vm3

	статочно взять пять слагаемых ряда (3.57): ln 3 = 1 +					1	+	1	+
						3 · 4		5 · 16
		1		1
	+		+		= 1 + 0,0833 + 0,0125 + 0,0022 + 0,0004 = 1,098.
		7 · 64		9 · 256

√

Пример 3.27. Вычислить 3 с точностью до 0,001.

Решение. Для вычисления корней используется биномиальный

	ряд
	(1+x)α = 1+αx+	α(α − 1)x2	+	· · ·	+	α(α − 1) · · · · · (α − n + 1)xn	+	· · ·	.
		2!				n!

Этот ряд при всех значениях α сходится в (−1, 1). Если −1 < α < 0, то ряд сходится в (−1, 1], а если α > 0, то ряд сходится в [−1, 1].

Скорость сходимости биномиального ряда уменьшается с приближением значений |x| к единице. Поэтому для приближённых вычис-

лений корней следует x подобрать таким, чтобы он был по модулю

√

много меньше единицы. В данном примере можем записать 3 =

					7										7					1				−1/2
49 16							48
= r		3 · ·			=		r						=			1 +										. Теперь, используя бино-
		49 · 16				4				49					4					48
													1			1
миальный ряд при α = −															, x =						, получаем
														2				48
							1								1	3							1			1	3	5		1
√3 = 1,75 1 −													+			·				·					−	·	·	· 3!	·		+ · · · .
							2 · 48								2		2 · 2					482				2 · 2	· 2			483

Мы получили знакочередующийся ряд, в котором уже третье слага-

емое меньше 0,001. Поэтому с точностью до 0,001

√

3 = 1,75(1 − 0,0104) = 1,75 · 0,9896 ≈ 1,732.

Пример 3.28. Вычислить √e с точностью 0,001.

Решение. Применяем ряд

ex = 1 + x +

x2

x3

xn

(3.58)

+

+ · · · +

+ · · ·

2!

3!

n!

1

√

1

1

1

1

1

при x =

. Получаем

e = 1+

+

+

+

+

+· · ·. Для

2

2

2 · 4

236

2424

25120

оценки rn(x) остатка ряда (3.58) запишем rn(x) в форме Лагранжа

rn(x) =

f (n+1)(c)(x − x0)n+1

, где 0 < c <

1

. При x =

1

получаем

2

2

(n + 1)!

3

, так как ec < 3

1

rn(x) ≤

при 0 < c <

. При n = 4

(n + 1)!2n+1

2

величина r4 < 0,001. Поэтому

√

= 1 + 0,5 + 0,125

+ 0,0208 + 0,0026 = 1,648.

e

81

dxn−2

3.5.3. Приближённое вычисление определённых интегралов

b

R

Если подынтегральная функция в интеграле f (x)dx разлагает-

a

ся в ряд Тейлора, то такой интеграл можно вычислить приближённо с любой степенью точности путём интегрирования степенных функций.

1

Пример 3.29. Вычислить I = R cos x2dx с точностью α = 0,001.

0

Решение. Разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням x, по-

лучаем ряд cos x2 = 1 −	x4		x8		x12
		+		−		+ · · ·, сходящийся на всей
	2!		4!		6!

оси. Интегрируя почленно этот ряд в пределах от 0 до 1, находим

1

1

1

1

R

1

5

·

2!

+ 9

·

4!

− 13

·

6!

cos x2dx = 1 −

+ · · ·. Мы получили знакоче-

0

редующийся ряд, четвёртое слагаемое его

< 0,001. Поэтому

13 · 720

1

R cos x2dx = 1 − 0,1 + 0,00463 ≈ 0,905.

0

3.5.4. Интегрирование дифференциальных уравнений

Требуется найти решение y = y(x) дифференциального уравне-

ния	y′′ = F (x, y, y′),	(3.59)

удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = a0, y′(x0) = a1. Бу-

дем считать, что в окрестности начальных данных уравнение (3.59) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, а также, что решение y = y(x) представимо в виде суммы ряда Тей-

лора

y(x) = y(x0) + y′(x0)(x − x0) + · · · + y(n)(x0)(x − x0)n + · · · . (3.60) n!

