eltsov

6. Контрольные вопросы

9.			x3	10x2 16x 20				dx .
			(x	2	4x	8)(x 2)	2
Вычислить определённые интегралы:
		e
10.		x ln xdx ;						11. sin 4x sin3x dx .
		1						0

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

		x 1		0	1 x
12.				13.	e	dx .
			dx ;
	x2	2x 2			x2
0				1

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

	x arctgx				1		esin x
14.				dx ;	15.				dx .
	2 x							sin x
		x 1					x
1					0

16. Найти площадь области, ограниченной линиями

y 2x x2, x y 0.

17.Найти длину дуги кривой

e , 0 ln2.

Вариант 5.6

Найти неопределённые интегралы:

x5

e

tgx

dx

sin2x

dx ;

1.

dx ;

2.

;

3.

x

6

2

1

2

7

cos x

cos

x

xln xdx ;

x7

4.

1 e3x e3xdx ;

5.

6.

dx ;

1 x

4

7.

5 (x 1)3

dx ;

8.

dx

;

5

cos3 xsin3 x

(x 1)3

(x 1)7

201

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

9.		3x3 8x2 18x 34			dx .
	2		2x 2)(x 4)	2
		(x
Вычислить определённые интегралы:
	e				0
10.	ln x dx ;				11. cos2x sin7x dx .
	1

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

	x2		e	dx
12.		dx ;	13.		.
				x ln2 x
	5 x6
0			0

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

	2 sin x				2
							sin x
14.				dx ;	15.				dx .
	(6x 1)					x(x 2)
		x 1
1					0

16. Найти площадь области, ограниченной линиями

y ex, y e, x 0.

17.Найти длину дуги кривой

x5cos3 t, y 5sin3 t, 0 t .

Вариант 5.7

Найти неопределённые интегралы:
1.	cos				1					1		dx ;				2.					ln x	dx ;		3.	sin x				dx ;
					2					3															cos x		3
					x					x											x
	(3 e2x )5 e2xdx ;																	ln xdx ;						6. x3
4.																5.										1 x2 dx ;
			4					1
7.							x								dx ;	8.					dx			;
											4									2
													3
				x				4)
	(												x							1 sin			x
			x3 5x2 7x 4
9.																	dx .
			2													2
			(x 2x 2)(x 1)

202

6. Контрольные вопросы

Вычислить определённые интегралы:

1	0
10. x arctgx dx ;	11. cos2x cos8xdx .
0

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

dx

e

ln x dx

12.

;

13.

.

x2

x 8

x

0

0

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

x 1

1 ln(1 3x2)

14.

dx ;

15.

dx .

2x x

x3

x

1

0

16. Найти площадь области, ограниченной линиями

x2 8y 16 0,

x2 24y 48 0.

17. Найти длину дуги кривой

y ln cos x 5,

0 x

.

4

Вариант 5.8

Найти неопределённые интегралы:

x3

e

3

sin x

cos x dx ; 3.

sin x 2 cosxdx ;

1.

dx ;

2.

1 x8

x arctg2xdx ; 6.

x5

3 1 ex exdx ;

4.

5.

dx ;

1 x3

7.

x 3

dx ;

8.

dx

;

1 3

sin3 x

x 3

9.

2x2 15x 17

dx .

2

2x 2)(x

2

(x

3)

203

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Вычислить определённые интегралы:

1 arcsin x					0
10.				dx ;	11. cos4x sin5xdx .
		x 1
0

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

		x 2		1		dx
12.				13.
			dx ;					.
	x2	4x 8				1 x2
0				0

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

			dx						3	x 3
14.								;	15.		dx .
	x	4		ln	5					x sin2x
1						x			0

16. Найти площадь области, ограниченной линиями

y x2, y 1 x3. 3

17. Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе координат уравнением

1 cos ,					.
	2		4

Вариант 5.9

Найти неопределённые интегралы:

