vm3

5.1.3. Интегрируемость. Замена порядка интегрирования

Теорема 5.4(об интегрировании по параметру). Если функция f (x, y) непрерывна в прямоугольнике П:{a ≤ x ≤ y, c ≤ y ≤ d},

b

R

то функция I(y) = f (x, y)dx интегрируема на [c, d] и при этом

			a			b d f (x, y)dy dx. (5.10)
d	I(y)dy =	d b f (x, y)dx dy =			Z
Z		Z	Z			Z
c		c	a		a	c

Доказательство. По теореме 5.1 функция I(y) непрерывна на [c, d], а потому интегрируема. Справедливость формулы (5.10) следует из того, что в случае непрерывной функции f (x, y) каждый из

повторных интегралов в (5.10) существует и равен двойному инте-

RR

гралу f (x, y)dxdy. Это доказано в теории двойных интегралов.

Π

Формула (5.10) иногда позволяет упростить вычисление некоторых интегралов.

1

Пример 5.5. Вычислить I(y) = Z yb − ya dy, b > a > 0, применяя ln y

0

˜

b

x

x

b

b

a

R

интегрирование по параметру интеграла

I(y) =

y dx.

a

a

1

ln y

b

1

ln y

Решение. Находим I˜(y) =

y

=

y

− y

. На основании теоре-

˜

0 y

x

dy dx =

b

0

I(y)dy

a

R

b

=

R

R

мы 5.4 можем записать

= Z

yx+1

1

dx = Z

dx

b + 1

= ln

.

x + 1

0

x + 1

a + 1

a

a

5.2. Несобственные интегралы 1-го рода, зависящие от параметра

Пусть функция f (x, y) определена в неограниченной полуполосе П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d} и пусть при каждом значении y на [c, d]

∞

R

сходится интеграл f (x, y)dx. Тогда на [c, d] определена функция

a

∞
I(y) = Za	f (x, y)dx,	(5.11)

111

называемая несобственным интегралом первого рода, зависящим от

параметра. Изучение интегралов (5.11) можно свести к изучению функциональных рядов. Пусть дана неограниченная последователь-

ность a = x0 < x1 < x2			< · · · < xm < · · · точек луча [a, +∞)
lim		Определим функции		Im(y), m = 1, 2 . . .	равен-
(m→∞ xm = +∞).
ствами			x2	xm
x1	∞
R			R	R
I1(y) = f (x, y)dx, I2(y) =			f (x, y)dx,. . . , Im(y) = f (x, y)dx,. . . .
a	X		x1	xm−1
Тогда I(y) =	Im(y). Мы получили функциональный ряд.
	m=1
Как и в теории функциональных рядов, важным понятием для

несобственных интегралов, зависящих от параметра, является рав-
номерная сходимость.						∞
		Несобственный интеграл				f (x, y)dx называется равномерно схо-
						a
дящимся по параметру y					(относительно параметра y) к функции
						R
I(y) на сегменте [c, d], если для любого ε >							0 найдётся l = l(ε)
							L
такое, что при любом L > l(ε) неравенство I(y) − a f (x, y)dx									=
							R
=	R							значений	y
		∞f (x, y)dx
				< ε выполняется одновременно			для всех
	L
из [c, d].						∞

Пример 5.6. Дан интеграл R ye−yxdx = I(y). Найти область опре-

0

деления функции I(y) и исследовать интеграл на равномерную схо-

димость.

∞

Решение. Зафиксируем y = y0, −∞ < y0 < +∞, y(0) =

0 dx =

0

= 0. Если y0 > 0, то

при

x

+

подынтегральная

функция

→

∞

R

y0e−

y0x

= f (x, y0) является бесконечно малой, порядка выше перво-

+∞

го, а потому интеграл

y0e−y0xdx сходится. Если же y0 < 0, то при

0

x

+

функция f (x, yR ) = y

e−y0x

→

+

∞

, а поэтому интеграл рас-

→ ∞

0

0

ходится. Следовательно, областью определения функции I(y) является луч [0, +∞). Исходя из определения, докажем равномерную сходимость интеграла на отрезке [c, d], c > 0. Пусть ε > 0 произвольно. Должно существовать число l = l(ε) такое, что при любом L > l(ε) и

		∞
всех y из [c, d] выполнялось бы	R			=		(−e−yx)			= e−Ly <
			ye−yxdx				L∞
		L

< ε. В силу монотонного убывания функции e−Ly на [c, d], c > 0, это

112

неравенство будет заведомо выполняться для всех y из [c, d], если e−Lc < ε, т.е. если L > −lncε . Отсюда следует, что можно положить l(ε) = −lncε .

