Глава 5. Оценки качества переходного процесса

§ 5.1. Требования качества и связь с частотными характеристиками

Исследованная выше устойчивость системы обеспечи­вает затухание переходных процессов с течением време­ни, т. е. обеспечивает принципиальную возможность при­хода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем возмущении.

Однако далее требуется, во-первых, чтобы это уста­новившееся состояние было достаточно близко к задан­ному и, во-вторых, чтобы затухание переходного процесса было достаточно быстрым, а отклонения (колебания) при этом были бы невелики.

Поэтому после обеспечения устойчивости системы нужно позаботиться о требуемом качестве процесса управления, в понятие которого входят, в частности:

1) точность системы в установившемся состоянии,

2) качество переходного процесса.

Вообще говоря, в понятие качества системы может входить и ряд других по­казателей, кроме указан­ных основных.

Методы определения точности системы были изучены выше в главе 3 (статические и скоростные ошибки, точность при гар­моническом воздействии, коэффициенты ошибок при произвольном внешнем воз­действии). О методах определения кривой переходного процесса было сказано в § 3.1. Но при проектировании си­стемы вначале не нужно знать деталей очертания всей кри­вой переходного процесса, а можно исходить из некоторых оценочных характеристик качества, таких как (см. рис. 5.1) длительность переходного процессаt_п (быстродействие системы), величина перерегулирования σ, количество (или частота) колебаний, иногда плавность процесса (ограни­чение по скорости и ускорению в переходном процессе). Теоретически переходный процесс в устойчивой ли­нейной системе затухает в бесконечности:

Практически же длительность переходного процесса ограничивают тем моментом, когда отклонения становят­ся пренебрежимо малыми, например (рис. 5.1), когда величина

составляет 5 % от x_ус. Перерегулирование σ = x_max - x_ус определяется также в процентах от величины x_ус (ска­жем, 10—30%). При σ = 0 процесс называется монотон­ным.

Таким образом, в начале проектирования системы не иг­рают роли детали очертания кри­вой переходного процесса, а важ­но, чтобы она не выходила за определенные границы, показан­ные. например, на рис. 5.2.

Существуют три основные вида приближенных оце­нок качества переходного процесса:

1) частотные;

2) корневые;

3) интегральные.

Прежде чем говорить о частотных оценках, надо уста­новить связь между частотными характеристиками си­стемы и качеством переходного процесса.

Будем рассматривать переходный процесс x(t) при единичном скачке задающего воздействия g{t) = 1(t). В изображениях по Лапласу

где Ф(s) — главная передаточная функция замкнутой системы.

Подставив сюда s = jω, запишем выражение интегра­ла Фурье (обратное преобразование Фурье):

Здесь Ф( jω) является амплитудно-фазовой частотной характеристикой замкнутой системы

причем Р(ω)—вещественная, а Q(ω)—мнимая частот­ные характеристики замкнутой системы. Вычтем из (5.1) установившееся значение

(это равенство вытекает из того, что значение ω = 0 со­ответствует постоянному значению х в установившемся состоянии).

В результате получим

Подставим сюда (5.2) и заменим e^jωt = cos ωt + jsin ωt. Отбросив мнимую часть полученного выражения (так как х (t)— вещественно), будем иметь

Подынтегральное выражение представляет собой чет­ную функцию. Поэтому интегрирование в пределах (—∞, ∞) можно заменить на (0, ∞) и удвоить результат. Кроме того, заметим, что

В результате получаем

Поскольку даны нулевые начальные условия, причем нулевые значения функции распространяются на t < 0, то можно, подставив в формулу (5.3) вместо t величину -t, написать

Складывая и вычитая выражения (5.3) и (5.4), при­ходим к формулам соответственно

Последняя формула будет использована ниже для ча­стотных оценок качества переходного процесса. Отметим, что существуют приближенные способы построения кри­вой переходного процесса в замкнутой системе по этой формуле.

Приведем здесь также частотный способ определения весовой функции замкнутой системы. Как известно (см. § 1.1), если переходный процесс x(t) определен при за­дающем воздействии g(t) = 1(t), то имеет место соотно­шение

Поэтому, дифференцируя выражение (5.5), находим

Существует приближенный способ вычислений по этой формуле.

Аналогично можно найти и весовую функцию замкну­той системы k_f(t) для возмущающего воздействия.

Знание весовых функций замкнутой системы k_x(t) и k_f(t) позволяет согласно формуле (3.8) определять вы­нужденную часть процесса регулирования при любых внешних воздействиях g(t) и f(t).

Ниже рассматриваются различные формы оценок ка­чества переходного процесса в замкнутой системе. Какие из них применять на практике — зависит от того, какой материал уже имеется в распоряжении относительно дан­ной системы, а также от того, какими методами предпо­лагается вести дальнейший процесс проектирования си­стемы.