10. Задача о двух шкатулках. Логика и реальный мир.

У Порции из комедии Шекспира «Венецианский купец» было три шкатулки: из золота, серебра и свинца. В одной из шкатулок хранился портрет Порции. Поклоннику предлагалось выбрать шкатулку, и если он был достаточно удачлив (или достаточно умен), чтобы выбрать шкатулку с портретом, то получал право назвать Порцию своей невестой. На крышках шкатулок она приказала сделать надписи и пояснила поклоннику, что, что из трех высказываний, написанных на шкатулках, по крайней мере два ложны. Какую шкатулку выбрать? На золотой: портрет в этой шкатулке. портрет в этой шкатулке. На серебряной: портрет не в этой шкатулке. На свинцовой: портрет не в золотой шкатулке. Пра-пра-внучка Порции (тоже Порция) решила подвергнуть претендента на ее руку и сердце аналогичному испытанию. Порция заказала две шкатулки, серебряную и золотую, и в одну из них положила свой портрет. На крышках шкатулок красовались надписи: На золотой: Портрет не в этой шкатулке. На серебряной: Ровно одно из двух высказываний, выгравированных на крышках, истинно. Каково же было удивление поклонника, когда он открыл золотую шкатулку и не обнаружил портрета. Портрет оказался в серебряной шкатулке. Где в рассуждения претендента и в наше решение вкралась ошибка?

• Кто нам мешает взять любое число шкатулок и портретов и разложить портреты произвольным образом по шкатулкам? Дополнительно, мы можем написать произвольные надписи на шкатулках. Не зная ничего об истинности или ложности надписей, мы не можем прийти к какому-либо заключению.

• С самого начала в нашем решении предполагается, что надпись, выгравированная на серебряной шкатулке, либо истинна, либо ложна и других вариантов нет. Да, конечно, в классической логике у истинности всего два значения.

• Но математическая логика всего лишь модель логических отношений, и в данном случае надпись на серебряной шкатулке не может быть ни истинной, ни ложной, ибо в любом случае мы приходим к противоречию с реальным положением вещей (точнее, положением портрета в шкатулках).

• Не следует думать, что если бы мы использовали трехзначную логику (или еще какую-нибудь), то мы смогли бы найти портрет.

• Об отношении логики к реальному миру говорит следующая цитата из Ю. И. Манина («Доказумое и недоказуемое»):

«Предметом логики является не внешний мир, но лишь системы его осмысливания. Логика одной из таких систем – математики – в силу своей нормализованности представляет подобие жесткого трафарета, который можно накладывать на любую другую систему. Соответствие или расхождение этого трафарета с системой, однако, не служит критерием ее пригодности либо мерилом ценности».

• Альберт Эйнштейн: «Законы мышления, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру».

11. Что такое высказывание? Атомарные и сложные высказывания. Соглашение об истинностных значениях высказываний. Соглашение об истинностном значении сложного высказывания.

• Высказывание – утверждение об объектах, имеющее однозначный, точно определенный смысл.

• Это определение, конечно же, не математическое. С чисто математической точки зрения понятия высказывания и объекта являются исходными, но содержательно мы все равно должны описать, что же такое высказывание. Ведь и исходные понятия мы должны понимать.

• Атомарными, элементарными высказываниями естественно можно считать такие, которые сообщают какой-то единичный факт. Сложные высказывания образуются из простых применением двух видов операций.

• Логические связки применяются к высказываниям и в результате дают новое высказывание. Например, это «не только…, но и …», или просто конструкция сложноподчиненного предложения, как в 15.

• Кванторные конструкции применяются к совокупности однородных, отличающихся лишь значениями некоторых параметров) высказываний либо выражений и дают единое высказывание либо выражение, не зависящее от упомянутого параметра. Например, таковы «Все…», «Хотя бы один…».

Соглашения

1. Имеются исходные неопределяемые понятия истина и ложь (обозначения: 1 и 0, или И и Л, или T и F), которые являются истинностными (логическими) значениями высказываний.

2. Логическое значение сложного утверждения зависит лишь от логических значений его компонент, а не от его смысла.

Примеры высказываний: 1. 2×2 = 4; 2. 2×2 = 5; 3. sin π = 0; 4. Волга впадает в Каспийское море.; 5. Волга впадает в Балтийское море.; 6. Существует бесконечно много простых чисел–близнецов.; 7. Для всякого натурального числа найдется превосходящее его простое число.; 8. 12 января 2002 года в 11.35 на перекрестке ул. Учебной и пр. Ленина автомобилем «Тайота», принадлежащим гр. Хасбулатову, находившемуся в состоянии опьянения средней степени, был сбит гр. Иванов Иван Иванович, получивший тяжкие телесные повреждения.; 9. Не только Иванов, но и Петров прогулял сегодняшнюю лекцию.; 10. По словам Сталина, Троцкий был врагом СССР.; 11. Все волки – млекопитающие.; 12. Простых чисел бесконечно много.;

13. Геракл очистил Авгиевы конюшни.; 14. У русалок зеленые волосы.; 15. Рим расположен на реке Тибр, основан, согласно Титу Ливию, Ромулом и находится под особым покровительством Юпитера.

• Безусловно, истинные высказывания – 1, 3, 7.

• Безусловно, ложные высказывания - – 2, 5.

• Истинность высказывания иногда трудно установить – истинность высказывания 7 следует из теоремы Евклида; истинность 6 до сих пор не известна.

• Некоторые высказывания говорят не об одном факте, а о целом множестве утверждений (такие высказывания называются общими) – 11, 12.

• Истинность или ложность высказывания может иметь место в некотором «возможном мире» – 13 (традиционно считается истинным).

• Иногда высказывание относится не столько к сообщаемому факту, сколько к его оценке – 10.

• В сложном высказывании могут быть перемешены реальность, воображаемые миры и его оценка – 15.

• Высказывания могут быть достаточно сложными с точки зрения грамматики – 8.