Чтобы найти ряд (3.60) нужно вычислить его коэффициенты y(x0), y′(x0), y′′(x0), . . . , y(n)(x0), . . . , причём первые два определены начальными условиями y(x0) = a0, y′(x0) = a1. Укажем два метода

отыскания этих коэффициентов. Значения всех производных функции y(x) в точке x0 можно найти последовательным дифференцированием по x функции F (x, y(x), y′(x)):

y′′′(x0) = dF (x0, a0, a1) , · · · , y(n)(x0) = dn−2F (x0, a0, a1) , · · ·. dx

82

Пример 3.30. Найти пять членов разложением в ряд Тейлора решения y(x) дифференциального уравнения y′′ = xyy′, удовлетворя-

ющего условию y(0) = 1, y′(0) = 1.

Решение. Имеем y′′ = xyy′, y′′(0) = 0; y′′′ = yy′ + x(y′)2 + xyy′′, y′′′(0) = 1; y(IV ) = 2(y′)2 + 2yy′′ + 3xy′y′′ + xyy′′′, y(IV )(0) = 2; y(V ) = 9y′y′′ + 3yy′′′ + 3x(y′′)2 + 4xy′y′′′ + xyy(IV ), y(V )(0) = 3. Сле-

довательно, y(x) = 1 + x +	x3		2x4			3x5
		+			+			+ · · ·.
	3!		4!				5!

Метод неопределённых коэффициентов заключается в следующем. Ищем решение y(x) в виде ряда

∞
y(x) = X an(x − x0)n	(3.61)

n=0

с неопределёнными коэффициентами an, которые требуется найти.

Дифференцируя дважды ряд (3.61) почленно, получаем

∞	∞
X	X
y′ =	nan(x − x0)n−1, y′′ = n(n − 1)an(x − x0)n−2. (3.62)
n=1	n=2

Затем разлагаем в ряд Тейлора функцию F (x, y, y′), используя при

этом ряды (3.62). Пусть

		∞
		X
F (x, y, y′) =		bn(x − x0)n.	(3.63)
		n=0
Вносим (3.62) и (3.63)	в	исходное уравнение.	Получим
∞		∞
X		X
n(n − 1)an(x − x0)n−2	=	bn(x − x0)n. Приравнивая ко-
n=2		n=0

эффициенты при одинаковых степенях (x − x0), мы и получим

необходимые соотношения для определения неизвестных коэффициентов an, причём коэффициенты a0 и a1 находим из начальных

условий. Если эти коэффициенты оставить произвольными, то мы получим общее решение.

Пример 3.31. Найти общее решение уравнения y′′ = y методом

неопределённых коэффициентов.

∞

X

Решение. Ищем решение в виде ряда y(x) =			anxn, тогда
	∞	∞	n=0
	X	X
y′′ =	n(n − 1)anxn−2, следовательно,	n(n − 1)anxn−2 =
∞	n=2	n=2

X

=anxn. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-

n=0

нях x, получаем n(n − 1)an = an−2, n = 2, 3, . . .. Отсюда находим

83

a0

a1

a0

a1

a2 =

, a3 =

,

a4 =

, a5 =

, · · ·,

1 · 2

1 · 2 · 3

1 · 2 · 3 · 4

1 · 2 · 3 · 4 · 5

a2n =

a0

, a2n−1

=

a1

. Таким образом, решение можно за-

(2n)!

(2n − 1)!

∞

x2n

∞

x2n−1

X

X

−

писать в виде y(x) = a0

(2n)!

+ a1

(2n

1)!

= a0ch x + a1sh x,

n=0

n=1

что можно было получить и непосредственно, интегрируя данное линейное уравнение.

3.5.5. Применение рядов Тейлора к отысканию пределов и производных

Используя известные разложения в ряд Тейлора, можно находить некоторые пределы и производные.

x cos x − √

sin √

.

Пример 3.32. Найти

lim

x

x

x→+0

1 − cos x

Решение. Разложим в ряд Тейлора числитель и знаменатель дан-

ной дроби:

x3

x5

x2

x3

x cos x − √x sin √x =

x −

+

− · · · − x −

+

− · · · ;

2!

4!

3!

5!

x2

x4

x cos x −

√

sin

√

=

1

−

cos x =

−

+

· · ·

. Поэтому

lim

x

x

2!

4!

cos x

x

+0

1

−

x2

1

1

1

→

1

1

lim

−

+

x3 + · · ·

=

−

+

x + · · ·

=

1

.

=

3!

2!