Заметим, что на отрезке [0, d] интеграл сходится неравномерно, поскольку при y → 0 функция e−Ly → 1, поэтому неравенство e−Ly < ε выполняться сразу для всех y из [0, d] не может.

Теорема 5.5 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если |f (x, y)| < g(x) в П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d}, причём интеграл

∞	∞	∞
R	R	R
g(x)dx сходится, то интегралы	f (x, y)dx и	|f (x, y)|dx сходятся
a	a	a
равномерно на [c, d].

Доказательство. Из неравенств f (x, y) ≤ |f (x, y)| < g(x), при-

знака сравнения сходимости несобственных интегралов и сходимости

	∞					∞		∞
интеграла a		g(x)dx следует, что интегралы a					f (x, y)dx и a		|f (x, y)|dx
сходятся	при всех значениях y из [c, d]. Пусть ε > 0 произвольно. Из
	R	∞				R		R
		R					∞
сходимости интеграла g(x)dx следует, что найдётся такое l = l(ε),
		a
что при L > l(ε) будет выполняться неравенство								g(x)dx < ε. Но
тогда в силу неравенств f (x, y)				f (x, y)			L
			≤ |		|	< g(x) и Rсвойств интегра-
				R				R
лов будут выполняться неравенства ∞f (x, y)dx ≤								∞|f (x, y)|dx < ε
∞				L				L	R
			означает,			что интегралы
сразу для всех y из [c, d]. Это и									f (x, y)dx

a

R

и|f (x, y)|dx сходятся равномерно на [c, d].

a

∞

Пример 5.7. Доказать, что интеграл I(y) = R e−yx2 dx сходится

0

равномерно на [y0, +∞), где y0 > 0.

Решение. Так как 0 < e−yx2 ≤ e−y0x2 при всех y ≥ y0, а инте-

∞

грал R e−y0x2 dx сходится при y0 > 0, то по признаку Вейерштрасса

0

данный интеграл на луче [y0, +∞) сходится равномерно. Можно доказать, что на (0, +∞) этот интеграл сходится неравномерно.

113

Сформулируем несколько теорем, характеризующих свойства функций I(y), заданных интегралом, зависящим от параметра.

Теорема 5.6. Если: 1) функция f (x, y)	непрерывна в П:
	∞
{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d}; 2) интеграл I(y) =	R
	f (x)dx сходится
	a

равномерно относительно y на [c, d], то функция I(y) непрерывна на

[c, d].

Доказательство теоремы предлагается провести самостоятельно

по аналогии с доказательством теоремы 3.21, заменяя остаток ряда

∞

R

rn интегралом f (x, y)dy.

L

Следствие. Если выполнены все условия теоремы 5.6, то

∞

y→y0	Za	y→y0	(5.12)
lim I(y) =		lim f (x, y) dx,

где y0 любая точка из [c, d]. Если справедлива формула (5.12), то

говорят, что возможен предельный переход под знаком интеграла.

Теорема 5.7. Если: 1) функция f (x, y) непрерывна в полуполосе

					∞
П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d}; 2) интеграл I(y) = a						f (x, y)dx сходится
равномерно относительно y на [c, d], то				функция I(y) интегрируема
					R
на [c, d] и при этом справедлива формула					(c f (x, y)dy) dx.
c	I(y)dy = c	a	f (x, y)dx dy = a
d	d	∞		∞	d
R	R	R		R	R

Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 3.22. Предлагается доказать теорему самостоятельно.

∞

Пример

5.8.

Вычислить

интеграл

arctg sx − arctg px

dx,

s > p > 0.

