vm3
.pdfлюбом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна про-
изведению сумм этих рядов. |
∞ |
∞ |
|
||
|
X |
X |
Ряд типа (3.14) называется произведением рядов |
an и |
bn. |
|
n=1 |
n=1 |
Теорему примем без доказательства.
В практических приложениях наиболее часто встречаются абсолютно сходящиеся ряды. В подразделах 3.1.4 3.1.10 приведены некоторые достаточные признаки абсолютной сходимости.
3.1.4. Признак сравнения абсолютной сходимости в конечной форме
∞ |
∞ |
∞ |
∞ |
X |
X |
X |
X |
Рассмотрим ряды an, |
|an|, |
bn, |
|bn|. Будем их обо- |
n=1 |
n=1 |
n=1 |
n=1 |
значать соответственно символами (A), (|A|), (B), (|B|).
Теорема 3.7. Если для всех n > n0 ≥ 1 выполняется неравенство
|an| ≤ |bn|, (3.15) то из сходимости ряда (|B|) следует сходимость ряда (|A|), т.е. из аб-
солютной сходимости ряда (B) следует абсолютная сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (|A|) следует расходимость ряда (|B|).
Доказательство. Справедливость теоремы 3.7 непосредственно
следует из критерия Коши (см. теорему 3.2). Действительно, если ряд (|B|) сходится, то для него выполнен критерий Коши, но тогда в силу неравенства (3.15) он и подавно выполнен и для ряда (|A|), т.е.
иряд (A) также сходится абсолютно. Если же ряд (|A|) расходится,
то для него не выполнен критерий Коши, но тогда он не выполнен
идля ряда (|B|), т.е. ряд (|B|) расходится.
Замечание 1. Если ряд (|A|) расходится, то из теоремы 3.7 следует, что ряд (B) либо расходится, либо сходится условно. Нужны дополнительные исследования. Если же ряды (A) и (B) содержат лишь вещественные положительные члены и 0 < an ≤ bn, то из расходимости (A) следует расходимость ряда (B). Для таких рядов
понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
∞
X 1
Пример 3.6. Ряд n=1 ns исследовать на сходимость (этот ряд на-
зывается обобщённым гармоническим).
Решение. При s ≤ 1 данный ряд расходится на основании тео-
1 1 |
∞ |
1 |
|
X |
|
ремы 3.7, так как в этом случае n ≤ ns , а ряд n=1 n расходится (см. пример 3.4). Пусть s > 1 и s = 1 + σ, где σ > 0. Ряд
51
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=2 |
|
|
|
|
− |
|
сходится, так как Sn = 1 − |
|
|
|
, σ > 0, и су- |
|||||||||||||||||||
(n |
− |
1)σ |
nσ |
nσ |
|
|||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
n→∞ |
− nσ = 1. К функции f (x) = |
|
xσ на проме- |
|||||||||||||||||||||||
ществует |
lim |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
жутке [n − 1, n] применим формулу Лагранжа: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
nσ |
|
|
(n − 1)σ |
|||||||||||||||||||||||||||
= −(n − Θ)1+σ |
, 0 < Θ < 1, значит, σ |
(n − 1)σ |
− nσ |
> n1+σ . От- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сюда, из теоремы 3.7 и сходимости ряда n=2 |
|
1 |
|
|
|
− |
|
следу- |
||||||||||||||||||||||
(n |
|
1)σ |
|
|
nσ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ет, что ряд |
|
|
сходится. Таким образом, обобщённый гармо- |
|||||||||||||||||||||||||||
n1+σ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
сходится при s > 1 и расходится при s ≤ 1. |
||||||||||||||||||||
нический ряд n=1 |
ns |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
||||||||
|
Ранее мы показали, что изучение ряда |
an = |
|
|
|
|
|
(αn + iβn) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
||||||||
с комплексными членами можно свести к изучениюX |
|
рядовX с веще- |
ственными членами. Имеет место следующее утверждение.
