1490-spectry_i_analiz

y(t + 2π /ω)= y(t ),

(1.3)

на интервале −∞ <t < ∞. Справедливость равенства (1.3) подтверждается тем, что

cos ω(t + 2π /ω)−ϕ = cos (ωt −ϕ)+ 2π = cos(ωt +ϕ).

Из изложенного следует, что величина T = 2π /ω представляет собой период гармоники (1.2). Величины A и ϕ называются амплитудой и на-

чальной фазой гармоники. Величина ω = 2π f есть угловая частота гармо-

ники, а величина f =1/T – частота.

Введем величину ωt +ϕ =ψ (t ), называемую обобщенней (полной) фа-

зой гармонического колебания. Нетрудно видеть, что, при постоянном значении частоты f , величина ψ (t ) будет нарастать при изменении вре-

мени линейно на величину 2π за каждый период.
Дифференцируя полную фазу по времени, видим, что
1			d	(2π ft −ϕ) = f .	(1.4)
	2π
		dt

Таким образом, частота гармонического колебания определяется производной его полной фазы по времени [1,2].

Соответственно, обобщенная фаза гармонического колебания может быть найдена как интеграл от закона изменения частоты от времени:

ψ (t )= 2π∫t	f (τ )dτ .	(1.5)
0
В частности, для постоянного значения частоты		f , ψ (t )= 2π f .

Чрезвычайно важным свойством периодической функции является независимость величины среднего значения периодической функции от протяженности интервала интегрирования. Для демонстрации этого факта найдем среднее значение некоторой периодической функции ξ (t ) на ин-

тервале времени

12

	a = NT +δ ,
где N может стремиться к	бесконечности, а величина T		есть период
функции:
	ξ (t ) = 1	∫a ξ (t )dt .	(1.6а)
	a	0
Учитывая, что величина δ	NT , перепишем выражение (1.6а) в виде
ξ (t ) = 1		NT∫ξ (t )dt .	(1.6б)
	NT 0

Тогда, поскольку интеграл от периодической функции равен

NT∫ξ (t )dt = N T∫ξ (t )dt ,

0

0

то предел выражения (1.6б) для N →∞ найдем как

ξ (t )	= lim N T ξ (t )dt .	(1.7)
	N →∞ NT ∫0

Раскрывая неопределенность N / N при N →∞ по правилу Лопиталя, получим

ξ (t ) = T∫ξ (t )dt .	(1.8)
0

Таким образом, среднее значение периодической функции на бесконечно протяженном интервале равно среднему значению этой функции за её период [1].

1.2.Ряды Фурье

Внастоящем подразделе рассматриваются основные формы ряда Фурье

ивводится понятие спектра периодической функции.

13

1.2.1.Суперпозиция гармоник с кратными частотами. Амплитудно – фазовая форма ряда Фурье

Рассмотрим последовательность гармоник
	2πk		= Ak		2π		; k =1,2,...; −∞ <t < ∞. (1.9)
Ak cos	T	t −ϕk		cos	Tk	t −ϕk
Здесь число Tk =T / k является периодом k –							й гармоники. Таким образом,

период первой гармоники T определяет период всех гармоник последовательности (1.9), поскольку T = kTk . При этом частотой каждой гармоники является величина fk = k /T , k =1,2,... и частоты гармоник последователь-

ности (1.9) являются целочисленными кратными частоты первой (основной) гармоники f =1/T .

Из изложенного следует, что суперпозиция конечного ряда гармоник

типа (1.9)		2πk
N
ξN (t )= a0 + ∑Ak	cos	T	t −ϕk	(1.10а)
k =1

является периодической функцией периода T , поскольку число T = kTk

определяет величину периода всех этих гармоник.

Сумма бесконечного числа таких гармоник (точнее – сумма сходящегося ряда)

∞		2πk
ξ (t )= a0 + ∑Ak	cos	T	t −ϕk	(1.10б)
k =1

также является периодической функцией с периодом T .

Выражения (1.10а) и (1.10б) определяют так называемую амплитудно-

фазовую форму разложения некоторой периодической функции ξ (t ) в ряд Фурье. При этом функция ξ (t ) представляет собой суперпозицию конеч-

ного (или бесконечного) числа гармоник с частотами fk =1/Tk , фазами ϕk

14

и амплитудами Ak плюс некоторая постоянная величина a0 , называемая постоянной составляющей функции ξ (t ).

Однако из записи ряда Фурье в амплитудно-фазовой форме (1.10) не представляется возможным найти величины a0 , Ak и ϕk . Поэтому целесо-

образно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье, позволяющей исследовать целый ряд важных моментов, связанных с разложением периодических функций в тригонометрические ряды.

1.2.2. Разложение периодической функции в тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье

Преобразуем выражения (1.10), введя обозначение a0 / 2 = A0 и учиты-

вая, что

Ak	2πk			= ak	cos	2πk	t +bk	sin	2πk	t ,
	cos	T	t −ϕk			T			T

где ak = Ak cosϕk , bk = Ak sinϕk , получим
N	cos	2πk	t +bk sin	2πk		,	(1.11а)
ξN (t )= a0 + ∑ ak		T		T	t
k =1

∞			∞	2πk t.
ξN (t )= a0 + ∑ak	cos	2πk t + ∑bk sin			(1.11б)
k =1		T	k =1	T

Как правые, так и левые части равенств (1.11) представляют собой периодические функции с периодом T .