Z0

x

s

arctg sx − arctg px

dy

Решение. Очевидно,

=

Zp

. Тогда

1 + (xy)2

x

I = +∞ s

dy

dx. Интеграл

+∞

dx

сходится равно-

1 + (xy)

2

Z

1 + (xy)

2

Z

Z

0

p

0

<

, а

мерно

1

1

на отрезке

p

≤

y

≤

s, так

как

1 + (xy)2

1 + (px)2

114

+∞

dx

интеграл

Z0

сходится. В полуполосе П:{0 ≤ x

≤ +∞,

1 + (px)2

p ≤ y ≤ s} функция

1

непрерывна, поэтому законна заме-

1 + (xy)2

Z

Z

1 + (xy)

p

0

dx

2

на порядка интегрирования, следовательно,

s

+∞

dy =

s

arctg xy +∞

π

s

dy

π s

= Z

dy =

Z

=

ln

= I.

y

0

2

y

2

p

p

p

Теорема 5.8. Если: 1) функции f (x, y) и fy′ (x, y) непрерывны в по-

	∞	∞
		R
луполосе П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d}; 2) интеграл f (x, y)dx сходит-
	R∞	a
ся при всех y из [c, d]; 3) интеграл	fy′ (x, y)dx	сходится равномерно
	a	∞
по y на [c, d], то функция I(y) =	R
	f (x, y)dx дифференцируема на
	a	R
	∞
[c, d], и имеет место формула Лейбница I′(y) =		fy′ (x, y)dx.
		a

Доказательство. Обозначим I (y) = R fy′ (x, y)dx. Требуется до-

a

казать, что I (y) = I′(y). По теореме 5.6 функция I (y) непрерывна на [c, d], а по теореме 5.7 можно проинтегрировать данный интеграл по параметру y под знаком интеграла от c до y, где y

			y			∞		y	fy′ (x, y)dy dx. Но
y	∞		R		∞	R		R
любое из [c, d]. Следовательно, c				I′(y)dy =		a	c
I (y)dy =	[f (x, y)		f (x, c)]dx =		f (x, y)dx			I(c). Мы получили
R	R	−			R		−
c	a				a

y∞

ZZ

I (y)dy =	f (x, y)dx	−	I(c).	(5.13)
c	a

Дифференцируя (5.13) по y, как по верхнему пределу, получаем

	d	∞			∞
I (y) =		a	f (x, y)dx	= I′(y), т.е. I′(y) =		fy′ (x, y)dx
	dy				a
Теорема доказана.R					R

115

	∞	dx
	Пример 5.9. Найти Z0
			, y > 0.
		(y + x2)2
			∞	dx
	Решение. Рассмотрим интеграл I(y) = Z0				, y > 0. Пока-
				y + x2

жем, что для интеграла I(y) выполнены все условия теоремы 5.8:

1		и f ′				1
1) функции f (x, y) =			(x, y) =				непрерывны
				−(x2		+ y)2
y + x2		y

в полуполосе П:{0 ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d}, c > 0; 2) при любом

y

из [c, d] интеграл I(y) сходится, I(y) =

1

x

∞

π

√y arctg

√y

0

= 2√y ;

∞

∞

dx

3) интеграл fy′ (x, y) = Z0

fy′ (x, y)dx = − Z0

сходится рав-

(x2 + y)2

номерно

по y

на [c, d],

так как

1

<

1

, а инте-

(x

2

2

(x

2

+ c)

2

∞

+ y)

dx

грал

Z0

сходится. Используя

формулу

Лейбница,

находим

x2 + c

∞

dx

π

′

π

Z0

= −I′(y) = −

=

.

(y + x2)2

2√

4y√

y

y

5.3. Несобственные интегралы 2-го рода, зависящие от параметра

Пусть функция f (x, y) определена в прямоугольнике П: {a ≤ x < b, c ≤ y ≤ d}, не ограничена при x → b − 0, причём при

	b−λ		b
			R
каждом значении y из [c, d] сходится интеграл I(y) =			f (x, y)dx =
	R		a
→		b
= lim	f (x, y)dx. Тогда на [c, d] определена функция
λ 0	a
	I(y) = Z	f (x, y)dx,	(5.14)

a

называемая несобственным интегралом 2-го рода.

Как и для несобственных интегралов 1-го рода, зависящих от параметра, для интегралов 2-го рода важным является понятие равномерной сходимости.