∞∞
|
X |
X |
|
|
Теорема 3.8. Чтобы ряд |
an = |
(αn + iβn) сходился абсо- |
||
|
n=1 |
n=1 |
∞ |
∞ |
|
|
|
||
|
|
|
X |
X |
лютно, необходимо и достаточно, чтобы оба ряда |
αn и |
βn |
||
сходились абсолютно. |
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
Доказательство. Справедливость теоремы 3.8 следует из очевид-
ных неравенств |αn| ≤ |an|, |βn| ≤ |an|, |an| ≤ |αn| + |βn| и теоремы
3.7.
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Пример 3.7. Исследовать ряд n=1 |
n2 + 1 |
+ |
n5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|||
Решение. Так как 0 < |
|
< |
, то ряд |
X |
|
|
|
сходится |
||||||||
n |
2 |
2 |
|
|
n |
2 |
+ 1 |
|||||||||
|
|
|
+ 1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
также сходится абсолютно как обобщённый |
||||||||||||||
абсолютно, ряд |
n5 |
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гармонический при s > 1. Поэтому на основании теоремы 3.8 данный
52
ряд сходится абсолютно.
3.1.5. Предельный признак сравнения
Теорема 3.9. Пусть существует
lim |
|an| |
= q. |
(3.16) |
n→∞ |bn| |
|
|
Если q [0, +∞) и ряд (|B|) сходится, то сходится и ряд (|A|). Если q > 0 и ряд (|B|) расходится, то расходится и ряд (|A|).
Доказательство. Пусть 0 ≤ q < ∞ и ряд (|B|) сходится. Из (3.16)
следует: |
|
ε > 0 |
|
N такое, что при n > N справедливо |
|an| |
< q + ε, |
||
|bn| |
||||||||
|
|
∞ |
|
|
||||
|
|
|
|
(q + ε)|bn| сходится, то по теореме |
||||
|an| < (q + ε)|bn|. Так как ряд |
||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
3.7 сходится и ряд (|A|).
Если q > 0 и ряд (|B|) расходится, то в этом случае существует
конечный предел lim |bn| . Ряд (|A|) должен расходиться, так как в
n→∞ |an|
противном случае по доказанному выше сходился бы и ряд (|B|).
Замечание 2. Если в (3.16) q = ∞, то тогда lim |bn| = 0, и по
n→∞ |an|
теореме 3.9 из абсолютной сходимости ряда (A) следует абсолютная сходимость ряда (B).
Замечание 3. Если в (3.16) q 6= 0, q 6= ∞, то ряды (|A|) и (|B|) либо оба сходятся, либо оба расходятся. Для рядов (A) и (B) нуж-
ны дополнительные исследования. Каждый из них, независимо от другого, может либо сходиться условно, либо расходиться. Если же члены этих рядов вещественны и положительны, то при q 6= 0, q 6= ∞ ряды (A) и (B) либо оба сходятся, либо оба расходятся.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
√ |
|
|
|
|
|
Пример 3.8. Исследовать на сходимость ряд |
4n5 |
+ 3 |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
Решение. В качестве ряда (B) возьмём сходящийся ряд |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n3/2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(обобщённый гармонический |
ряд, |
s |
= 3/2 > 1). |
Так |
как |
||||||||||||
|
n/√ |
|
|
|
n5/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
nlim |
4n5 + 3 |
|
√ |
1 |
, то отсюда, теоремы 3.9 и |
||||||||||||
|
|
|
= nlim |
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||
→∞ |
1/n |
|
→∞ |
|
4n |
+ 3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
53
∞
X 1
из сходимости ряда n=1 n3/2 следует сходимость данного ряда.
