eltsov

5. Дифференциальные уравнения

n
Cjykj (x0) yk0	(yчн)k (x0),	k 1,2,...,n ,
j 1

определитель которой W(x0) 0 , и поэтому существует един-

ственное решение этой системы. Теорема доказана.

5.3.3.Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

y

a1y

a1y

... a1y ,

1

1 1

2 2

n

n

y

a2y

a2y

... a2y ,

2

1 1

2 2

n

n

........................................

(5.46)

y

any

any

... any

n

1 1

2 2

n

n

или в матричной форме

y Ay .

(5.46а)

Будем искать ненулевое решение системы (5.46) в виде

y ert

( ,

2

,..., )T ert ( ert,

2

ert,...,

n

ert )T.

(5.47)

1

n

1

Подставив это решение в (5.46), получаем равенство

r ert A ert ,	откуда, сокращая на ert , можем записать
r A или	A r A E r (A rE) 0 . Последнее

соотношение (A rE) 0 есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Таким образом, y ert — решение системы (5.46) тогда, когда r — собственное число, а — ему соответствующий собственный вектор матрицы A. Подробнее об определении и нахождении собственных векторов и собственных чисел смотри в книгах по

191

y Pk 1(t)erjt,

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

линейной алгебре, в частности в [1] и [2]. Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.

В первом случае имеем n решений

y1 1er1t, y2 2er2t, ..., yn nernt.

Этасистема функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,

	1er1t	1er2t	K 1 ernt				1	1	K 1
	1	2		n			1	2		n
W(x)	2er1t	2er2t	K	2ernt	(r ... r )t		2	2	K	2	.
	1	2	K	n	e 1	n	1	2	K	n
	K	K		K			K	K		K
	ner1t	ner2t	K nernt				n	n	K n
	1	2		n			1	2		n
Так как система векторов 1, 2,..., n							есть система соб-

ственных векторов матрицы A, отвечающая разным собственным числам, то она линейно независима [2]. Поэтому мы получили n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа rj кратности k имеется k линейно независи-

мых собственных векторов j1 , j2 ,..., jk . Этот вариант ничем

не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа rj кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в [9, 10]. Второй называется методом Эйлера и заключаетсяв том, чтодля собственногочисла rj соответствующие решения находятся в виде где Pk 1 (t) — век- тор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k 1 с неопределёнными коэффициентами, подлежащимиопределению. Подставляяэторешениев (5.46), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции

Pk 1(t) .

192

5.Дифференциальные уравнения

Пр и м е р 1. Для линейной системы дифференциальных уравне-

	x 2x y 2z,		2		1 2
		2y 2z, матрица			2
ний	y x			1		2		имеет собственные чис-
		3y 5z		3	3	5
	z 3x

ла r1 3 с соответствующим собственным вектором

1

( 1,1,3)T

и

r2,3 1 кратности 2 с

собственными

векторами

2

(1,1,0)T

и

3 (2,0, 1)T . Поэтому фундаментальная система решений состоит

из функций e3t

,

e t,

e t , а общее решение имеет вид

1

2

3

x

e3t

e t

2e t

e

3t

t

y C1

C2

e

C3

0 .

z

3t

t

3e

0

e

П р и м е р 2.

Для системы дифференциальных уравнений

x x y 2z,

1

1 2

4

1

0

y 4x y,

матрица

имеет собственные числа

2 1

z 2x y z

1

r 1 с соответствующим собственным вектором

1

(0,2,1)T

и

1

r2,3 1 кратности 2, которому соответствует только один собственный вектор 2 ( 1,2,1)T . Поэтому линейно независимые решения, соответствующие собственному числу r2,3 1 , ищем в виде

x a bt

				t
y		q nt e
z		s pt

(a bt)e t

(q nt)e t .

(s pt)e t

Подставляя эти соотношения в исходную систему и приводя подобные, получаем систему алгебраических уравнений

n 2p 0,

4b 2n 0,

2b n 0,

b q 2s 0,4a n 2q 0,2a q p 0

193

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

для нахождения чисел a, b, q, n, s, p. Решая эту систему, имеем

b p, q p 2a, n 2p, s p a. Придавая свободным неизвест-

ным значения a C2, p C3, получаем общее решение исходной системы дифференциальных уравнений

x

0

e t

te t

t

C2

t

(1 2t)e

t

y

C1 2e

2e

C3

.

z

t

t

t

e

e

(1 t)e

П р и м е р 3. Для линейной системы дифференциальных уравне-

ний	x 3x 2y,		матрица	3 2		имеет собственные	числа
	y 4x y			4	1
r1,2 1 2i . Собственный вектор,					отвечающий собственному числу
1 2i , равен 1		(1,1 i)T .		Для собственного числа 1 2i			можно

найти собственный вектор, а можно воспользоваться тем, что действительная и мнимая части решения 1e(1 2i)t являются линейно независимыми решениями системы. Поэтому общее решение системы можно записать в виде

x

C

et cos2t

C

et sin2t

t

t

.