5!

lim

6

2

5!

x2

1

x2

x→+0

x4

x→+0

3

−

+ · · ·

−

+ · · ·

2!

4!

2

4!

Пример 3.33. Найти f (V )(0), если f (x) = e2x sin 3x.

Решение. Ряд Тейлора для f (x) можно получить как произведение рядов для функций e2x и sin 3x:

f (x) = 1 + 2x +

22x2

3x3

24x4

33x3

35x5

+

2

+

+ · · · 3x −

+

− · · · .

2!

3!

4!

3!

5!

Коэффициент a

при x5

равен

35

22 · 33

+

24 · 3

=

81

9+2 =

199

.

5! −

3! · 2!

40

−

5

4!

− 40

Следовательно,

f (V )(0)

=

−

199

, т.е. f (V )(0) =

−199 · 120

=

−

597.

5!

40

40

84

3.6. Ряды Лорана

Если в точке z0 функция f (z) неаналитична, то для изучения

поведения функции в окрестности этой точки ряды Тейлора не применимы. В этом подразделе мы рассмотрим обобщения степенных рядов, когда допускаются не только целые положительные степени, но и целые отрицательные. Такие ряды применяются для изучения функций в окрестности её точек неаналитичности.

3.6.1. Строение области сходимости ряда Лорана.
Теорема о представимости функции рядом Лорана
Ряд вида	∞
X
	an(z − z0)n	(3.64)
n=−∞
называется рядом Лорана.
По определению будем считать, что		∞
∞	−1
X	X	X
an(z − z0)n =	an(z − z0)n +	an(z − z0)n.
n=−∞	n=−∞	n=0
∞
X

Ряд an(z − z0)n называют правильной частью ряда Лорана. Его

n=0

областью сходимости является круг |z − z0| < R (включая случаи

R = 0, R = ∞).

		−1
Рассмотрим ряд			an(z − z0)n или
		n=−∞
		X
			∞
			a−n(z − z0)−n,								(3.65)
			n=1
			X
называемый главной			частью ряда		Лорана. Если						обозначить
1		, то (3.65) принимает вид
z − z0 =
	t
			∞	tn.							(3.66)
			a
			−n
			n=1
			X								< r′. Тогда
Ряд (3.66) относительно t сходится в некотором круге									t
								| |
ряд (3.65) сходится в области |z − z0|					>	1	. Пусть		1		= r. Если
						r′		r′

r > R, то ряд (3.64) является расходящимся всюду, если же r < R, то областью сходимости является кольцо r < |z − z0| < R с центром в точке z0. Случаи r = 0 и R = ∞ не исключаются.

85

Из теоремы об аналитичности суммы функционального ряда (см. теорему 3.23) и теоремы Абеля (теорема 3.26) следует справедливость утверждения: “Сумма ряда (3.64) аналитична в кольце r < |z − z0| < R его сходимости”.

Далее будем решать задачу, в некотором смысле обратную этому утверждению. Если функция аналитична в кольце, то возникает вопрос о возможности представимости её в виде суммы ряда Лорана.

Теорема 3.36. Всякая функция, аналитическая в кольце

		r < |z − z0| < R,				(3.67)
может быть представлена в этом кольце в						виде суммы f (z) =
∞		1			f (t)dt	; Cρ любая окруж-
= n=		an(z − z0)n, где an = 2πi I			(t − z0)n+1
X
	−∞			Cρ

ность с центром в точке z0, лежащая в кольце (3.67). Доказательство. Пусть z любая точка, лежащая в кольце

(3.67). Точку z зафиксируем. Проведём окружности C′ и C′′ с центром в точке z0 в кольце (3.67) так, чтобы точка z оказалась между ними. Символом γ обозначим окружность с центром в точке z, целиком лежащую в кольце C′ − C′′. К функции

ϕ(t) = tf−(t)z , аналитичной в трёхсвяз-

ной области, ограниченной контурами C′, C′′, γ, применим интеграль-

ную теорему Коши для многосвязной области:

1		(t )dt	1		1		f (t )dt	2		1				f (t )dt	3
	CI′	f 1		=		CI′′	2		+				Iγ	3		.	(3.68)
2πi		t1 − z			2πi		t2 − z			2πi				t3 − z

Функция f (z) аналитична внутри контура γ, поэтому по интеграль-

1

(t )dt

ной формуле Коши

Iγ

f 3 3

= f (z). Из (3.68)

получаем

2πi

t3 − z

1

f (t )dt

1

1

(t )dt

2

f (z) =

CI′

1

−

CI′′

f 2

.