116

Определение. Интеграл (5.14) называется равномерно сходящимся к функции I(y)по параметру y (относительно параметра y) на сегменте [c, d], если для любого ε > 0 найдётся l(ε) такое, что нера-

		b−λ				b
		R				−
венство	I(y) −		f (x, y)dx	=	b	R	λ f (x, y)dx		< ε будет выполняться
		a

для всех λ, удовлетворяющих неравенству 0 < λ < l(ε), сразу для всех y из [c, d].

Теоремы 5.5 5.8, сформулированные для несобственных интегралов 1-го рода, зависящих от параметра, можно соответствующим образом переформулировать и для интегралов 2-го рода.

Предлагаем читателю сформулировать и доказать эти теоремы самостоятельно в качестве упражнений. Заметим, что в этом случае вместо полуполосы П:{a ≤ x ≤ +∞, c ≤ y ≤ d} рассматривается пря-

	b	∞
		R
моугольник П:{a ≤ x < b, c ≤ y ≤ d}, а роль интеграла		f (x, y)dx
	R	L
играет остаток	f (x, y)dx.

b−λ

Понятие интеграла, зависящего от параметра, можно распространить на криволинейные интегралы от функций вещественного аргумента, а также на интегралы от функций комплексного аргумента и получить следующие типы интегралов, зависящих от параметра η:

I2	(η) =	R	u(x, y, η)dl, I3(η) =	f (z, η)dz,
I1	(η) = AB u(x, y, η)dx + iv(x, y, η)dy,					(5.15)
		R		R
		AB		AB

x = x(t),

где AB некоторая кривая y = y(t).

В интеграле I3(η) параметр η может принимать и комплексные

значения.

Используя известные формулы, интегралы (5.15) можно свести к интегралам, зависящим от параметра, изученным нами в пп. 5.1, 5.2 и 5.3. Доказанные теоремы о свойствах функций, заданных интегралом, переносятся и на интегралы (5.15), если подынтегральные функции, получающиеся после преобразования этих интегралов в определённые, удовлетворяют условиям соответствующих теорем. С

R

интегралами типа I3(η) = f (z, η)dz мы уже встречались при изу-

AB

чении интегральных формул Коши.

117

5.4. - и B-функции (эйлеровы интегралы)

Функцию вида	∞
	Z
	(s) = xs−1e−xdx	(5.16)

0

называют гамма-функцией ( -функция).

5.4.1. Область определения -функции. Непрерывность и дифференцируемость

-функция представляет собой интеграл, зависящий от пара-

метра	первого и второго		рода одновременно. Можем				записать
(s) =	1	∞	1							0
	xs−1e−xdx + xs−1e−xdx. Интеграл xs−1e−xdx при s								≤
	0	1	0
расходится,R		так как вRэтом случае функция xRs−1e−x есть бесконеч-
но большая при x → 0 порядка не ниже первого.				При s > 0 этот
				s	1	e−	x
интеграл сходится, так как при 0 < s < 1 функция x					−			являет-

ся бесконечно большой порядка ниже первого. При s ≥ 1 функция

∞

xs−1e−x ограничена. Интеграл R xs−1e−xdx сходится при любом s,

1

так как подынтегральная функция xs−1e−x при x → ∞ является бесконечно малой порядка выше первого. Итак, функция определена на множестве (0, +∞).

Легко доказать, что интеграл (5.16) равномерно сходится на [s0, s], где s0 > 0, s < ∞, а потому функция (s) непрерывна на

(0, +∞). При этом		lim (s) = +∞,			lim (s) = +∞. Так как ин-
+∞		s→0+0			s→+∞
[s0, s], R	0		∞					∞ имеет про-
теграл	xs−1(ln x)me−xdx сходится равномерно при m = 1, 2, . . . на
0
где s > 0, s <				, то функция (s) при 0 < s < +
					+∞
изводные всех порядков и при этом (m)(s) =						R	xs−1(ln x)me−xdx.
						0
5.4.2. Первая рекуррентная формула.
График -функции
Интегрируя по частям, находим						∞
		∞			+
	s (s) = s 0		xs−1e−xdx = xse−x 0 ∞ +			0	xse−xdx.
Мы получили		R		(s + 1) = s (s		R
								(5.17)
					).

