бубновую масть». Эти события совместны: AB - «извлеченная карта – бубновый туз». Вероятности событий равны , , . Нас интересует вероятность суммы совместных событий A+B. По формуле (1.4) получим

.

Чтобы сформулировать правило умножения, рассмотрим понятия зависимости и независимости событий.

Пусть разыгрываются пять лотерейных билетов, среди которых два «счастливых». Рассмотрим события: A - «билет, извлеченный первым – счастливый», B - «билет, извлеченный вторым – счастливый». Влияет ли на вероятность события B наступления события A? Представим результаты розыгрыша в виде дерева игры (рис. 1.2).

Рисунок 1.2. Дерево игры

Мы видим, что если событие A наступило, то вероятность события B уменьшается в два раза. В таком случае говорят, что событие B зависит от события A.

События A и B называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие A уже осуществилось, обозначается и называетсяусловной вероятностью.

В нашем примере . Вычислите условные вероятностии укажите их на дереве игры (рис. 1.2).

События A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не меняется при условии наступления другого. Вероятности независимых событий называются безусловными. Для независимых событий справедливо равенство .

Правило умножения. Вероятность произведения событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

, (1.5)

или

. (1.6)

Для независимых событий правило умножения принимает более простой вид: - вероятность произведениянезависимых событий равна произведению их вероятностей.

Используя формулы (1.5), (1.6), можно находить условную вероятность, если известна вероятность произведения событий:

;

. (1.7)

Задача 2. Компания, занимающаяся разработкой программного обеспечения, претендует на получение заказов от двух фирм «Аврора» и «Bенера».. Эксперты компании считают, что вероятность получения заказа от «Авроры» равна 0.45. Эксперты также полагают, что если компания получит заказ от фирмы «Аврора», то вероятность того, что и фирма «Bенера» обратится к ним, равна 0.9. Какова вероятность того, что компания получит оба заказа?

Решение. Обозначим события: A - «получение заказа от фирмы «Аврора», B -«получение заказа от фирмы «Bенера». По условию . СобытияA и B зависимы, так как вероятность события B изменяется при наступлении события A. Вероятность того, что оба события произойдут, рассчитываем по формуле (1.6):

.

Рассмотрим теперь совокупность из n>2 случайных событий .

События называютсянезависимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных. Вероятность совместного наступления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

. (1.8)

Вероятность совместного наступления n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все остальные уже наступили:

(1.9)

Задача 3. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 вопросов из 25 предложенных. Экзаменатор задает студенту поочередно три вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит а) на все три вопроса, б) хотя бы на один вопрос.

Решение. Обозначим события: A - «студент знает все три вопроса», - « студент знает первый вопрос»,- « студент знает второй вопрос»,- «студент знает третий вопрос»,B - «студент ответит хотя бы на один вопрос».

События - зависимы. СобытиеA состоит в совместном наступлении событий -, то есть. По условию, ,. Применим формулу умножения зависимых событий (1.9):

- вероятность того, что студент ответит на все три вопроса, равна 0.496.

Рассмотрим событие B. Оно состоит в том, что студент ответит ровно на один вопрос, ровно на два вопроса, или на все три вопроса, т.е.

Для решения этой задачи также можно использовать правило умножения, но удобнее перейти к противоположному событию - «студент не ответит ни на один вопрос из трех» и использовать формулу (1.3.):.

Событие , и его вероятность найдем по формуле (1.9):. Найдем условные и безусловные вероятности:

;

;

;

;

и вероятность события B равна

.

Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0.996.

Рассмотрим теперь независимые события.

Задача 4. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу дезодоранта «Скунс» по телевидению, равна 0.06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу этого дезодоранта на рекламном стенде, равна 0.04. Предполагается, что оба события – независимы. Чему равна вероятность того, что покупатель увидит а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?

Решение. Обозначим события: A - «потребитель увидит рекламу по телевидению»; B - «потребитель увидит рекламу на стенде»; C - «потребитель увидит хотя бы одну рекламу». По условию, . События A и B независимы, то есть P(AB)=0; применим формулу (1.8):

- вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0.0024.

Рассмотрим событие C=A+B. Так как события A и B совместны, вероятность C можно найти по формуле (1.4):

Второй способ – перейти к противоположному событию («потребитель не увидит ни одной рекламы»). Так как событияинезависимы,

- вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу, равна 0.0976. Вычисление вероятностей такого типа позволяет оценить целесообразность использования рекламы разного типа.