Как мы видели, для сходимости ряда (A) необходимо, чтобы
lim an = 0, т.е. чтобы величина |an| была бесконечно малой при
n→∞
n → ∞. Как следует из предельного признака сравнения и сходи-
∞
X 1
мости ряда n=1 ns при s > 1, для абсолютной сходимости ряда (A)
необходимо и достаточно, чтобы порядок малости величины |an| был
выше первого относительно величины |
1 |
при n → ∞, т.е. nlim nα|an| |
|
||
n |
||
|
|
→∞ |
был конечен при α > 1. Если же этот предел конечен при α ≤ 1,
|
∞ |
|
∞ |
то ряд |
|an| расходится. Для ряда |
an в этом случае нужны |
|
|
n=1 |
исследования. |
n=1 |
дополнительныеX |
X |
Таким образом, исследование ряда на абсолютную сходимость сводится к определению порядка малости модуля его общего члена.
В признаках сравнения для исследования данного ряда нужно привлекать другой ряд. Существуют признаки сходимости, основанные на исследовании только данного ряда. К таковым относятся признаки Даламбера и Коши. В них происходит сравнение членов ряда с геометрической прогрессией.
3.1.6. Признак Даламбера в конечной форме
Теорема 3.10. Если, начиная с некоторого номера n, справедливо
неравенство |
|
|
|an+1| |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
≤ |
q < 1, |
|
|
(3.17) |
||
|
∞ |
|
|an| |
|an+1| |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
то ряд |
|
сходится абсолютно. Если же |
|
1, то этот ряд |
||||||
a |
n |
≥ |
||||||||
an |
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
||
расходится.X |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть неравенство (3.17) выполняется для всех
номеров. Тогда |a2| ≤ q|a1|, |a3| ≤ q2|a1|, . . . , |an| ≤ qn−1|a1|, . . . .
∞
X
Так как ряд qn−1|a1| сходится как геометрическая прогрессия со
n=1
знаменателем 0 < q < 1, то по признаку сравнения ряд (A) сходится
абсолютно.
Если же |an+1| ≥ 1, то |an+1| ≥ |an| при любом n, и общий член an
|an|
не может стремиться к нулю, т.е. не выполнен необходимый признак
54
|
|
∞ |
|
|
сходимости, следовательно, ряд |
X |
|
||
an расходится. |
|
|||
|
|
n=1 |
|
|
3.1.7. Признак Даламбера в предельной форме |
|
|||
Теорема 3.11. Если существует предел |
|
|||
lim |
|an+1| |
= q, |
(3.18) |
|
n→∞ |
|
|an| |
|
то ряд (A) сходится абсолютно при q < 1, при q > 1 расходится. (При q = 1 никакого вывода о сходимости ряда (A) сделать нельзя.
Нужны дополнительные исследования.)
Доказательство. Если q < 1, то найдётся такое ε > 0, что q = 1 − 2ε, т.е. q + ε = 1 − ε. По определению предела из (3.18) для выбранного ε > 0 N (ε) такое, что при n > N имеет место
|an+1| < q + ε = 1 − ε < 1. Отсюда и из теоремы 3.10 следует абсо-
|an|
лютная сходимость ряда (A).
Если же q > 1, то найдётся ε > 0 такое, что q = 1 + 2ε, т.е.
q − ε = 1 + ε. Из (3.18) следует, что |an+1| > q − ε = 1 + ε > 1. По
|an|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме 3.10 ряд |
X |
an расходится. Теорема доказана. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.9. Ряд |
|
∞ cos in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исследовать на абсолютную сходи- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5n |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мость. |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
| cos i(n + 1)|5n |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
Находим |
|
|
|
lim |
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
5n+1 |
| |
cos in |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
||
|
1 |
lim |
e−(n+1) + en+1 |
= = |
1 |
|
lim |
en+1(1 + 1/e2(n+1)) |
= |
e |
< 1. |
||||||||||||||||
|
|
e−n + en |
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||
|
5 n |
→∞ |
|
|
|
5 n |
en(1 + 1/e2n) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
По признаку Даламбера в предельной форме данный ряд сходит- |
||||||||||||||||||||||||
ся абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3.1.8. Радикальный признак Коши в конечной форме |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Теорема 3.12. Если, начиная с некоторого номера n, справедливо |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.19) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| n| ≤ q < 1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ≥ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
абсолютно, если же |
p| |
a |
|
1, то ряд расходит- |
||||||||||||||||||||
то ряд |
(A) сходится |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть (3.19) выполняется для всех номеров. Тогда |a1| ≤ q, |a2| ≤ q2, . . . , |an| ≤ qn, . . . Отсюда, из признаков
55
|
∞ |
|
|
|
сравнения и сходимости ряда |
X |
n |
|
|
qn при |q| < 1 следует абсолют- |
||||
|
n=1 |
|
|
|
ная сходимость ряда (A). Если же |
|
|an| ≥ 1 при любом n, то не |
||
выполняется необходимый признак |
сходимости, следовательно, дан- |
|||
p |
|
|
ный ряд расходится.