Равенства (1.11), если они имеют место, называются разложением функции ξ (t ) в тригонометрический ряд. При разложении периодической функции в такой ряд возникают следующие вопросы:

1.Какую периодическую функцию с периодом T можно представить в виде суммы тригонометрического ряда (1.11)?

15

2.Каким образом могут быть найдены коэффициенты разложения a0 , ak , bk ?

3.Каким образом связаны свойства функции ξ (t ) со сходимо-

стью ряда (1.11)?

Для рассмотрения этих вопросов укажем прежде всего, что разложение

(1.11) есть разложение функции f (x) в ряд по функциям системы

1; cos

2π

t ;

sin

2π

t ;

cos

2πk

t ;

sin

2πk

t ,

(1.12)

T

T

T

T

которая называется основной тригонометрической системой [3]. Основная тригонометрическая система является ортогональной на ин-

тервале (−T / 2; T / 2) в том смысле, что интеграл по данному интервалу от любой функции, а также от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по этому интервалу от квадрата любой функции системы отличен от нуля:

T∫/ 2

cos

2πk

tdt =

T

sin 2πk t

t=T / 2

= 0 ;

(1.13а)

−T / 2

T

2πk

T

t=−T / 2

T∫/ 2

sin

2πk

tdt = −

T

cos

2πk t

t=T / 2

= −

T

(−1)k −(−1)k = 0 ;

(1.13б)

−T / 2

T

2πk

T

t=−T / 2

2πk

T∫/ 2

cos

2πk t cos

2πn tdt = 0

(1.13в)

−T / 2

T

T

при k ≠ n ;

T / 2

cos

2 2πk

tdt =

1

T / 2

2πk

T

;

(1.13г)

∫

T

2

∫

1 +cos 2

T

t dt =

2

−T / 2

−T / 2

T∫/ 2

sin

2πk t sin

2πn tdt = 0

(1.13д)

−T / 2

T

T

при k ≠ n ;

T∫/ 2

sin

2πk t cos

2πn tdt = 0

(1.13е)

−T / 2

T

T

16

при всех k , n ;

T / 2

sin

2 2πk

tdt =

1

T / 2

−cos 2

2πk

T

;

(1.13ж)

∫

T

2

∫

1

T

t dt =

2

−T / 2

−T / 2

T∫/ 2

dt =T .

(1.13з)

−T / 2

Допуская некоторую математическую нестрогость, можно пояснить свойства ортогональных функций, образующих некоторое ортогональное пространство, на примере скалярного произведения.

Так, в 2-мерном пространстве, ортогональность двух векторов опреде-

ляется равенством нулю их скалярного произведения:

ψr ϕr =ψXϕX +ψYϕY = ∑ ψLϕL = 0 .

L=X ,Y

В 3-мерном пространстве это условие примет вид

ψr ϕr =ψXϕX +ψYϕY +ψZϕZ = ∑ ψLϕL = 0 ,

	L=X ,Y ,Z
а в N -мерном
r r	N	(1.14)
ψ ϕ = ∑ψLϕL = 0 .

L=1

При этом, из условия ψr ϕr = ψrϕr cosα (где α - угол между векторами),

всегда можно найти величину проекции одного вектора на другой, а косинус угла между векторами можно определить как

cosα = ψr ϕrr

ψ ϕ

для любой размерности пространства. При дальнейшем увеличении размерности пространства, в котором определены векторы ψr и ϕr, до беско-

нечности, эти векторы можно будет рассматривать как некоторые функции

ψ (t ) и ϕ(t ) в некотором бесконечномерном функциональном пространст-

17

ве Q[a, b]. Тогда скалярное произведение функций ψ (t ) и ϕ(t ), пред-

ставляющих собой элементы пространства Q[a, b], определяется как

ψ (t ) ϕ(t )= ∫bψ (t )ϕ(t )dt	(1.15)
a

и удовлетворяет обычным требованиям, предъявляемым к скалярному произведению.

Две функции ψ (t ) и ϕ(t ) (два «вектора») из пространства Q[a, b] на-

зываются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. если

ψ (t ) ϕ(t )= ∫bψ (t )ϕ(t )dt = 0 .

(1.16)

a

Норма («длина») вектора ϕr Q[a, b]

определяется равенством

ϕr

=

ϕr ϕr ,

а косинус угла между «векторами» ψ (t ) и ϕ(t ) можно найти как

cos(ψ, ϕ)=

ψ ϕ

.

(1.17)

ψ

ϕ

Проекцией «вектора» ϕ(t ) на «вектор» ψ (t ) называют величину

cos(ϕ, ψ )=

ϕ ϕ

∫b ϕ(t )ψ (t )dt

ϕ

=

a

.