Применяя формулу (5.17), можно вычисление (s) при s > 1 свести к значениям аргумента s < 1, так как (s + 1) = s (s) = = s(s−1) (s−1) = · · · = s(s−1)·· · ··(s−k) (s−k), где 0 < (s−k) < 1.

118

В частности, если s = n натуральное, то

(n + 1) = n(n − 1) · · · · · (1).

+∞

Так как (1) = R e−xdx = 1, то

0

(n + 1) = n!

(5.18)

Таким образом, -функция есть обобщение понятия факториала на

любые положительные числа. Соотношение (5.18) доопределим при n = 0 условием (0 + 1) = (1) = 1. По определению положим 0! = = (0 + 1) = 1.

(s) 6

4

3

2

1

-

O 1 s0 2 3 4 s

Непосредственным вычислением по-

+∞

лучаем (2) = s R xe−xdx = 1,

0

т.е. (1) = (2) = 1, следователь-

но, по теореме Ролля в интервале 1 < s < 2 существует хотя бы одна точка s0, в которой ′(s0) = 0. Так

∞

как ′′(s) = s R xs−1(ln x)2e−xdx > 0

0

при всех s > 0, то производная ′(s)

монотонно возрастает при всех s > 0 и не может иметь других корней, кроме s0. В силу монотонного возрастания ′(s) < 0 при s < s0 и′(s) > 0 при s > s0. Следовательно, в точке s0 функция (s) достигает минимума. Так как всюду ′′(s) > 0, то график (s) выпуклый вниз. Приближённо s0 = 1,4616, (s0) = 0,8856.

5.4.3. B-функция и её связь с -функцией. Вторая рекуррентная формула

Функция двух аргументов вида

1
B(s, t) = Z	xs−1(1 − x)t−1dx	(5.19)
0

называется B-функцией (бета-функцией). Интеграл (5.19) является несобственным 2-го рода. Точки x = 0 (при s < 1) и x = 1 (при t < 1) являются особыми. При некоторых соотношениях между s и t первообразная для xs−1(1 − x)t−1 выражается через элементарные функции. В общем случае B(s, t) является новой функцией, не

сводимой к элементарным.

Легко показать, что B-функция определена при s > 0, t > 0.

119

Примем без доказательства формулу, выражающую B-функцию

через -функцию:

(s) (t)

B(s, t) =

.

(5.20)

(s + t)

Из (5.20) следует, что B(s, t) = B(t, s).

Если

в

интеграле (5.19)

сделать

замену

x

=

sin2 ϕ, то

π/2

sin2s−1 ϕ cos2t−1

1

1

B(s, t)

=

2

R

ϕdϕ. При s

=

, t

=

получаем

2

2

1

1

0

B

1

1

1 1

2

2

,

= π. Но B

,

=

= π, следователь-

2

2

2

2

1

1

∞

но,

=

√π. Если

в

интеграле (s)

=

0

xs−1e−xdx произ-

2

1

∞

∞

e−z

2

R

√π

x

2

R

∞

2

ведём

замену

= z2, то

(s) = 2

z2s−1dz,

следовательно,

0

= 2

e−z

dz = √

. Мы получили

e−z dz =

инте-

0

π

0

2

2

грал

R

R

Пуассона.

y

Произведя

в

интеграле (5.19) замену

x

=

,

получим

1 + y

∞

ys−1dy

∞ ys−1dy

B(s, t) = Z0

, следовательно, B(s, 1 − s) = Z0

.

(1 + y)s+t

1 + y

	В	[18, с.135 136] применением теории вычетов показано, что
∞ ys−1dy				π				π
Z0			=		(0 < s < 1), т.е. B(s, 1 − s) =					, поэтому
	1	+ y		sin πs				sin πs
						π
					(s) (1 − s) =
						sin πs

вторая рекуррентная формула.

Первая и вторая рекуррентные формулы показывают, что таблицы значений (s) достаточно составить для 0 < s < 12 .

Применяя - и B-функции, можно вычислить некоторые инте-

гралы.

∞

Пример 5.10. Вычислить интеграл I = R xme−pxr dx (m, p, r

0

положительные константы).

120