2. Задано отображение f: rr,

1. Определить, является ли отображение инъективным.

2. Определить, является ли отображение сюръективным.

3. Определить, является ли отображение биективным.

4. Найти образ отрезка .

5. Найти прообраз отрезка

Решение.

1. Для определения инъективности исследуем функцию на монотонность. Вычислим производную функции : .Производная определена и непрерывна при и обращается в нуль при. Прии припроизводная положительна, а, следовательно, функция возрастает. При производная отрицательна, а, следовательно, функция убывает. График функции меняет направление с возрастания на убывание и обратно (можно даже построить его эскиз), следовательно, найдутся два значения итакие, что, а(например,

).

Таким образом, отображение неинъективно.

2. График функции y=f(x) принимает все значения от – до +, поэтому можно утверждать что для любого y=найдётся соответствующее значение. Таким образом, отображение сюръективно.

3. Так как отображение неинъективно, то оно не является биективным.

4. На отрезке только одна точка экстремума графика функции . Это точка минимума. Поэтому в этой точке отображение примет наименьшее значение. Для нахождения наибольшего значения подставим значения концов отрезка в формулу f(x):

;

;

.

Образы элементов отрезка расположатся между наименьшим и наибольшим значениями, поэтому образом отрезкаявляется отрезок(то есть).

5. Для нахождения прообраза отрезка воспользуемся результатами, полученными в предыдущих пунктах., если, причём функция принимает неотрицательные значения при и при. Значение 2 функция принимает при, причём на отрезкеотображение инъективно. Итак, прообразом отрезка является множество чисел то есть.

Примечание.

Данную задачу проще решить, построив график отображения y=f(x).

3. «Декартово произведение множеств».

I. Необходимые определения и формулировки теорем.

1. Что такое «декартово произведение множеств А и В»?

II. Задачи для усвоения материала.

1. Заданы множества А и В. Составить декартовы произведения :

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Доказать равенства:

а) ;

б) .

3. Изобразить на координатной плоскости множество

. Декартовым произведением каких двух множеств из R оно является?

III. Самостоятельная работа 3.

Вариант 0

1 Составить декартово произведение множеств , если

.

2 Изобразить на координатной плоскости множество

. Декартовым произведением каких двух множеств из R оно является?

4. Решение некоторых типовых заданий.

1. Составить декартово произведение множеств ,

если .

Решение.

Согласно определению декартового произведения множеств, получаем:

.

4. «Основы комбинаторики»

1. Необходимые определения и формулировки теорем.

1. Что изучает комбинаторика?

2. Сформулируйте правило произведения.

3. Что такое перестановки?

4. Что Вы знаете о числе перестановок элементов без повторений?

5. Что Вы знаете о числе перестановок с повторениями?

6. Что такое сочетания?

7. Что Вы знаете о числе сочетаний?

8. Что такое размещения?

9. Что Вы знаете о числе размещений?