1

2

y

e

(cos2t sin2t)

e

(sin2t cos2t

5.3.4. Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений (5.43) y A(x)y b(x) или, что то же самое, y A(x) y b(x) . (5.48)

Пусть имеется фундаментальная система решений y1,y2,...,yn системы (5.44) y A(x)y . Тогда общее решение

n

системы (5.44) записывается в форме Cjyj . Будем искать

j 1

частное решение неоднородной системы уравнений (5.48) в виде

n
y Cj (x)yj,	(5.49)

j 1

194

5. Дифференциальные уравнения

где Cj (x) — функции, подлежащие определению. Дифференцируя вектор-функцию (5.49), получаем

n	n
y Cj (x) yj Cj (x)(yj) .		(5.50)
j 1	j 1

Подставляя вектор-функцию (5.49) и её производную (5.50) в систему уравнений (5.43), получаем

n			n			n
	C	(x)yj
				C (x)(yj ) A(x)			C (x)yj
	j			j	j 1		j
j 1			j 1
	n			n
Cj (x)yj Cj (x) (yj ) A(x)yj b(x).										(5.51)
	j 1			j 1
					n		(yj ) A(x)yj рав-
В этом соотношении слагаемое Cj (x)

j 1

но нулю в силу того, что y1,y2,...,yn — решения однородной системы уравнений (5.44) y A(x)y .

Поэтому правая часть в (5.51) переписывается в виде

n
Cj (x) yj	b(x)	(5.52)
j 1
или в координатной форме
n
Cj (x) ykj bk (x),	k 1,2,...,n.	(5.52а)

j 1

Так как определительсистемы (5.52) есть определительВронского для фундаментальной системы решений y1,y2,...,yn однородной системы уравнений (5.44) y A(x) y , то он отличен от нуля, и поэтому система (5.52) имеет единственное решение Cj (x), j 1,2,...,n, которое можнонайти по формулам Крамера

C (x)	Wj (x)		,	j 1,2,...,n ,
j	W	(x)

где Wj (x) — определитель, полученный из определителя W(x) заменой столбца с номером j на столбец b(x). Интегрируя последние равенства, окончательно получаем

195

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

x W (x)			%
Cj (x)	j
		dx Cj,		j 1,2,...,n.
	W(x)
x0
Подставляя полученные значения Cj (x)					в (5.49), получаем
	n			n
		j	(x)	% j	(x) системы урав-
общее решение y(x) Cj (x)y				Cj y
	j 1			j 1

нений (5.43).

П р и м е р. Для системы дифференциальных уравнений

x x 2y,
		соответствующая однородная система уравне-
y 3x 4y	e3t 2
ний имеет вид	x x 2y ,				1 2
	y	3x		4y. Собственные числа её матрицы 3		4
равны r1 1,	r2 2 . Собственные векторы, отвечающие этим собствен-
ным числам, равны соответственно (1,1)T					и (2,3)T . Тогда фундамен-

тальная система решений состоит из функций (et,et)T

и (2e2t,3e2t)T .

Решение исходной системы ищем в виде

x

C

et

C (t)

2e2t

(t)

t

.

1

2

3e

2t

y

e

Подставляя в исходное уравнение, получаем систему

et

2e2t

0

C1(t)

C2(t)

3t

t

3e

2t

2

e

e

или в координатной форме

C

(t)et

2C

(t)e2t

0,

1

2

C

(t)et

3C

(t)e2t

e3t 2.

1

2

Решая эту систему,

находим

C

2e2t

4e t ,

C

et

2e 2t .

2t

1

t

%

2

t

2t

%

Проинтегрировав, имеем

C1(t) e

4e

,

C2 e

e

C1

C2 .

Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид

x

%

et

%

2e2t

e3t

2

C

t

C

2t

3t

.

1

2

3e

2e

y

e

1

196

6. Контрольные вопросы

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Предлагаемыенижеконтрольныеработы могут быть использованы для студентов заочной формы обучения. Их нумерация продолжает нумерацию контрольных работ пособий [2, 3].

