7. Парадоксы. Что является источником парадоксов в математике. Парадокс Берри. Парадокс брадобрея. Значение парадоксов для математики.

Парадоксом называется утверждение, из истинности которого следует его ложность, а из ложности – истинность.

• Неограниченное использование естественного языка в математике приводит к парадоксам.

• Парадокс Берри (библиотекарь Оксфордского университета,1906 г.): Как известно, некоторые фразы служат определениями натуральных чисел, например: «Десять в степени десять» – число 10000000000 или «Наименьшее простое число, большее миллиона» – число 1000003. В русском языке 33 буквы, и предложений, состоящих не более чем из ста букв, конечное число (грубо говоря, не более 33 в степени 100). Натуральных же чисел же бесконечно много. Значит, среди них должны быть такие, которые нельзя назвать фразой, состоящей менее чем из ста букв. Но тогда есть и наименьшее такое число. Его можно определить как: «Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить предложением русского языка, содержащим менее ста букв». Это предложение содержит 96 букв. Следовательно, данное определение противоречит самому себе.

• Парадокс Рассела возник в теории множеств (современный фундамент математики). Нематематическая форма этого парадокса – парадокс

брадобрея: Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: «Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам». Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Появление первых парадоксов ошеломило математический мир и послужило поводом, чтобы предпринять систематическое построение математической логики.

8. Парадоксы. Что является источником парадоксов в математике. Парадокс о прямом и противоположном утверждение. Парадокс о прямоугольнике с числами. Значение парадоксов для математики.

Парадоксом называется утверждение, из истинности которого следует его ложность, а из ложности – истинность.

• Неограниченное использование естественного языка в математике приводит к парадоксам.

• Прямое и противоположное утверждения. Это предложение: 1) Это предложение содержит шесть слов 2) Это предложение не содержит шесть слов. Два утверждения в рамочках являются взаимно исключающими утверждения. Значит одно из них истинно, а другое ложно. Какое именно?

• Прямоугольник с числами Запишем в прямоугольнике следующие четыре числа: 1,2,3,” наименьшее не записанное в этом прямоугольнике целое положительное число”

Теорема. Этот прямоугольник содержит записи всех целых положительных чисел.

Доказательство. От противного. Пусть прямоугольник не содержит записи всех целых положительных чисел. Тогда существует x – наименьшее не записанное в данном прямоугольнике число; но запись о x присутствует в данном прямоугольнике. Мы пришли к противоречию.

Появление первых парадоксов ошеломило математический мир и послужило поводом, чтобы предпринять систематическое построение математической логики.

9. Парадоксы. Что является источником парадоксов в математике. Парадокс о крокодиле. Парадокс о неожиданной контрольной. Парадокс Гемпеля. Значение парадоксов для математики.

Парадоксом называется утверждение, из истинности которого следует его ложность, а из ложности – истинность.

• Неограниченное использование естественного языка в математике приводит к парадоксам.

• Крокодил У одной египтянки крокодил похитил ребенка. Египтянка просила вернуть ребенка, и крокодил обещал ей это, если она правильно укажет, как поступит крокодил. Мать ребенка сказала: «Ты не возвратишь мне моего ребенка». На это крокодил ответил: «Если ты, действительно, права, то ты, как сама говоришь, не получишь назад ребенка; если же твое высказывание неверно, то, согласно нашему уговору, ты не получишь ребенка. В любом случае ребенок должен остаться у меня». «Наоборот – возразила женщина, – если мое высказывание верно, то я получу ребенка назад в силу нашего условия; если же я ошиблась, то это означает, что ты сам вернешь мне ребенка. В каждом из случаев я получу ребенка назад». Кто из них прав?

• Неожиданная контрольная Учитель говорит своим ученикам, что на следующей недели их ожидает контрольная. Однако он не сообщает им, в какой день будет проведена эта проверка. Проверка должна быть для них неожиданной. Но будет ли она неожиданной? Можно ли провести проверку в субботу? Нет, нельзя, Если до этого дня контрольной не было, то ученики будут ожидать ее именно в этот день. В субботу контрольная не будет неожиданной. Ну а как насчет пятницы? Ученики знают, что в субботу контрольная состояться не может. Поэтому если ее не было в предшествующие

дни, ученики будут ожидать ее в пятницу. В пятницу контрольная также не будет неожиданной. Аналогичное рассуждение показывает, что контрольная не будет неожиданной, если состоится в четверг, среду, вторник и понедельник. Учитель не может провести неожиданную контрольную.

• Контрольная состоялась в среду и была неожиданной для учеников.

• Парадокс К. Гемпеля

• Как действует наука? Ученые создают теории, затем подтверждают наблюдениями.

• Возьмем общее утверждение о том, что все вороны черные. Все обобщения подтверждаются их конкретными частными случаями. Поэтому, наблюдение каждой черной вороны подтверждают в какой-то степени гипотезу о том, что все вороны черного цвета.

• Если две гипотезы логически эквивалентны, то подтверждение одной гипотезы является также подтверждением другой гипотезы.

• Гипотеза «Все вороны черные» логически эквивалентна гипотезе «Все не-черные предметы являются не-воронами».

• Поэтому и зеленые рубашки, и красные маки, и голубые небеса, будучи не-черными не-воронами, подтверждают гипотезу «Все вороны черные».

• Следовательно биолог может не выходить из кабинета, чтобы получить множество подтверждающих примеров гипотезы «Все вороны черные».

Появление первых парадоксов ошеломило математический мир и послужило поводом, чтобы предпринять систематическое построение математической логики.