IV. Решение некоторых типовых заданий.

1. Необходимо расставить 5 книг на книжной полке из 7 имеющихся различных книг. Сколько существует способов такой расстановки?

Решение.

Всего имеется 7 книг, среди которых необходимо выбрать 5, причём порядок выбора существенен. Количество таких выборов найдём с помощью функции размещения без повторений.

Имеем:

2. Сколько существует букетов, состоящих из трёх гвоздик, если имеется 9 различных гвоздик?

Решение.

При выборе букета не существенен порядок следования цветов, поэтому для определения количества способов выбора трёх элементов из 9 имеющихся используем функцию сочетания.

Имеем:

;

3. Сколько пятизначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 9?

Решение.

Поскольку необходимо составлять пятизначные числа из пяти имеющихся цифр, то используем функцию перестановки без повторений. Имеем:

,

4. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 9?

Решение.

Поскольку цифры в числе могут повторяться, то используем «правило произведения». Первую цифру можно выбрать пятью способами, , вторую цифру можно выбрать пятью способами,, третью цифру можно выбрать также пятью способами,. Имеем:.

5. «Мощность множеств»

1. Необходимые определения и формулировки теорем.

   1. Что такое мощность множества?

   2. Как связаны мощность множества и биекция?

   3. Сформулируйте «правило произведения» (чему равна мощность декартового произведения двух множеств?)

   4. Что Вы знаете о мощности множества всех подмножеств данного множества?

   5. Что такое ?

   6. Что Вы знаете о мощности множества двоичных наборов?

   7. Что Вы знаете о мощности объединения двух множеств?

   8. Верно ли, что мощность объединения двух множеств равна сумме их мощностей? В каких случаях это верно?

   9. Что Вы знаете о мощности разности множеств А и В?

   10. Верно ли, что мощность разности двух множеств равна разности их мощностей? В каких случаях это верно?

   11. Существует ли общая формула для нахождения мощности пересечения множеств?

   12. Верно ли, что мощность пересечения двух множеств равна произведению их мощностей? В каких случаях это верно?

2. Задачи для усвоения материала.

1 Найти мощность множества всех двухбуквенных слов, составленных из букв п, е, н, а, л?

2. Какова мощность множества всех слов, составленных из этих же букв?

3. Найти мощность множества всех двухбуквенных слов, составленных из букв слова «парта»?

4. Какова мощность множества всех слов, составленных из этих же букв?

5*. Из 31 ученика класса в олимпиадах по физике или по химии собираются участвовать 19 человек, в олимпиадах по физике или по математике - 12 человек, в олимпиадах по химии или математике – 18 человек; во всех трёх олимпиадах – 2 человека. Сколько учеников будут участвовать ровно в одной олимпиаде, если в олимпиаде по физике будут участвовать 14 человек, по химии – 10 человек, по математике – 7 человек?

6*. После экзаменационной сессии оказалось, что 10 студентов второй группы имеют в зачётных книжках хотя бы одну оценку «отлично», 20 студентов - хотя бы одну оценку «хорошо», 10 - хотя бы одну оценку «удовлетворительно». Причём, «пятёрки» и «четвёрки» имеются у пяти студентов, «пятёрки» и «тройки» - у трёх студентов, «четвёрки» и «тройки» - у четырёх, два студента имеют в зачётных книжках и «пятёрки», и «четвёрки», и «тройки». Сколько студентов во второй группе, если известно, что никто во время сессии не получил оценку «неудовлетворительно»?

3. Самостоятельная работа 5.

Вариант 0

1. Сколько четырёхзначных чисел с различными цифрами можно составить из цифр 2,3,5,7,8,9?

2. Найти мощность множества всех двухбуквенных слов, составленных из букв л, е, с, к, а

3. В соревнованиях по бегу принимают участие 10 студентов. Сколькими способами могут быть распределены первое и второе места между участниками?

4. *Используя методы теории множеств, решить задачу:

Из 100 учеников гимнастикой занимается 28 человек, волейболом – 42, плаванием – 30, гимнастикой и волейболом занимается 10 человек, гимнастикой и плаванием – 8, волейболом и плаванием – 5. Всеми тремя видами спорта занимается 3 ученика. Сколько учеников вообще не занимается спортом?