1.4 Формула полной вероятности. Формула Байеса

Полной группой несовместных событий называется совокупность всех возможных несовместных событий (рис 1.4,а)

(1.10)

а б

Рисунок 1.4. Полная группа несовместных событий (а) и наступление событияA (б)

Пусть событие A может осуществляться лишь вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий (рис. 1.4,б). Так как заранее неизвестно, с каким из событийпроизойдет событиеA, то события ,i=1,2,…n называют гипотезами. Событие A можно представить в виде суммы несовместных событий:

.

События A и ,A и ,…,A и - зависимы. Если известны вероятности гипотези условные вероятности наступления событияA с каждой из гипотез, то вероятность событияA можно найти следующим образом:

Итак, если событие A может наступить только вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность событияA равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность событияA:

(1.11)

Формула (1.11) называется формулой полной вероятности.

Задача 1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50% всех комплектующих деталей, второй – 20%, третий – 30% деталей. Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4%, второго – 5%, третьего – 2%. Определить вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной.

Решение. Обозначим события: A - «выбранная деталь бракованная», - «выбранная деталь получена отi-го поставщика», i=1,2,3. Гипотезы образуют полную группу несовместных событий. По условию; .

По формуле полной вероятности (1.11) вероятность события A равна

Вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной, равна 0.036.

Пусть в условиях предыдущего примера событие A уже произошло: выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была получена от первого поставщика? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса.

Мы начинали анализ вероятности, имея лишь предварительные (априорные) значения вероятностей событий. Затем был произведен опыт (выбрана деталь), и мы получили дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей тех же событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез (рис. 1.5).

Рисунок 1.5. Схема переоценки гипотез

Пусть событие A может осуществиться лишь вместе с одной из гипотез (полная группа несовместных событий). Априорные вероятности гипотез мы обозначали, условные вероятности событияA - . Если опыт уже произведен и в результате него наступило событиеA, то апостериорными вероятностями гипотез будут условные вероятности . В обозначениях предыдущего примера- вероятность того, что выбранная деталь, оказавшаяся бракованной, была получена от первого поставщика.

Нас интересует вероятность события . Рассмотрим совместное наступление событийиA, то есть событие . Его вероятность можно найти двумя способами, используя формулы умножения (1.5) и (1.6):и . Приравняем правые части этих формул :, отсюда апостериорная вероятность гипотезыравна.

В знаменателе стоит полная вероятность события A. Подставив вместо P(A) ее значение по формуле полной вероятности (1.11), получим:

(1.12)

Формула (1.12) называется формулой Байеса и применяется для переоценки вероятностей гипотез.

В условиях задачи 1 найдем вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика. Сведем в одну таблицу известные нам по условию априорные вероятности гипотез , условные вероятности, рассчитанные в процессе решения совместные вероятностии рассчитанные по формуле (1.12) апостериорные вероятности(табл. 1.1).

Таблица 1.1 - Переоценка гипотез в задаче 1

Гипотезы	Вероятности
	Априорные	Условные	Совместные	Апостериорные
1	2	3	4	5
–деталь от первого поставщика	0.5	0.04	0.02
–деталь от второго поставщика	0.2	0.05	0.01
–деталь от третьего поставщика	0.3	0.02	0.006
Сумма	1.0	-	0.036	1.0

Рассмотрим последнюю строку этой таблицы. Во второй колонке стоит сумма вероятностей несовместных событий , образующих полную группу:

В четвертой колонке значение в каждой строке (совместные вероятности) получено по правилу умножения вероятностей перемножением соответствующий значений во второй и третьей колонках, а в последней строке 0.036 – есть полная вероятность события A (по формуле полной вероятности).

В колонке 5 вычислены апостериорные вероятности гипотез по формуле Байеса (1.12):

.

Аналогично рассчитываются апостериорные вероятности и, причем числитель дроби – совместные вероятности, записанные в соответствующих строках колонки 4, а знаменатель – полная вероятность событияA, записанная в последней строке колонки 4.

Сумма вероятностей гипотез после опыта равна 1 и записана в последней строке пятой колонки.

Итак, вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика, равна 0.555. Послеопытная вероятность больше априорной (за счет большого объема поставки). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь была получена от второго поставщика, равна 0.278 и также больше доопытной (за счет большого количества брака). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь было получена от третьего поставщика, равна 0.167.

Задача 2. На лыжной базе «Ветерок» имеется 10 пар старых лыж и 5 пар новых лыж. Вероятность того, что старая пара лыж сломается во время прогулки, равна 0,1; вероятность поломки лыжи из новой пары – 0,05. Найдите вероятность того, что ни одна пара из взятых наудачу двух пар лыж не сломается во время прогулки. Найдите вероятность того, что обе пары лыж были старыми, если известно, что ни одна из них не сломалась во время прогулки.

Решение. Будем считать, что лыжи ломаются независимо друг от друга, и введем обозначения: Н₁₁ – «обе выбранные пары старые», Н₂₂ – «обе пары новые», Н₁₂ – «одна из пар старая, а другая новая», А – «ни одна пара лыж не сломалась». Рассчитаем вероятности гипотез: 0,429,0,095,0,476. Для расчета условных вероятностей событияА воспользуемся формулами вероятности противоположного события и вероятности произведения независимых событий (табл. 1.2)

Таблица 1.2 - Переоценка гипотез в задаче 2

Гипотезы	Вероятности
	Априорные	Условные	Совместные	Апостериорные
1	2	3	4	5
–обе пары старые			0.347
–обе пары новые			0.086
–старая и новая			0.407
Сумма	1.0	-	0.84

Полная вероятность события А равна 0,84, вероятность того, что обе пары лыж были старыми при условии, что не было ни одной поломки равна 0,413. Заполните пустые ячейки в последнем столбце таблицы 2.1 и поясните, какие вероятности в них рассчитываются.