(3.69)

2πi

t1 − z

2πi

t2 − z

Дробь

1

=

1

разложим по степеням (z − z0).

t1 − z

(t1 − z0) − (z − z0)

86

На C′ справедливо соотношение

z − c0

= q1 < r1 < 1, поэтому

1

1

1

t1 − z0

(z

z0)

−

−

1

−

∞

−

n

X

=

·

=

−

.

(3.70)

z z0

n+1

t1 z

t1 z0

n=0 (t1

z0)

− t1 − z0

t2

z0

тельно

−

На C′′ справедливо соотношение

−

= q2 < r2

< 1, следова-

z

z0

1

1

1

1

=

=

· 1

−

=

t2 − z

(t2 − z0) − (z − z0)

z − z0

t2 − z0

− z − z0

∞

(t2 − z0)n−1

=

.

(3.71)

X

(z

−

z0)n

−

n=1

Ряды (3.70) и

(3.71)

равномерно сходятся

на

соответствующих

n

∞

∞

X

= r1n и

X

окружностях, так как они можорируются рядами

=

n=1

n=1

r2 . Поэтому возможно их почленное интегрирование.

Внесём (3.70) и (3.71) в (3.69) и выполним почленное интегриро-

1

∞ (z

z0)n

# dt1+

вание. Получим f (z) =

I′

f (t1)

"n=0

−

2πi

(t1

z0)n+1

+ 2πi

f (t2)

"

C

# dt2

X

−

(t1

z0)n+1

×

∞

(z− z0)n

= 2πi

∞

1

I′′

(t2

z0)n−1

1

I′

f (t1)dt1

n=1

−

n=0

−

C

X

X

C

∞

×(z − z0)n + 1 X

2πi n=1

Обозначим

1 I f (t1)dt1

2πi (t1 − z0)n+1

C′

I′′	f (t2)(t2 − z0)n−1dt2						1	.
						(z	z0)n
C							−
= an,		1	CI′′	f (t2)(t2 − z0)n−1dt2 = a−n. (3.72)
		2πi

По теореме Коши для многосвязной области вместо окружностей C′ и C′′ в (3.72) можно взять любую окружность с центром в точке z0, лежащую между C′ и C′′. Формулы (3.72) можно объединить в

одну и записать an =		1	I	f (t)dt	, n = 0, ±1, ±2, . . .. Теперь
		2πi		(t − z0)n+1
	∞
	X
f (z) =	an(z − z0)n. Теорема доказана.

n=−∞

87

Теорема 3.37 (единственности). Если ряд

					∞
					X
					an(z − z0)n,	(3.73)
				n=−∞
	сходится к функции f (z) в кольце
		1	I	f (t)dt	r < |z − z0| < R,	(3.74)
	то an =				, где - любая окружность с центром z0,
		2πi		(t − z0)n+1

лежащая в этом кольце.

Доказательство. Ряд (3.73) сходится равномерно в любой за-

мкнутой области, принадлежащей кольцу (3.74), следовательно, функция f (z) аналитическая. Пусть окружность |z − z0| = ρ,

r < ρ < R. Тогда ряд

f (t)

∞

an(t − z0)n−m−1 сходится

= n=

(t − z0)m+1

−∞

X

равномерно на , а потому его можно интегрировать почленно:

1

I

f (t)dt

1

∞

an I (t − z0)n−m−1dt.

(3.75)

=

n=

2πi

(t − z0)m+1

2πi

−∞

X

Ранее нами показано (см. примеры 2.2 и 2.3), что

I

(t − z0)n−m−1dt =

0,

если

n

m

1 =

1,

2πi,

если n −− m −−

1 =6

−−1.

|t−z0|=ρ

Учитывая

это замечание,

из

(3.75)

получаем

am

=

1

I

f (t)dt

.

Отсюда и из

теоремы

(3.36) следует,

что

2πi

(t − z0)m+1

f (z) разлагается в ряд Лорана единственным образом. Теорема

доказана.

3.6.2. Разложение функций в ряд Лорана в окрестности ∞

Мы будем говорить, что функция f (z) аналитична в окрестности ∞, если она аналитична в области |z| > R.

