eltsov

2. Определенный интервал

2.3.Интегрирование по частям

вопределённом интеграле

Вопределенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям. В этом случае она приобретает вид

b

b

UdV UV ba VdU.

a

a

П р и м е р 1.

2																				2
x cos xdx x sin x																	02		sin xdx x sin x								02 cos x					02					1.
																																				2
0																				0
																								1
П р и м е р 2.									Вычислить интеграл															x3ex2 dx . Полагаем															U x2 ,
																								0
			x2																					1	x2				1				x2					1	2 x2		1
																													3
dV xe				dx .		Тогда											dU						2xdx, V	2 e				и	x			e			dx			2 x e			0
																													0
1	x2			1				x2				1			1					x2		1	1						1
xe						2
		dx		2 x			e					0 2 e										0 2 (e 0 e 1)							2 .
0
Задание 2.2. Вычислить интегралы:
																				e
		2
1)		x sin6x dx ;													2)					ln (x 1)dx ;
		0																		0
																				3							5
		6
3)		x tg22xdx ;													4)					arctg5xdx ; 5)							xe2xdx .
		0																		1							0
Ответы: 1)												1			;				2)				(e 1)ln(e 1) e ;
									12
		1							1						2				1				1 ;
3)				3
		12						72
																			4 ln 2
4) 3arctg15 arctg5 0,1(ln226 ln26) ; 5)																																1					10
																																			9e				1 .
																																4

5 1

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

2.4. Замена переменныхв определённом интеграле

Иногда возникает необходимость перейти в интеграле к новой переменной. Имеет место следующий результат.

Теорема 2.7. Пусть f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и: [ , ] [a,b] — дифференцируемое биективное (взаимно однозначное) отображение, такое, что ( ) a;

	b
( ) b . Тогда	f(x) dx f( (t)) (t)dt .
	a
Доказательство.	Докажем теорему в предположении, что
функция f( (t)) (t)	интегрируема на отрезке [ , ]. Это выпол-

нено, например, когда функции f(x) и (t) имеют конечное число точек разрыва первого рода (кусочно-непрерывны), так как в этом случае функция f( (t)) (t) также кусочно-непре- рывна и по следствию из теоремы 2.3 интегрируема. Разобьём отрезок [ , ] на части точками t0,t1,...,tn . Этому разбиению отрезка [a,b] соответствует разбиение отрезка [ , ] точками

xi (ti ) . Так как	(t)	дифференцируема, то по теореме
Лагранжа о конечных приращениях [3] xi			xi 1 xi
( i ) ti , где i [ti,ti 1] — некоторая точка. Положим i
( i ) [xi,xi 1] . Составим интегральную сумму
n 1		n 1
f( i ) xi		f( ( i )) ( i ) ti .
i 0		i 0

В левой части этого равенства стоит интегральная сумма для

b
интеграла f(x) dx , а справа — для интеграла	f( (t)) (t) dt .
a

Так как оба интеграла существуют, то, переходя в этом равенстве к пределу по всевозможным разбиениям, получаем справедливость утверждения теоремы.

4	xdx
П р и м е р 1. Вычислить интеграл			.
0	1 x

5 2

																									2.	Определенный											интервал
Положим x t2. Тогда																											0,						2 , dx 2t dt , и поэтому исход-
ный интеграл равен
	2				2t3dt								2				t3 1 1 dt																	2 (t 1) t2 t 1 1 dt
											2											1 t											2																		1 t
					1 t
	0												0																				0
						2					2																2		dt							t3							t2																		2
			2									t 1																					2															t
																												1 t									3					2
									t											dt 2																																	ln (1 t)
						0													8			4					0																		16																0
												2													2			(ln 3 ln1)																								2ln 3.
																			3			2																									3
																																																8					dx
П р и м е р 2.																		Вычислить															интеграл																										.			Положим
																																																3 2
																																																						x 1
x 1 t2 . Тогда 2,																								3 , dx 2tdt , и поэтому
	8								dx											3				tdt				3			t 2 2																				3		3				dt
																		2										2												dt 2 dt 4
	3				2					x 1										2		t 2						2					t 2																		2				2 t 2
		2t						3	4 ln(t 2)															3	2(3 2) 4(ln5 ln 4)																												2 4ln1,25.
								2																2
Задание 2.3. Вычислить интегралы:
	4096																											10
												x																									4 x 1 1
1)																			dx ;									2)																												dx ;
												3
															2																														4									3
						x							x																						x 1														(x
	64																																2																				1)
	3				dx																							2								4								3
3)												;																4) cos									x sin										xdx .
				cos4 x
	0																											0

Ответы: 1) 128 3ln 59 ; 2) 4; 3) 23 ; 4) 352 .

