71

Тема 5. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

5.1.Краткие теоретические сведения

Вотсутствие внешнего электрического поля E , электронный газ находится

втепловом равновесии с решёткой, которое описывается равновесными

функциями распределения Максвелла-Больцмана для полупроводников и Ферми-Дирака для металлов. В равновесном состоянии носители заряда совершают хаотическое движение, подобное движению молекул газа. Равновесное состояние обеспечивается рассеиванием носителей на дефектах струк-

туры, тепловых колебаниях решётки (на фононах) и на ионах примеси.

В металлах носителями заряда являются электроны, энергетические уровни которых находятся вблизи уровня Ферми ЕF. Так как величина ЕF ≈ 5 эВ, а энергия тепловых колебаний решётки Е ~ 3/2kT и при Т = 300 К составляет около 0,025 эВ, т. е. значительно меньше ЕF, то скорость хаотического движе-

	ния электронов, даже при Т = 0 К будет очень высока υ = υF =	2EF	~ 106 м/с
		m*

иот температуры Т практически зависеть не будет.

Вполупроводниках кинетическая энергия электронов может изменяться, только если они находятся в зоне проводимости, куда они попадают из ва-

лентной зоны за счёт энергии тепловых колебаний решётки Е ~ 3/2kТ, соот-

ветственно скорость их теплового хаотического движения υT = 2Em ~ T

и по величине она будет значительно меньше, чем υF (υT ≈ 105 м/с).

При приложении поля E на хаотическое движение носителей заряда накладывается дрейф в электрическом поле, то есть под действием электрического поля электроны приобретают ускорение a и некоторую направленную против поля добавку к скорости Δυдр:

a = −	F	= −	q E	,	(5.1)
	mn		mn
υдр =a τn ,					(5.2)

гдеτn — время, втечениекоторогодействуетускорение(времясвободногопробега). Если бы время τn ничем не ограничивалось, то дрейфовая скорость Δυдр непрерывно возрастала бы. Однако из-за процессов рассеяния элек-

υдр = μn ε.

72

трон под действием поля движется ускоренно лишь на небольшом отрезке пути между двумя последовательными актами рассеяния, называемом длиной свободного пробега ℓn. Затем он испытывает соударение, теряет свою направленную скорость Δυдр, и процесс повторяется сначала.

Время свободного пробега τn можно определить как

	τn =		n	,	(5.3)
			υ
где υ —	полная скорость		электрона (для		полупроводников
υ = υт + υдр, а для металлов — υ = υF + υдр).
Так как ℓn	обычно очень мала (ℓn < 10-5 см),то направленная добавка Δυдр

к скорости хаотического движения электрона при не очень сильных полях мала по сравнению с скоростью хаотического движения электрона в отсутствие поля, поэтому в (5.3) можно считать υ ≈ υТ для полупроводников и υ ≈ υF для металлов. Поскольку υF >> υТ, то соответственно время свободного пробега электронов τn в полупроводниках обычно больше, чем в металлах.

Средняя скорость дрейфа электронов в полупроводнике из (5.1) – (5.3):

υдр =

υдр

=

q

E

.

(5.4)

2

υ

2 mn

Обозначим

μn =

q τn

=

q

n

,

(5.5)

υT

mn

2 mn

тогда

(5.6)

Коэффициент пропорциональности μn (м2/В с) между дрейфовой скоростью υдр и напряжённостью поля E называется подвижностью электронов.

Физический смысл подвижности μ можно определить как скорость дрейфа носителя заряда в поле с единичной напряжённостью e . Она учитывает влияние процессов рассеяния на движение носителей заряда в кристалле: чем сильнее рассеяние, тем меньше подвижность носителей.

Более строгий расчёт с учётом непостоянства времен свободного пробега различных электронов τn дает значение μn в два раза выше, чем в формуле (5.5):

μn =	q n	.	(5.7)
	*
	mn υ

73

Поскольку для металлов υ ≈ υF, а для полупроводников υ ≈ υT, то из (5.7) следует, что подвижность электронов в металле обычно существенно ниже. Кроме того, так как подвижность μ обратно пропорциональна m*, а в большинстве случаев в полупроводниках mn < mp , то соответственно μn > μp.

Каждый заряд, движущийся в поле E с дрейфовой скоростью υдр , создает электрический ток, равный q·υдр. Следовательно, плотность тока в кристалле, содержащем n электронов в единице объёма, можно определить, как

j = q n υдр .

(5.8)

ПозаконуОмаплотностьтока j инапряжённость поля E связанысоотношением

j =	E	= σ E ,			(5.9)
	ρ
где ρ — удельное сопротивление,
σ = 1/ρ — удельная электропроводность кристалла.
Тогда из (5.8) и (5.9) с учётом (5.5) можно получить
			n q 2
σ = q n μ =			n	.	(5.10)
			m*n υ

Таким образом, выражение для электронной проводимости в полупроводниках имеет вид

σn =	n q 2		n	,	(5.11)
	m*n υT

где ℓn — длина свободного пробега электрона.

В случае дырочной проводимости, обозначим концентрацию дырок в кристалле через р, тогда удельная электропроводность полупроводника:

σр =	p q2		p	.	(5.12)
	*	υт
	mp
Если в электропроводности участвуют как электроны, так и дырки, то
j =q (n υдрn		+ p υдрp ) ,			(5.13)
а проводимость
σ = q(n μn + p μp ) .					(5.14)
Для собственного полупроводника n = p = ni , поэтому
σ = q ni (μn + μp ) .					(5.15)

74

Если необходимо учитывать участие в проводимости полупроводников n- и р – типов неосновных носителей, то для определения концентраций следует использовать закон действия масс

n p = ni2 .

