![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Раздел 5. Метод координат в пространстве
- •Тема 5. 1. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве. Формулы преобразования координат
- •Тема 5.2. Векторное произведение векторов
- •Тема 5.3. Смешанное произведение векторов
- •Тема 5.4. Уравнение фигуры. Приложение метода координат к решению стереометрических задач
- •Тема 5.5. Уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей
- •Тема 5.6. Уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Метрические задачи теории прямых и плоскостей
- •«Прямые и плоскости в пространстве»
- •Тема 5.7. Алгебраические поверхности.
- •Тема 2.8. Цилиндрические и конические поверхности
- •Тема 2.9. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды
- •Тема 2.10. Изображение тел, ограниченных поверхностями второго порядка и плоскостями
Тема 5.2. Векторное произведение векторов
Литература: [1], гл. 9, § 4, стр. 225–230; [3], гл.1, § 4, стр. 29–30; [27], гл.6, §56, стр.200-204.
Основные определения, теоремы и формулы
Векторным
произведениемнеколлинеарных векторови
из ориентированного векторного
пространства называется вектор,
обозначаемый
и удовлетворяющий следующим условиям:
1)
где
–
направленный угол между векторами
и
,
2)
вектор
перпендикулярен как вектору
,
так и вектору
,
3)
– правая тройка векторов.
Из
2) и 3) видно, что вектор
направлен
по правилу “правого винта” при
вращении вектора
к вектору
.
Векторное произведениеколлинеарных векторов считается равным нуль-вектору.
Теорема
1. Если векторыи
в
правом ортонормированном базисе имеют
координаты
то вектор
Теорема
2. Векторное произведение двух векторови
равно
нуль-вектору тогда и только тогда, когда
векторы
и
коллинеарны.
Теорема 3. Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах.
Вопросы для самоконтроля
Сформулировать основные свойства векторного произведения векторов.
Как найти площадь треугольника ABC, если в прямоугольной декартовой системе координат вершины треугольника имеют координаты:А (а1, а2, а3), В (b1, b2, b3), С (с1, с2, с3)?
Векторы
и
перпендикулярны вектору
Что можно сказать о векторе [[
]
]?
Можно ли из условия [
] = [
], где
, заключить, что
=
?
Верно ли утверждение о том, что векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда [
] =
? Если да, то почему?
Дан правильный ортонормированный базис
. Найти векторные произведения:
а)
[[[[]
]
]
],
б) [(
–
)(
+
)],
в)
[[(–
)(
+
)][(
+
)](
–
)]].
При каких значениях
справедливо равенство:
[–
+ 2
,
-3
+ 3
+
]
=
?
Что такое момент силы относительно точки?
Как определяется направление вектора магнитной индукции
в точке магнитного поля проводника с током?
Как определяется направление силы Ампера?
Как вычислить линейную скорость вращения точки вокруг неподвижной оси, зная угловую скорость?
Пример
1. Найти площадьтреугольника, построенного на векторах
и
.
Решение.
Найдем вектор:
Так
как векторное произведение коллинеарных
векторов равно нулевому вектору, то
Теперь,
зная координаты
и, учитывая, что длина вектора
равна площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
найдем
Тогда
Пример
2. Зная вершинуквадрата
,
его центр
и
вектор
перпендикулярный
плоскости квадрата, найти остальные
его вершины.
Решение.Так как векторперпендикулярен как вектору
,
так и вектору
,
то
коллинеарен вектору
Кроме того,
и так как векторы
и
перпендикулярны, то
Следовательно,
Зная координаты вектора
определим векторное произведение
Так
как
то
Поэтому вершины
и
квадрата соответственно имеют координаты
Так как точка
симметрична точке
относительно начала координат
,
то
Задачи
1. Выразить
векторы [2+
,
+ 3
]
и [
+
,
–
]
через [
].
Найти их длины, если
2.
Вычислить площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
где
и
–
единичные векторы, величина угла между
которыми равна 600.
3.
Найти площадь треугольника
,
в котором
4.
Найти единичный вектор
перпендикулярный: а) каждому из векторов
и
б)
вектору
и
оси абсцисс.
5.
Вектор
перпендикулярный оси аппликат и вектору
образует острый угол с осью абсцисс.
Зная, что
найти его координаты.
6.
Сила
приложена к точке
Определить величину и направление
момента этой силы относительно начала
координат.
7.
Найти векторы
и
если
8. Доказать
тождество: []2+ (
)
=
2
2.
9.
Прямая а проходит через точкуА
параллельно вектору.
Доказать, что расстояние от любой точкиВдо прямой
вычисляются по формуле:
10.
Даны точки
Доказать, что
–
квадрат. Найти вершины куба, для которого
квадрат
служит гранью.
11.
Найти вектор, являющийся ортогональной
проекцией вектора
на
плоскость, параллельную векторам
Домашнее задание
1.
Доказать, что если
то векторы
–
компланарны. Верно ли обратное утверждение?
2. Найти расстояние от точки С(3,2,–2) до прямой , проходящей через точкиА(1,2,–3),В(5,2,0). Система координат – прямоугольная декартова.
3. Ребро куба ABCDA1B1C1D1равно 1. Найти расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.
4.
Дан тетраэдр, построенный на векторах
(2,0,0),
(3,4,0),
(3,4,2)
(базис ортонормированный).
Найти: а) площади его граней, б) косинус угла между гранями АВСиADC.
5.
Доказать, что
.
Задачи повышенной трудности
1. Пусть
– площади граней тетраэдра,
– соответствующие этим граням орты
внешних нормалей. Доказать, что
2.
Доказать теорему Мебиуса: В выпуклом
пятиугольнике
площади треугольников
равны
Пусть
– площадь пятиугольника. Доказать, что
3. Докажите, что параллелепипед является прямоугольным тогда и только тогда, когда все его диагонали равны между собой.
4. Докажите,
что прямоугольный параллелепипед
является кубом тогда и только тогда,
когда его диагональ
перпендикулярна плоскости
.