3.1.9. Радикальный признак Коши в предельной форме
p
Теорема 3.13. Если существует lim n |an| = q, то при q < 1 ряд
n→∞
(A) сходится абсолютно, при q > 1 этот ряд расходится. (При q = 1
ряд может как сходиться, так и расходиться. Нужны дополнительные исследования.)
Доказательство теоремы 3.13 сводится к теореме 3.12 аналогич-
но тому, как теорема 3.11 сведена к теореме 3.10 |
вместо отношения |
|||||||||||||||
|
|an+1| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
нужно писать n |
a |
. Доказательство рекомендуем провести |
|||||||||||||
|
an |
p |
| n| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
самостоятельно.| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
||||
|
Пример 3.10. Исследовать на сходимость ряд |
X |
|
|
|
. |
||||||||||
|
n=1 |
e(1+i)n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
√ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
n→∞ r |e(1+i)n| |
= |
n→∞ |e(1+i)| |
e |
||||||||||
|
Решение. Находим |
lim |
n |
|
lim |
|
|
|
|
= < 1. По |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
признаку Коши в предельной форме данный ряд сходится абсолютно.
3.1.10. Интегральный признак Коши
В некоторых случаях исследование ряда на абсолютную сходимость можно свести к исследованию несобственного интеграла. Основанием для этого является следующая теорема.
Теорема 3.14. Пусть неотрицательная на луче [1, ∞) функция f (x) монотонно убывает при x → +∞ и такова, что при целых n = 1, 2, . . . имеет место
f (n) = |an|. |
(3.20) |
Тогда ряд (A) сходится абсолютно, |
если сходится интеграл |
56
∞
R
I = f (x)dx, ряд (|A|) расходится, если расходится указанный ин-
1
теграл.
Доказательство. Пусть x любое из сегмента [n − 1, n], т.е. n − 1 ≤ x ≤ n. Очевидно, f (n) ≤ f (x) ≤ f (n − 1), так как f (x)
монотонно убывает, или в силу (3.20)
Проинтегрируем |
|
|an| ≤ f (x) ≤ |an−1|. |
(3.21) |
|||||
(3.21) в |
пределах |
от n − 1 |
до n. Получим |
|||||
n |
|
|||||||
R |
|
≤ |
2 |
|
|
3 |
|
|
|an| ≤ |
f (x)dx |
|an−1 |
|. Запишем последнее неравенство для |
|||||
n−1 |
|
|
R |
|
|
R |
|
|
n |
|
≤ |
|
|
|
|||
всех номеров: |a2| |
f (x)dx ≤ |a1|, |
|a3| ≤ f (x)dx ≤ |a2|, . . . , |
||||||
R |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
f (x)dx ≤ |
|
n |
|
|
|
|||
|an| ≤ |
|an−1|. Складывая эти неравенства почленно, |
|||||||
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn − |a1| ≤ Z1 |
f (x)dx ≤ Sn−1, |
(3.22) |
||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
||
|
|
|
|
|
Xn |
|
||
где Sn n-я частичная сумма ряда |
|an|. Заметим, что в нашем |
|||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
||
случае последовательности Sn и In = |
f (x)dx монотонно возрас- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
тающие. Из неравенств (3.22) и |
теоремы о существовании предела |
|||||||
|
R |
|
монотонной ограниченной последовательности следует, что последо-
∞
вательность {Sn} и интеграл I = f (x)dx сходятся или расходятся
1 |
|
|
одновременно. Теорема доказана. R |
|
|
∞ |
1 |
|
X |
|
|
Пример 3.11. Исследовать на сходимость ряд |
n ln3 n |
. |
n=2 |
|
|
Решение. Согласно интегральному признаку Коши, исследование этого ряда на сходимость можно заменить исследованием ин-
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
lim |
A |
d ln x |
= |
lim |
− |
1 |
|
A |
|||
теграла I = |
|
x ln3 x |
. Но |
I = |
|
2 ln2 x |
2 = |
|||||||||||
2 |
A→∞ 2 ln3 x |
A→∞ |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
R |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
, т.е. интеграл I сходится, а по- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
−2 ln2 A 2 ln2 2 |
|
2 ln2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
A→∞ |
|
|
|
|
|
тому сходится и данный ряд.