		1 x					1														ln x								1 tgx
1.	e										dx ;						2.						dx ;			3.							dx ;
							x		2													x						2
																													cos x
4.			e3x								dx ;						5.		arcsin xdx ;							6.				x5		dx ;
		1 e6x																											3
																														1 x3
			6						1													dx
7.						x									dx ;		8.								;
		6								6										1		2
			x	7								x	5
																						cos		x
9.					4x2 7x 23													dx .
			2				4x 8)(x									1)	2
		(x

204

6. Контрольные вопросы

Вычислить определённые интегралы:

2	3
10. x ctg2xdx ;	11. sin 6xsin7xdx .
4	6

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

	x dx		1		xdx
12.		;	13.				.
	x2 4				1 x2
0			0

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

	5x 3				cos x
14.			dx ;	15.				dx .
	2
					3
3	(x 1)	x 4		0		x

16. Найти площадь области, ограниченной линиями

y	1	, y	1	x2.
1 x2		2

17. Найти длину дуги кривой, заданной в полярной системе координат уравнением

2 2cos ,

0

.

3

Вариант 5.10

Найти неопределённые интегралы:

x2

2. e

cos x

sin xdx ;

1.

dx ;

1 x3

x

5

e

3.

cos x 1sin xdx ;

4.

dx ;

1

2x

e

arctg xdx ;

x11

5.

6.

5 1 x6 dx ;

dx

7.

x 2

dx ;

8.

;

3

1

cos3 x

x 2

205

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

9.		2x2 12x 28	dx .
		(x2 4x 8)(x 2)2
Вычислить определённые интегралы:
	20		3
10.		x tg25xdx ;	11. sin xsin7x dx .
	0		6

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

			1	1 x
12.	ln x dx	;	13.	e	dx .
	x			x2
e			0

Выяснить сходимость несобственных интегралов:

	3x 2			1	ex 1
14.			dx ;	15.				dx .
	3	8			x	3
2	x			0

16. Найти площадь области, ограниченной линиями

y0, y x x2 x.

17.Найти длину дуги кривой, заданной уравнением

	y lnsin x,		x		.
		6		2

Контрольная работа № 6

Вариант 6.1

1. Вычислить (x y)dx dy , если D — внутренность треу-

D

гольника с вершинами вточках A(0,1), B(1,0), C(2,2). 2. Изменить порядок интегрирования

1	0	0	0
dx		f(x,y)dy dx f(x,y)dy .
2	2 x	1		x

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами

x2 (y r)2 r2,

x 0,

2x r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

206

6.Контрольные вопросы

4.Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

x 0, z 0, y 3x, z y, y 2.

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферичес-

ких координатах) yx dx dy dz , где V — область, заданная не-

V
равенствами x2 y2 z2 4,	x2 y2	z2	9,	z 0.
6. Найти работу силы f(x,y) (x2		y)i (x y)j			по переме-
щению точки вдоль участка кривой			x 2cost,		y 2sint,
0 t 2.

7. Проверить, что поле

F (6x 7yz)i (6y 7xz)j (6z 7xy)k

потенциально, и восстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f xi 2yj zk через часть поверхности x y 3z 2 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f x2i 2yj zk через замкну-

тую поверхность z x2 y2,

z 1.

Вариант 6.2

1. Вычислить (2x y)dxdy , если D — внутренность треу-

D

гольника с вершинами вточках A(0,2), B(1,0), C(2,4). 2. Изменить порядок интегрирования

1 x 2 (x 2)2

dx f(x,y) dy dx f(x,y) dy .

0 0 1 0

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами (x r)2 y2 r2, y 0, 2x 2r y, перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями x 3, z 0, y 2x, z y2.

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферичес-

ких координатах) xy dx dy dz , где V — область, заданная не-

V

равенствами x2 y2 z2 a2, x 0, y 0, z 0.

207

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

6.Найти работу силы f(x,y) (x2 y)i (2x y)j по перемещению точки вдоль участка кривой y x2 от точки A(0,0) до точки B(2,4).