2.5.Приближённоевычислениеопределённого

интеграла

Если первообразная является неэлементарной функцией или находится достаточно сложно, то использование формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла

5 3

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

затруднено. В этом случае определённый интеграл вычисляют приближённо, чаще всего численно. Получением формул для численного вычисления интеграла мы и займёмся.

Пусть непрерывная функция f(x) задана

y

			b
	на отрезке [a,b]. Так как интеграл f(x) dx
			a
	существует, то разобьём отрезок на n час-
	тей точками	xi a ih, i 0,1,...,n ,		где
x	h b a n .	Положив в интегральной
n 1
сумме f( i ) xi	последовательно i xi ,		i xi 1	и
i 0

i xi xi 1 2, получаем в результате формулы для прибли-

жённого вычисления интеграла:

b

f(x) dx n 1 f(x ) x

b a

n 1 f(x ) ,

i

i

n

i

a

i 0

i 0

b

f(x) dx n 1 f(x

b

a

n 1 f(x

b a

n

) x

)

f(x ) ,

i 1

i

n

i 1

n

i

a

i 0

i 0

i 1

b

n 1

x x

b a n 1

x x

f(x) dx f

i

i 1

xi

f

i

i 1

,

2

n

2

a

i 0

i 0

называемыеформулами прямоугольников.

Называются они так потому, что криволинейная трапеция, ограниченнаялиниями y 0, x xi, x xi 1, y f(x) , заменяется в первом случае прямоугольником, ограниченным линия-

ми y 0, x xi, x xi 1, y f(xi ) , во втором случае прямоугольником, ограниченным линиями y 0, x xi, x xi 1,

y f(xi 1) , ав третьем случае прямоугольником, ограниченным

линиями y 0,	x x ,	x x	, y f		xi	xi 1	.
	i	i 1				2

Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями y 0, x xi, x xi 1, y f(x) , заменить трапецией с верши-

5 4

2. Определенный интервал

нами в точках (xi,0), (xi 1,0), (xi,f(xi )), (xi,f(xi 1)) , то для приближённого вычисления интеграла получаем формулу

	b		b a f(a) f(b)				n 1
		f(x) dx						f(x )		,
			n		2
								i
	a						i 1

называемуюформулой трапеций.

Точностьформулпрямоугольниковиформулы трапецийимеет порядок 1n2.

2.6. Несобственныеинтегралы

Выше был определён интеграл для ограниченных и заданных на ограниченном отрезке функций. Распространим понятие интеграла на случаи, когда одно или оба этих условия нарушаются.

2.6.1. Несобственные интегралы первого рода

Определение. Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке [a, ) и для всякого A a существует интеграл

A		A
	f(x) dx. Предел	lim	f(x)dx называется несобствен-
		A
a		a

ным интегралом первого рода (интегралом по неограни-

ченному промежутку) и обозначается f(x)dx. Если

	a
A
lim	f(x)dx существует и конечен, то несобственный
A
a

интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

5 5

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

П р и м е р 1. Рассмотрим

dx

. Пусть 1.

Тогда

dx

x

x

1

1

lim

A dx

lim

ln x

A

lim(ln A ln1) .

Таким образом,

рас-

A

x

A

1

A

1

смотренный интеграл при 1

расходится. Пусть теперь 1.

Тог-

да

dx

A

dx

1

A

при

1,

x

lim

lim

1

1

x

1 x

A

A 1

1

при

1,

1

и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при 1 расходится и при 1 сходится.

Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.

dx

П р и м е р 2. Выясним сходимость интеграла

.

x2

2x 2

1

Имеем

dx

lim

A

dx

lim

A

dx

x2

2x 2

x2 2x 2

(x 1)2

A

A

1

1

1

1

lim

arctg(x 1)

A

lim (arctg(A 1) arctg

0)

.

1

A

A

2

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2 .

П р и м е р 3. Выяснить сходимость интеграла

xe x2 dx

x exp x2

dx

.

1

1

По определению получаем

x2

A

x2

1

A

x2

xe

A

xe

A

e

2

2

dx lim

dx lim

d

x

1

1

1

1

e

x2

A

1

lim

1

e

A2

1

lim

.

A

2

1

2e

A

2

2e

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 0,5 e–1.

5 6

2. Определенный интервал

П р и м е р 4. Для интеграла	dx			имеем
	x
		ln x
e

	dx			A	d (ln x) lim 2
				lim					ln x	A
				A
	x
		ln x				ln x A				e
e				e

Следовательно, интеграл расходится.

dx

П р и м е р 5. Для интеграла

x ln

2

x

e

dx

lim

A d (ln x)

lim

1

A

2

ln

2

x

ln x

A

A

e

x ln x

e

e

lim 2ln A 2 .