Если функция f (z) разложена в ряд Лорана по степеням z

−1	∞
X	X
f (z) =	anzn + anzn,	(3.76)
n=−∞	n=0

сходящийся к ней в кольце R < |z| < ∞, то мы будем говорить, что функция разложена в ряд Лорана в окрестности ∞.

88

−1	∞	a
X	X	−n
Ряд	anzn =		называют правильной частью ряда
n=−∞	n=1	zn

(3.76). При z → ∞ члены его стремятся к нулю.

∞

X

Ряд anzn называется главной частью ряда Лорана в окрест-

n=0

ности ∞

1

Пример 3.34. Дана функция f (z) =

. Разложить

(2 − z)(z + 3)

функцию f (z) в ряд Лорана в областях: а) D1 : |z| < 2;

б) D2 : 2 < |z| < 3; в) D3 : |z| > 3.

Решение. а) Находим

1

=

1

+

1

. В об-

(2 − z)(z + 3)

5(2 − z)

5(z + 3)

ласти D1:

1

1

∞

zn

X

(а)

2

−

z =

2(1

−

z/2) =

2n+1 .

При |z| < 3 получаем

n=0

∞

n

n

1

=

1

=

z

(−1)

.

(б)

−

−

X

3n+1

3 + z

3[1

(

z/3)]

n=0

Таким образом, в D1 имеет место

1

1

∞

1

1

=

n=0

+ (−1)n

zn.

(2

−

z)(3 + z)

5

2n+1

3n+1

X

В D1 функция f (z) представлена в виде суммы ряда Тейлора.

б) В области D2 разложение (а) не имеет места, разложение (б)

сохраняется. В D2 можем записать

∞

1

1

2n−1

X

(в)

2

−

−

zn .

z = z(1 −

2/z) = −

В D2 имеем разложение

n=1

∞

1 ∞ 2n−1

1

1

n zn

X

X

(2

−

z)(3 + z)

= 5

(−1)

zn .

n=0

3n+1 − 5

n=1

в) В области D3

не сохраняется разложение (б), так как в ней

1

1

∞

n 3n−1

X

|z| > 3. В этой области z + 3 =

z[1

−

(

−

(−1) zn . Раз-

3/z)] =

n=1

ложение (в) сохраняется. В D3

(−1)n+13n−1 − 2n−1 .

1

= 1

∞

X

(2

−

z)(3 + z)

5

zn

n=1

В последнем случае имеем разложение функции f (z) в ряд Лорана в окрестности ∞.

89

4. Особые точки. Вычеты и их приложения

4.1. Изолированные особые точки

4.1.1. Классификация изолированных особых точек. Устранимые особые точки

Точка z0 называется особой для функции f (z), если функция в

этой точке не является аналитической.

Точка z0 называется изолированной особой, если существует некоторая окрестность точки z0, в которой нет других особых точек, кро-

ме z0.

В основу классификации изолированных особых точек положим поведение предела функции при z → z0.

Изолированная особая точка z0 называется:

1) устранимой особой, если конечен lim f (z);

z→z0

2) полюсом, если lim f (z) = ∞;

z→z0

3) существенно особой точкой, если lim f (z) не существует.

z→z0

Точки, в которых функция аналитична, будем называть правиль-

	ными.
	Пример 4.1. Пусть f (z) =	1 − cos z	. Функция аналитична вез-
		z2

де, кроме точки z0 = 0. Эта точка является изолированной особой.

Найдём lim

1 − cos z

= lim

sin z

=

1

. Следовательно, точка z0 = 0

2z

z→0

z2

z→0

2

является устранимой особой.

Пример

4.2.

Точка

z0 = 1

является

для

функции

f (z) =

1

изолированной

особой.

Выбрав

две

последова-

= sin

z − 1

тельности:

z

= 1 +

1

и

z′ = 1 +

1

,

видим,

что

n

nπ

n

π/2 + 2nπ

lim zn =

lim zn′

= 1,

но

lim f (zn) = 0,

а

lim f (zn′ ) = 1,

т.е.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

lim f (z)

не

существует,

следовательно,

точка

z0 = 1 для

функ-

z→1

1

ции f (z) = sin

является

существенно особой. Если точ-

z − 1

ка z0 изолированная особая

для f (z),

то ряд Лорана

f (z) =

∞

X

=an(z − z0)n сходится к f (z) в кольце вида 0 < |z − z0| < R,

n=−∞

т.е. во всём круге |z − z0| < R, кроме точки z0.

90