§ 1.4. Другие типы звеньев

Как уже говорилось, в общем случае передаточная функция звена имеет вид

где N(s) и L(s)—многочлены с коэффициентами 1 при младших членах. Выше были рассмотрены наиболее ча­сто встречающиеся на практике основные тины звеньев. Все они характеризуются отсутствием корней с положи­тельной вещественной частью как в числителе N(s) (т. е. нулей передаточной функции), так и в знаменателе L(s) (т. е. полюсов). Все звенья, обладающие этим свойством, называются минимально-фазовыми. Смысл та­кого названия выяснится ниже.

Неминимально-фазовые звенья.

В отличие от рассмот­ренных выше, любое звено, передаточная функция ко­торого имеет хотя бы один корень числителя N(s) или знаменателя L(s) с положительной вещественной частью, называется неминимально-фазовым звеном. Приведем пример такой передаточной функции

Здесь имеется положительный полюс (корень знамена­теля)

Частотные характеристики такого звена:

в то время как для обычного апериодического звена имеем

Разница между ними, как видим, в величине фазы. Амплитудные же характеристики одинаковы. Оказывается, что из всех возможных звеньев с одинаковыми амплитудными характеристиками обычные типовые звенья обладают наименьшими но абсолютному значению фазовыми характеристиками. В этом и состоит смысл введенных терминов.

Важным свойством минимально-фазовых звеньев яв­ляется однозначное соответствие амплитудной и фазовой частотных характеристик. Другими словами, по заданной амплитудной характеристике всегда можно определить фазовую и наоборот. То же самое свойство относится и

к вещественной U₁(ω) и мнимой V(ω) частям амплитудно-фазовой частотной характеристики минимально-фазовых звеньев.

Заметим, что, в частности, для данного неминималь­но-фазового звена (1.18) переходная функция будет рас­ходящейся (рис. 1.43, а), вместо обычной затухающей (рис. 1.43, б).

Звенья с модулированным сигналом (на несущей пе­ременного тока).

Звено с модулированным сигналом от­личается тем, что сигнал, характеризующий передачу

воздействия в цепи регулирования U₁(t), является оги­бающей несущих колебаний и₁(t), имеющих заданную сравнительно высокую частоту ω₀ (рис. 1.44). Такой вид имеет, например, передача сигналов в цепях на перемен­ном токе.

Для получения частотной характеристики такого зве­на нужно выходной сигнал U₁(t) изменять по синусои­дальному закону с некоторой частотой Ω и с единичной амплитудой. Тогда входная величина будет

Соответственно на выходе получим зависимость ам­плитуды А сигнала U₂ от частоты, различную при раз­ных передаточных функциях. Например, чтобы получить

аналог обычного апериодического звена (рис. 1.45), нуж­но схему звена на переменном токе составить так, чтобы его амплитудная частотная характеристика имела вид, показанный на рис. 1.46, где обозначено

Такой подход является основой для получения ана­логов различных типов звеньев на переменном токе [I].

Глава 2. Основные характеристики систем автоматического управления

§ 2.1. Передаточные функции и характеристики разомкнутой цепи звеньев

Изучаемые здесь системы автоматического управле­ния и регулирования являются замкнутыми системами. Но при их проектировании часто предварительно рас­сматривается разомкнутая цепь звеньев, которая затем

замыкается. Составим сначала передаточные функции разомкнутой цепи звеньев.

1. Цепь из последовательно соединенных звеньев (рис. 2.1).

Пусть заданы передаточные функции всех звеньев:

где X_i=X_i(s)—изображения по Лапласу переменных x_i(t). Передаточная функция всей цепи, по определению, будет

Если перемножить между собой все левые части и все правые части написанных равенств, получим иско­мый результат

так как все промежуточные переменные X_i при таком перемножении сокращаются. Следовательно,

т.е. передаточная функция разомкнутой цепи последо­вательно соединенных звеньев равна произведению пе­редаточных функций всех звеньев.

2. Цепь из параллельно соединенных звеньев (рис. 2.2).

Пусть заданы передаточные функции звеньев

Поскольку выходная величина цепи равна

то и передаточная функция цепи получит вид

т. е. передаточная функция разомкнутой цепи из парал­лельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций всех звеньев.

3. Цепь с местной обратной связью (рис. 2.3).

Запи­шем сначала передаточную функцию звена, охваченного

обратной связью (часть схемы, обведенная на рис. 2.3 пунктиром).