A

по определению имеем

			1
	lim			1	1 .
			ln A
	A

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1.

П р и м е р 6. Выяснить сходимость интеграла e xdx , 0 .

0

По определению

A

e xdx lim e x

A

0		0
		1	e	x
lim
A

				1	A
	dx lim					e xd ( x)
		A
					0
	A 1 lim				1 e A 1 .
	0		A

Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 1 .

Задание 2.4. Вычислить несобственные интегралы первого рода или доказать их расходимость:

			dx								dx										dx
1)				;		2)									;	3)									;
			3							3									x	2	2x
								x					ln x
	e		xln x				e										0					10
			(x 1)dx									dx									dx
4)	0				;	5)	0								;	6)	0							.
		x2 2x 10									x 2									(x 1)3

Ответы: 1) 0,5; 2) расходится; 3) 16 13 arctg 13 ; 4) расхо-

дится; 5) расходится; 6) 2.

Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.

5 7

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

Теорема 2.8. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого 0 существует A a такое, что для всех

	A2
A1, A2 A выполненонеравенство	f(x) dx	.
	A1

Доказательство этого результата опустим.

Определение. Несобственный интеграл первого рода

f(x) dx называетсяабсолютносходящимся, еслисходится

a

интеграл f(x) dx.

a

Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для ин-

теграла f(x) dx выполнен критерий Коши, а в силу справед-

a
	A2				A2
ливости неравенства	f(x)dx						f(x)		dx		критерий Коши
	A1				A1

выполнен и для интеграла f(x) dx .

a

Обратноеутверждение неверно, точнее, если интегралсходится, то он не обязан сходиться абсолютно.

a

Сходимость несобственного интеграла f(x) dx определяет-

ся аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.

Для несобственного интеграла f(x) dx можем записать

	a
f(x)dx		f(x) dx f(x)dx и назвать этот интеграл сходя-
		a

5 8

2. Определенный интервал

щимся, если сходятся оба слагаемых. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то будем считать интеграл расходящимся. В качестве точки a выбирают обычно 0.

xdx

П р и м е р 7.

Рассмотрим интеграл

. По определению схо-

1 x2

димости этого интеграла получаем

x dx

lim

0

x dx

lim

A2

x dx

0

1 x2

A1 A

1 x2

A2

1 x2

1

1

lim

ln(x2 1)

0

1

lim ln(x2 1)

A2 .

2

A1

A1

2

A2

0

Так как оба слагаемых расходятся, то исходный интеграл расходится. Получаемая при этом неопределённость при разных скоростях стремления A1 к и A2 к даёт разные результаты.

Вчастности, если A n2

1 ,

A

n 1 , то

1

2

1

lim

ln(x2 1)

0

1

lim

ln(x2 1)

A2

2

A1

A1

2

A2

0

1 lim(ln n 2lnn) 1 lim

n

1 lim 1

.

2 n

2 n n2

2 n n

Если A

, A

n2

1

n 1

, то абсолютно аналогично показы-

1

2

вается, что этот предел равен . Подобрав скорости стремления A1 к и A2 к , можно получить в пределе любое заранее заданное число от до .

С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к можем записать

xdx

A

xdx

lim 1 ln(x2 1)

lim

A A

A

1 x2

1 x2

A 2

A

1

lim

ln(A2 1) ln(A2 1)

0.

2 A

Это дает возможность ввести новое понятие.

Определение. Говорят, что несобственныйинтеграл перво-

го рода f(x) dx сходится в смысле главного значения

5 9

АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

A
Коши, если существует и конечен предел lim	f(x)dx .
A
A

Рассмотренныйвыше пример показывает, чтонесобственный

интегралпервого рода f(x) dx можетсходиться всмыслеглав-

ного значения Коши и расходиться в обычном смысле. Отметим несколько свойств несобственных интегралов пер-

вого рода f(x)dx.

a
1. Если интеграл f(x) dx	сходится, то для всякого b a
a

		b
интеграл f(x) dx сходится и	f(x) dx f(x) dx f(x) dx.
b	a	a	b

2. Если интеграл f(x) dx сходится, то сходится интеграл

	a

f(x) dx и имеет место равенство f(x) dx f(x) dx.

a	a	a

3. Если интегралы f(x) dx	и g(x)dx сходятся, то сходят-
a		a
ся интегралы (f(x) g(x)) dx и имеет место равенство
a
(f(x) g(x))dx f(x)dx g(x) dx.
a	a	a

Обратное утверждение неверно, то есть если интеграл от алгебраическойсуммы функций сходится, то интегралы от слагае-

dx			dx
мых сходиться необязаны. Например, интегралы		и
	x		x 1
1		1

6 0