(1.18)

ψ

b

(t )dt

∫ψ 2

a

Учитывая изложенное и принимая во внимание соотношения ортогональности (1.13), можно сделать вывод, что основная тригонометрическая система (1.12) есть ортогональное функциональное пространство, ортами которого являются функции этой системы.

Рассмотрим теперь вопрос об определении коэффициентов a0 , ak , bk

разложения (1.11).

18

Хорошо известно, что если разложение (1.11) сходится на интервале

[−T / 2; T / 2] к функции ξ (t ), то его можно интегрировать почленно [3].

Почленное интегрирование возможно и после умножения равенства (1.11) на любую интегрируемую функцию. Данное обстоятельство в сочетании с ортогональностью основной тригонометрической системы (1.12) позволяет определить коэффициенты a0 , ak , bk разложения (1.11).

Найдем прежде всего коэффициент a0 , интегрируя равенство (1.11) по-

членно с учетом выражений (1.13а,б):

T / 2	T / 2	∞		T / 2		2πk tdt +bk
∫ ξ (t )dt = a0	∫	dt + ∑ ak		∫	cos
−T / 2	−T / 2	k =1		−T / 2		T

Отсюда

1 T / 2

a0 = T −T∫/ 2ξ (t )dt .

T / 2		2πk
∫	sin	T	tdt = a0T .
−T / 2

(1.19)

Таким образом, коэффициент a0

(или постоянная составляющая) пред-

ставляет собой среднее значение периодической функции ξ (t ).

Для определения коэффициента ak умножим равенство (1.11)

функ-

цию cos

2πn

t

и

проинтегрируем

результат

почленно

на интервале

T

[−T / 2; T / 2]:

T∫/ 2

ξ (t )cos

2πn tdt = a0

T∫/ 2

cos

2πn tdt +

−T / 2

T

−T / 2

T

∞

T / 2

∞

T / 2

+∑ak

∫

cos 2πk t cos

2πn tdt + ∑bk

∫ sin 2πk t sin 2πn tdt .

(1.20)

k =1

−T / 2

T

T

k =1

−T / 2

T

T

С учетом соотношений (1.13а,в,г,е) результат интегрирования (1.20) равен нулю за исключением случаев n = k :

19

T∫/ 2	ξ (t )cos			2πk tdt = ak			T∫/ 2	cos2 2πk tdt = ak	T	,
−T / 2				T			−T / 2	T	2
откуда
	ak	=		2	T∫/ 2	ξ (t )cos 2πk tdt .				(1.21)
			T −T / 2				T

Аналогично, для определения коэффициента bk , умножим равенство

(1.11) на функцию sin	2πk	t		и проинтегрируем почленно с учетом соотно-
	T
шений (1.13). В результате получим
	T∫/ 2		ξ (t )sin 2πk tdt =bk T ,
	−T / 2					T	2
откуда
	bk		=	2	T∫/ 2	ξ (t )sin	2πk tdt .	(1.22)
				T −T / 2			T

Величины a0 , ak , bk , определяемые выражениями (1.19), (1.21), (1.22)

называются коэффициентами Фурье разложения функции ξ (t )						по основ-
ной тригонометрической системе, а ряд
∞	2πk	t +bk	sin	2πk		(1.24)
ξ (t )= a0 + ∑ ak cos	T			T	t
k =1

называется тригонометрическим рядом Фурье функции ξ (t ).

Припоминая, что элементы основной тригонометрической системы (1.12) представляют собой орты некоторого функционального пространства, можно интерпретировать коэффициенты Фурье a0 , ak , bk как проек-

ции функции ξ (t ), определяемые скалярными произведениями функции

ξ (t ) и ортов функционального пространства (см. выражения (1.19), (1.20), (1.22)). В заключение укажем, что функция ξ (t ) вещественной перемен-

20

ной t , определенная на интервале [−T / 2; T / 2], должна удовлетворять так называемым условиям Дирихле, а именно [3, 4, 5]:

-должна быть однозначной, конечной и кусочно-непрерывной,

-должна иметь ограниченное число максимумов и минимумов.

1.3.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Функция ξ (t ), заданная на интервале [−T / 2, T / 2 ]		называется четной,
если
	ξ (−t )=ξ (t )	(1.23а)
при всех t [−T / 2, T / 2	].
Функция ξ (t ), заданная на интервале [−T / 2, T / 2		] называется нечет-
ной, если
	ξ (−t )= −ξ (t )	(1.23б)
при всех t [−T / 2, T / 2	].

Из выражений (1.23а, б) следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции антисимметричен относительно этой оси.

В общем случае функция не обязательно является четной или нечетной,

т. е. может быть произвольной. Произвольная функция ξ (t ), заданная на интервале [−T / 2; T / 2], может быть представлена в виде суммы четной и

нечетной функций [6]

ξ (t )=ξ1 (t )+ξ2 (t ),

где слагаемое

ξ

(t )

= 0,5 ξ

(t )+ξ (−t ) является четной функцией, а сла-

2 (

)

1

(

)

гаемое ξ

t

t

−ξ

(

−t

)

= 0,5 ξ

представляет собой нечетную функцию.

21