Обратная связь называется отрицательной, если (см. рис. 2.3)

Согласно схеме имеем в изображениях по Лапласу

Отсюда получаем

Перемножив правую часть данного выражения с переда­точными функциями остальных звеньев цепи (согласно формуле (2.1)), получаем окончательную формулу

т.е. передаточная функция разомкнутой цепи с местной отрицательной обратной связью равна произведению пе­редаточных функций всех звеньев прямой цепи, деленно­му на единицу плюс произведение передаточной функ­ции обратной связи на передаточную функцию охваты­ваемого ею звена.

Если в той же схеме (рис. 2.3) местная обратная связь будет положительной, т. е. если х₂=х₁ + x_oc , то получим

Отличие заключается в знаке второго слагаемого зна­менателя. Это, как увидим потом, весьма важно. Главное применение в автоматических системах имеют отрица­тельные обратные связи.

В общем случае, сложная разомкнутая цепь звеньев может включать в себя комбинации всех трех рассмот­ренных случаев. Пользуясь полученными здесь форму­лами, можно составлять общую передаточную функцию и для более сложных цепей (см. об этом ниже § 2.2).

Общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Це­лесообразно, как и для отдельного звена, передаточную функцию всей разомкнутой цепи в целом W(s) приво­дить к стандартному виду

где N(s) и L(s) — многочлены с единичными коэффи­циентами при младших членах. Выносимый при этом множитель К явится общим коэффициентом усиления всей разомкнутой цепи звеньев.

Согласно записанным выше формулам получим:

а) для цепи из последовательно соединенных звеньев (рис. 2.1)

где k_i—коэффициенты усиления отдельных звеньев;

б) для цепи из параллельно соединенных позицион­ных звеньев (рис. 2.2)

в) для цепи с отрицательной местной обратной связью (рис. 2.3) в случае, если звенья W₂ и W_oc —по­зиционные,

а при положительной местной обратной связи

В случае наличия непозиционных звеньев формулы (2.5) и (2.6) изменятся (см. гл. 6).

Заметим, что степень числителя KN(s) передаточной функции разомкнутой цепи звеньев в реальных системах обычно ниже степени знаменателя L(s).

Дифференциальное уравнение разомкнутой цепи будет

а характеристическое уравнение —

Частотные характеристики разомкнутой цепи звеньев.

Рассмотрим получение частотных характеристик на при­мере, из которого будет ясен общий метод. Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи в виде

причем ζ = 0,6 (при таком ζ можно будет не учитывать «горба» амплитудной частотной характеристики колеба­тельного звена).

Амплитудная и фазовая частотные характеристики имеют вид

Их можно изобразить графически (рис. 2.4), а по ним — построить и амплитудно-фазовую частотную ха­рактеристику (рис. 2.5).

Логарифмическую амплитудно-частотную характери­стику можно строить непосредственно по заданной пе­редаточной функции. Для этого надо помнить, что, со­гласно характеристикам типовых звеньев (см. главу 1),

каждому сомножителю типа (Ts+l) в знаменателе со­ответствует точка излома характеристики при с последующим наклоном —20дБ/дек., а каждому сомножи­телю такого же типа в числителе соответствует точка излома при с последующим наклоном +20 дБ/дек.

Сомножителю же типа (T²s²+2ζT_s+1) в знаменателе соответствует излом при с наклоном —40 дБ/дек, если 0,5 < ζ < 1. При ζ < 0,5 нужно добавочно строить «горб», вычислив превышение Н (см. § 1.2).

Таким образом, пронумеровав по порядку все сомно­жители передаточной функции:

для каждого из них получим характеристики, показанные на рис. 2.6, а и обозначенные там цифрами в кружках.

Простое сложение их дает искомую логарифмиче­скую амплитудную частотную характеристику Lm(ω) данной разомкнутой цепи звеньев, показанную на рис. 2.6, б. На рис. 2.6, в согласно написанной выше формуле изображена фазовая частотная характеристи­ка φ(ω).

Из рис. 2.6 видно, что легко можно строить непосред­ственно суммарную характеристику Lm(ω) по переда­точной функции W(s) (помня указанное выше правило изломов), не изображая отдельных частей характеристи­ки (т. е. можно обойтись без рис. 2.6, а). При этом частоты в точках изломов называются сопрягающими частотами.

При более сложных формах передаточной функции W(s), например, при наличии внутренних обратных связей, построение ЛАХ усложняется. Однако часто мож­но и сложные формулы приводить к аналогичному виду, разложив на множители многочлены числителя и зна­менателя (с заданными числовыми коэффициентами). Имеются и другие инженерные приемы.

Для любой разомкнутой цепи звеньев, как ранее де­лалось для отдельного звена, можно определить также переходные и весовые функции.