Контрольная работа № 5

Вариант 5.1

Найти неопределённые интегралы:

x2 5

dx ;

3 tgx

dx ;

3. tgx dx ;

1.

x3 3

2.

2

cos

x

4.

ex

dx ;

5.

x cos2x dx ;

6.

x7

dx ;

4

2

1

2x

(1

)

e

x

7.

dx

;

8.

dx

;

3

2

2

x

sin

x

x cos x

5x3 14x2 16x 24

9.

dx .

(x

2

2

4)(x 2)

Вычислить определённые интегралы:

1

10.arctgx dx ; 11. cos2xsin3xdx .

0

0

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

	dx			2		xdx
12.		;	13.							.
	x ln x
				1
						x	2		1
e

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

x cos x			1		xdx
			15.
14.		dx ;					.
						sin2 x
	2 x3				x
1			0

16. Найти площадь области, ограниченной кривыми

y 2x2 1,

y x 2.

197

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

17.Найти длину дуги кривой

x2cost, y 2sin t, z t , 0 t .

Вариант 5.2

Найти неопределённые интегралы:

x3

1

sin x

1.

dx ;

2.

dx ;

3.

dx ;

x4

cos2x (1 tgx)

8

3 cos x

e

3x

arcsin x

x

9

dx ;

4.

dx ;

5.

dx ;

6.

3x

1 x

5

1 e

x 1

dx

; 8.

cos x dx

4x2 5x 46

7.

; 9.

dx .

4

1 cos x

2

2

x 1

x 1

(x

16)(x

3)

Вычислить определённые интегралы:

2

10.

x cos2x dx ;

11. cos x sin5xdx .

0

0

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

	dx		2		dx
12.		;	13.				.
	x ln3 x			3
					x 1
2			1

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

	sin x					4				x2 1
14.					dx ;	15.								dx .
							3
		x	3	1				16 x			2
1						1

16. Найти площадь области, ограниченной кривыми

y x2 1, y x 1.

17. Найти длину дуги кривой

y x3 , 0 x 4.

198

6. Контрольные вопросы

Вариант 5.3

Найти неопределённые интегралы:

1. xx2 5 dx ; 2.

e2x

4. (1 e2x)3 dx ; 5.

	cos x							ctgxdx ;
						dx ;	3.
5
		sin x
ln(x			2	1) dx ;					x11
							6.			dx ;
									1 x6

7.

x 1

dx ;8.

dx

; 9.

x3 7x2 9x 1

dx .

3

sin2 x cos4 x

(x2 1)(x 1)2

x 1

Вычислить определённые интегралы:

2

10.

xsin3xdx ;

11. cos3x sin7x dx .

0

0

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

	x3dx		1		dx
			13.
12.		;					.
				3
	2 x4				(1 x)2
0			0

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

3x 1

14. 1 (2 x)2 x 1 dx ;

1

15. ln(1 x) dx .

0 x3 sin x

16. Найти площадь области, ограниченной линиями

y(x 1)2, y 2(x 1).

17.Найти длину дуги кривой

x 2t sin2t, y 1 cos2t, 0 t .

						2
Вариант 5.4
Найти неопределённые интегралы:
2	2.	sin x				3.	cos x
1. xex 1dx ;					dx ;			dx ;
		3					2 sin x
			cos x

199

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

4.

(2 ex)8 exdx ;

5.

xsin3xdx ;

6. x9 3 1 x5 dx ;

7.

dx

; 8.

dx

; 9.

2x2 4x 35

dx .

x

x 8

cos x sin

3

2

2x 2)(x

2

x

(x

3)

Вычислить определённые интегралы:

e 1

10.

ln(x2 1) dx ;

11.

cos2x cos3x dx .

0

0

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

			dx		e	dx
	12.			;	13.		.
		x2	2x 2
						x ln x
	0				1

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

						x		2	6x 9														1	cos x
14.																	dx ;			15.						dx .
									5			4												x sin x
		1							x														0
16. Найти площадь области, ограниченной линиями
																	y ex,			y e x,					x 1.
17. Найти длину дуги кривой y ln x,																															x
																												3				8.
Вариант 5.5
Найти неопределённые интегралы:
					1							1								2
1.								sin						dx ;				2.		ln x		dx ;				3.				cos x				dx ;
					2															x										sin x		1
				x								x
4.							e2x						dx ;					5.	x tg		2		3xdx ;			6.					x15			dx ;
				1 e4x																									(1 x8)3
																									dx
							x 2				1									8.
7.															dx ;												;
																							sin x cos x
										1
							x 2

200