Заметим, что при исследовании рядов на сходимость иногда полезно сочетать признаки сравнения с признаками Даламбера и Коши.
57
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
∞ |
|
|
|
||
Пример 3.12. Ряд |
|
|
|
|
= |
an исследовать на схо- |
||||||||
(n2 |
− |
1) ln 2n |
||||||||||||
димость. |
n=2 |
|
|
|
|
n=2 |
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∞ |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
Решение. Сравним данный ряд с рядом |
bn = |
|
|
. На- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
n=2 |
|
|
ходим lim |
|an| |
= |
lim |
|
n ln 2n |
|
|
= 1. По признаку сравнения |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n→∞ |bn| |
n→∞ (n2 − 1) ln 2n |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|||
в предельной форме ряды |
|
an и |
|
|
bn сходятся или расходятся |
n=2 n=2
одновременно. Применяя интегральный признак Коши к исследова-
нию ряда
∞ dx
R
2 x ln 2x
дится.
∞ |
1 |
|
|
|
|
X |
|
|
, получаем, что он расходится, так как интеграл |
||
n=2 |
n ln 2n |
||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
||||
|
|
ln 2x |
|
||
= Z2 |
|
d |
|
расходится. Следовательно, данный ряд расхо- |
|
|
ln 2x |
3.1.11. Признаки Лейбница и Дирихле
Пусть дан ряд с вещественными членами, знаки которых чередуются. Такой ряд можно записать в виде
∞
X
a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)m+1am + · · · = (−1)n+1an. (3.23)
n=1
Здесь величины an вещественны и an > 0.
Теорема 3.15 (признак Лейбница). Если члены знакочередующе-
гося ряда (3.23) монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.
an+1 < an, |
(3.24) |
и стремятся к нулю, т.е. lim an = 0, то ряд (3.23) сходится, его
n→∞
остаток по модулю не превышает первого члена остатка, а по знаку совпадает со знаком этого члена.
Доказательство. Частичные суммы S2m чётного порядка ряда
(3.23) можно записать в виде
S2m = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · + (a2m−1 − a2m).
В силу (3.24) все скобки здесь положительны. Поэтому при любом m величина S2m > 0 и последовательность {S2m} монотонно возрас-
тает. С другой стороны,
S2m = a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − · · · − (a2m−2 − a2m−1) − a2m.
