Тема 5.7. Алгебраические поверхности.

Метод сечений. Поверхности вращения

Литература: [1], гл.15, §1, 8, стр. 364–368, 390-393; [2], гл. 4, § 1,5,

стр. 116–119, 132-140; [27], гл.9, § 74-75, стр. 257-262.

Основные определения, теоремы и формулы

Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой называетсяповерхностью вращения. Прямаявокруг которой производится вращение, называетсяосью вращения.

Теорема. В прямоугольной системе координат уравнение

есть уравнение поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси линии, заданной уравнениями

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется уравнением поверхности?

2. Какие поверхности называются алгебраическими?

3. Что такое порядок алгебраической поверхности?

4. Зависят ли понятие и порядок алгебраической поверхности от выбора аффинной системы координат?

5. Что называется поверхностью второго порядка?

6. Привести примеры алгебраических и неалгебраических поверхностей.

7. Является ли алгебраической поверхностью поверхность, заданная в аффинной системе координат уравнением:

а) x² + y² + z² – 4sin²(x + y + z) – 4cos²(x + y + z) = 0;

б) ;

в) (x + y + z)ⁿ = 0, гдеn – некоторое натуральное число;

г)

д)

е) ;

ж) x= 1;

з) ;

и) y² = 2px.

8. В чем состоит сущность метода сечений? Будет ли верным утверждение, если в теореме из [1, стр. 217], прямоугольную систему координат заменить на произвольную аффинную систему координат?

9. Какой вид имеют уравнения проекции на плоскость Охz (Оуz)линии пересечения поверхности, заданной уравнениемF (х, у, z) = 0, с плоскостью, параллельной плоскостямОхz (Oyz)или совпадающей с ней? Написать соответствующие уравнения для других координатных плоскостей.

10. Что называется поверхностью вращения? Является ли ось вращения dосью симметрии, а плоскость, проходящая черезd, – плоскостью симметрии поверхности вращения?

11. Может ли поверхность вращения иметь более чем одну ось вращения?

12. Верно ли утверждение: “любая поверхность, имеющая ось симметрии, является поверхностью вращения”?

13. Как записывается в прямоугольной декартовой системе координат Охуzуравнение поверхности, образованной вращением вокруг осиОzлинии, заданной уравнениямиСформулировать аналогичную теорему об уравнении поверхности вращения, если ось вращения

14. Даны две прямые а, b,лежащие в одной плоскости. Что представляет собой поверхность, образованная вращением прямойавокруг прямойb?

15. Верно ли утверждение, что поверхность вращения, имеющая две пересекающиеся взаимно перпендикулярные оси вращения, имеет:

а) центр симметрии, б) еще одну ось вращения, в) бесконечно много осей вращения? Что это за поверхность?

Пример. Составить уравнение поверхности, образованной вращением параболы, заданной системойвокруг осиОz.

Решение. Запишем уравнение параболы в видеТогда по сформулированной выше теореме искомое уравнение поверхности вращения имеет вид

Задачи

1. Написать уравнение поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси 0х(оси0y) линии, заданной уравнениями:

а) б)в)

2. Доказать, что поверхности, заданные следующими уравнениями являются поверхностями вращения:

а) x² – y² + z² = 0,б)x² + y² = 4,в)x⁴ + 2x²y² + y⁴ + x² + y² + z = 0.

Найти образующую линию и ось вращения каждой поверхности.

3. Дана поверхность x² + y² – 2z² = 1. Найти линии её пересечения с координатными плоскостями и плоскостями, им параллельными и проходящими от них на расстоянии 1 по обе стороны. Изобразить проекции этих сечений на соответствующие координатные плоскости.

4. Исследовать методом сечений поверхности второго порядка:

а) x² + y² – 2y = 0,б)x² – 2x – 2y + 1 = 0.

5. Напишите уравнение поверхности, образованной вращением:

а) эллипса вокруг осиOx,

б) гиперболы вокруг осиOz,

в) параболы вокруг осиOz(вокруг осиOx).

Домашнее задание

1. В плоскости Oyzдана окружность с центром в точке (0,4,0) радиуса 1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением данной окружности вокруг осиOz.

2. Написать уравнение поверхности, образованной вращением параболы, заданной уравнениями z²= 10y,x = 0 , вокруг осиOz.

3. Доказать, что поверхность, заданная уравнением, является поверхностью вращения:

а) ,

б) .

4. Выяснить, можно ли через точку этой поверхности провести прямую, каждая точка которой принадлежит этой поверхности?

5. Определить вид сечения однополосного гиперболоида, заданного уравнением, плоскостью, проведенной через точку (0, 0, 1) параллельно плоскости Оху.

6. Исследовать методом сечений поверхность, заданную уравнением x² + 2y² - 4z² – 8z = 8.

Задачи повышенной трудности

1. Написать уравнение поверхности, образованной вращением параболы с фокальным параметром вокруг ее директрисы, если парабола лежит в плоскости, симметрична относительно оси ординат, а ее директриса совпадает с осью вращения

2. Линия в пространстве задана уравнениямиДоказать, что поверхность, образованная вращениемвокруг осиимеет уравнение