(5.16)

В металлах в процессе переноса участвуют только электроны, расположенные вблизи уровня Ферми, поэтому они имеют одинаковые υF и ℓF. Соответственно для этого случая

	μn =		q τF		,				(5.17)
			mn
σ =	n q2	τF =		n q2			F	.	(5.18)
	mn			mn			υF

Электропроводность кристалла σ определяется произведением

подвижности носителей заряда в нём и их концентрации
σ = q · n · μ .	(5.19)

Величину подвижности μ носителей заряда в полупроводниках ограничивают два основныхмеханизмарассеяния: рассеяниенатепловыхколебанияхатомов, ирассеяние наионахпримесииз-завзаимодействиядвижущегосязарядасполемзаряженногоиона.

В области низких Т рассеяние главным образом обусловлено ионами примесей, влияние которых на движение электронов тем больше, чем большую часть времени эти заряды находятся в отклоняющем поле ионов. С ростом Т тепловая скорость движения электрона увеличивается, что ведёт к росту длины свободного пробега ℓn и, следовательно, подвижностью μ. Подвижность растёт до тех пор, пока не станет существенной роль тепловых колебаний атомов решётки (рис. 5.1 а).

В случае достаточно чистого металла основным механизмом рассеяния является рассеяние на тепловых колебаниях атомов решётки — на фо-

	нонах и зависимость μ(T) име-						μ
	ет	вид,	представленный μ
							T-5
	на рис. 5.1 б.				T3/2	T-3/2
		На температурной зависимости					T-1
	концентрации		носителей	заряда
	впримесном полупроводнике мож-					T	T
	новыделитьтриобласти(рис. 5.2):					а)	б)
					Рисунок 5.1. Температурная зависимость
		1. Т < Ts	(область	низких
	температур) —		происходит уве-		подвижности носителей заряда:
					а) в полупроводниках; б) в металлах

75

личение концентрации носителей заряда за счёт ионизации примесей в соответствии с выражением

1

E

d

,

n = (Nc Nd )2 exp

−

(5.20)

2kT

2πkTmn

3

где

2

— эффективная ln(n)

Nc = 2

h

2

плотностьсостоянийвзонепроводимости,

1

3

Nd — концентрация атомов примеси,

Ed — энергия активации примеси,

K — постоянная Больцмана,

Ts

Ti

Т

mn* — эффективная масса электрона;

	2. Ts < T < Ti —	все	примесные	Рисунок 5.2. Концентрационная
	атомы ионизированы, n = Nd		= const;	зависимость носителей заряда
				в легированном полупроводнике
	3. T > Ti (область	высоких темпера-
				от температуры
	тур) — происходит переход к		собственной

проводимости. При изменении температуры концентрация носителей возрастает по закону

1

E

n = n i

= (N c N v )

2

−

g

,

(5.21)

exp

2kT

3

2

где Nv

= 2

2πkTmp

— эффективнаяплотностьсостоянийввалентнойзоне.

h

В областях низкой и высокой температуры изменение концентрации носителей происходит по экспоненциальному закону, а подвижности — по закону T±32 , то есть концентрация зависит от температуры значительно сильнее, чем подвижность. Поэтому электропроводность будет практически так же зависеть от температуры, как и концентрация. Подставляя (5.20) и (5.21) в (5.19), удельные проводимости легированного и собственного полупроводников можно выразить в виде

						E	d			,
σn	= σn0	exp		−							(5.22)
						2 k T
σi	= σ0	exp	−			Eg		,			(5.23)
					2 k T

-3/2

lnσ 2

1

Тs2 Тs1			Тi1 Тi2 Т

Рисунок 5.3. Температурная зависимость проводимости легированногополупроводника

76

где σn0 и σ0 — коэффициенты, вобравшие

в себя все предэкспоненциальные, слабо зависящие от температуры, множители.

В области 2 вся примесь уже ионизирована, и зависимость σ(T) определяется зависимостью μ(T). Если основным механизмом рассеяния носителей в области 2 является рассеивание на тепловых колебаниях, то μ ~ T и σ на этом участке будет падать (участок 1, рис. 5.3.), а если преобладает рассеяние на ионах примеси, то μ ~ T3/2

и σ возрастает (участок 2).

В металлах

концентрация

носителей

зарядаn

ρ

оттемпературы практически не зависит, поэтому тем-

пературная

зависимость

проводимости

σ,

~Т

аследовательно,

и

удельного

сопротивления

ρ= 1/σ,

определяется зависимостьюμ(T).

Общая зависимость

ρостат

представленанарис. 5.4.

~Т

5

При

T ≈ 0 K

электропроводность

образца

Т

σ = const и ρ = const = ρостат , которое представляет

Рисунок 5.4. Зависимость

удельного сопротивления

собой остаточное сопротивление, обусловленное

металла ρ от температуры Т

наличием структурных дефектов, при несколько более высоких температурах σ ~ T−5 , а ρ ~ T5 . В дальнейшем, удельное сопротивление металлов ρ растет пропорционально Т. Соответственно, изменение удельного сопротивления может быть выражено соотношением

	ρ2 =ρ1 1+ αρ (T2		−T1 ) ,		(5.24)
		1
где ρ1	и ρ2 — удельные сопротивления металлов при Τ1				и Τ2 , причём Τ2 > Τ1 ,
αρ	— температурный коэффициент удельного сопротивления, отнесен-
	1
ный к началу диапазона температур:
	αρ =	ρ2 −ρ1		.	(5.25)
		ρ1 (Τ2 −Τ1 )

Соотношение, аналогичное (5.24), для сопротивления металлического проводника будет иметь вид