58
Отсюда следует, что S2m < a1. Мы получили 0 < S2m < a1. Таким образом, последовательность {S2m} монотонно возрастает и огра-
ничена сверху. По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Обо-
значим его S : nlim S2m = S 6= ∞. Для частичных сумм S2m−1 |
||||||
|
→∞ |
= S2m − a2m. Так как |
||||
нечётного порядка можем записать S2m−1 |
||||||
lim a |
= 0 по условию теоремы, то lim |
S |
2m−1 |
= lim S |
|
= S. |
n→∞ 2m |
m→∞ |
|
m→∞ |
2m |
|
Сходимость ряда (3.23) доказана, оценим его остаток. Пусть α2m =
= a2m+1 − a2m+2 + a2m+3 − a2m+4 + · · · = (a2m+1 − a2m+2) + (a2m+3−
−a2m+4) + · · ·. Отсюда следует, что α2m > 0. Но, с другой стороны, α2m = a2m+1 −(a2m+2 −a2m+3)−· · ·, т.е. α2m < a2m+1, следовательно,
0 < α2m < a2m+1. |
(3.25) |
Для остатка α2m−1 находим α2m−1 = −a2m + a2m+1 − a2m+2+
+a2m+3 − · · · = (−a2m + a2m+1) + (−a2m+2 + a2m+3) − · · ·. Каждая из
скобок здесь отрицательна, поэтому α2m−1 < 0. С другой стороны,
α2m−1 = −a2m + (a2m+1 − a2m+2) + (a2m+3 − a2m+3) + · · ·. Следова-
тельно, α2m−1 > −a2m, т.е.
−a2m < α2m−1 < 0. |
(3.26) |
Из неравенств (3.25) и (3.26) следует справедливость второй части теоремы. Теорема доказана.
Замечание 4. Расстановка скобок в рядах α2m и α2m−1 правомер-
на, так как каждый из рядов сходится, а сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.
Замечание 5. Из (3.25) и (3.26) следует, что при замене суммы
знакочередующегося ряда его частичной суммой погрешность по модулю не превышает первого отброшенного члена, а по знаку совпадает с ним.
Пример 3.13. Исследовать на сходимость ряд
∞
X(−1)n+1 n1 = 1 − 12 + 13 − 14 + · · ·.
n=1
Решение. Поскольку знаки членов ряда чередуются, а их модули, монотонно убывая, стремятся к нулю, то данный ряд сходится. Так
|
|
1 |
|
|
1 |
∞ 1 |
|||
как |
(−1)n+1 n |
|
= |
n , а ряд n=1 n расходится, то данный ряд сходится |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
||
условно. |
|
|
|
|
|
59
Приведём без доказательства достаточный признак сходимости
|
∞ |
|
X |
часто встречающихся рядов типа |
anbn. |
|
n=1 |
Теорема 3.16 (признак Дирихле). Если последовательность ча-
|
∞ |
|
|
X |
|
стичных сумм ряда |
an ограничена, а последовательность {bn} |
|
|
n=1 |
∞ |
|
|
|
|
|
X |
монотонная и бесконечно малая, то ряд |
anbn сходится. |
|
|
|
n=1 |
Пример 3.14. Исследовать на сходимость ряд |
||
|
∞ |
|
|
X |
(а) |
|
an sin nx, |
n=1
где числа an образуют монотонную сходящуюся к нулю последова-
тельность.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. Оценим |
частичные |
суммы |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
ряда |
|||||||||||||||||
|
Sm |
= |
|
|
|
sin nx |
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
sin nx. |
Если |
|
x |
= |
|
2kπ |
|
(k |
|
целое), |
|
|
то |
|
ряд |
(а) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
так как |
все |
его |
|
члены |
|
в |
этом |
случае |
со- |
||||||||||||||||||
сходится,X |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
стоят |
из |
нулей. |
|
Пусть |
x |
6= |
|
|
2kπ. |
|
Тогда |
|
2Sm sin |
x |
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
m |
2 sin kx sin 2 |
|
= |
|
m |
k − 2 |
x − cos k + 2 |
x |
= |
||||||||||||||||||||||
k=1 |
|
k=1 cos |
|||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
x |
|
|
|
X |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
− cos m + |
1 |
x, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Sm(x) = |
cos 2 |
− cos |
m + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что при любом x 6= 2kπ |Sm(x)| < |
|
|
|
|
|
, т.е. ча- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
стичные суммы S (x) ограничены в совокупности. |
По признаку Ди- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
рихле ряд (а) сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При исследовании рядов с комплексными членами иногда полезна следующая теорема.
60