7.Проверить, что поле f 2xeyi x2ey j потенциально, и восстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f 3xi 2yj zk через часть поверхности 3x 2y 3z 8 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f xi 2y2j zk через замкнутую поверхность x2 y2 1, z 0, z 1.

Вариант 6.3

1. Вычислить (3x 5y) dx dy , если D — внутренность тре-

D

угольника с вершинами вточках A(1,1), B(2,2) C(3,0). 2. Изменить порядок интегрирования

1 x2 2 2 x

dx f(x,y)dy dx f(x,y)dy .

0 0 1 0

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами

(x r)2 y2 r2, y 0, 2x 2r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

x 2, z 0, y 3x, z y.

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферичес-

ких координатах)			y			dxdy dz , где V — область, задан-
			2	2
V		x	z
ная неравенствами x2 y2				z2 4R2, x2 z2			2Rx, y 0.
6. Найти работу силы f(x,y) (x y)i x2j							по перемещению
точки вдоль участка кривой x 2t, y t3, 0							t 2.

7.Проверить, что поле f (3x2 2y)i (2x 3)j потенциально, и восстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f xi 2yj 4zk через часть поверхности 5x y 2z 3 , лежащую в первом октанте.

208

6.Контрольные вопросы

9.Вычислить поток вектора f xi 2yj z2k через замкнутую поверхность x2 y2 z2 4, z 0, z 0.

Вариант 6.4

1. Вычислить (2x y)dxdy , если D — внутренность треу-

D

гольника с вершинами вточках A(1,1), B(2,2), C(0,3). 2. Изменить порядок интегрирования

1 x 2 0 x2

dx f(x,y)dy dx f(x,y)dy .

2 0 1 0

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами

(x r)2 y2 r2, y 0, 2x 2r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

x 0, z 0, x y 2, z y2.

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферичес-

ких координатах) 10zdxdy dz , где V — область, заданная

V		4, x2	y2 3z2,	x 0,		y 0,
неравенствами x2 y2	z2
z 0.
6. Найти работу силы f(x,y) (x2			y2)i (x y)j по переме-
щению точки вдоль участка кривой x 2cost,					y 3sint,
0 t 2.

7. Проверить, что поле f (ln y 2x)i x j потенциально, и y

восстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f 2yj zk через часть поверхности 4x 2y 3z 9 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f xi 2yj z2k через замкнутую поверхность x2 y2 z2 1, x 0, y 0, z 0.

209

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Вариант 6.5

1. Вычислить (3x 2y) dx dy , если D — внутренность тре-

D

угольника с вершинами вточках A(1,2), B(0,0), C(2,1). 2. Изменить порядок интегрирования

1	(x 2)2	0	x
dx		f(x,y)dy dx f(x,y)dy .
2	0	1	0

3. Вычислить площадь области, заданной неравенствами

x2 (y r)2 r2, x 0, 2x r y,

перейдя предварительно к полярным координатам.

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

x 0, z 0, x y 4, z 4y.

5. Вычислить интеграл (в цилиндрических или сферичес-

ких координатах) (x2 y2) dxdy dz , где V — область, задан-

V

ная неравенствами x2 y2 2z, z 2.

6.Найти работу силы f(x,y) (2xy y)i (x2 y)j по перемещению точки вдоль участка кривой x 2y2 от точки A(0,0) до точки B(8,2).

7.Проверить, что поле f (x 2y)i (2x y2)j потенциально,

ивосстановить потенциал.

8.Вычислить поток вектора f 3xi y2j zk через часть поверхности 2x 5y z 6 , лежащую в первом октанте.

9.Вычислить поток вектора f 2xi yj 3z2k через замкнутую поверхность x2 y2 2 z, z 0.

Вариант 6.6

1. Вычислить (x 5y)dxdy , если D — внутренность треу-

D

гольника с вершинами в точках A(1,2), B( 1,3), C(3,4).

210