- •Аннотация
- •Линия порядка
- •Примеры линий второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Пара пересекающихся прямых.
- •5. Пара параллельных прямых.
- •6. Пара совпавших прямых.
- •7. Мнимый эллипс.
- •8. Пара мнимых пересекающихся прямых.
- •9. Пара мнимых параллельных прямых.
- •Теорема о классификации кривых второго порядка
- •Вопросы для самоконтроля
- •Общая теория кривых второго порядка
- •1. Пересечение линии второго порядка с прямой.
- •2. Асимптотические направления.
- •3. Центр линии второго порядка.
- •4. Касательная к линии второго порядка.
- •5. Диаметры линии второго порядка.
- •6. Сопряженные диаметры. Сопряженные направления.
- •7. Главные направления.
- •8. Главные диаметры.
- •Вопросы для самоконтроля
- •ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •1. Эллипсоид.
- •2. Однополостный гиперболоид.
- •3. Двуполостный гиперболоид.
- •4. Конус.
- •5. Эллиптический параболоид.
- •6. Гиперболический параболоид.
- •Цилиндры.
- •Мнимые поверхности.
- •Литература
Общая теория кривых второго порядка
Пусть линия второго порядка γ в декартовой системе
координат задана общим уравнением (1).
1. Пересечение линии второго порядка с прямой.
Пусть в декартовой системе координат прямая l задана параметрическими уравнениями
|
|
|
x = x0 + p1t , |
y = y0 + p2t . |
(23) |
Прямая l |
проходит через точку |
M 0 (x0 , y0 ) параллельно вектору |
|||
|
|
( p1 , p2 ) . |
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой |
l с |
|
|
p |
линией γ , надо выражения для x и y из уравнений (23) подставить в уравнение (1). При этом после приведения подобных членов получим:
|
|
Pt 2 |
+ 2Qt + R = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = a p |
2 |
+ 2a |
p p |
2 |
+ a |
22 |
p 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
(25) |
|||||||
|
|
11 |
|
1 |
|
12 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Q = a11 p1 x0 + a12 ( p1 |
+ p2 ) + a22 p2 y0 |
+ a10 p1 |
+ a20 p2 , |
26) |
||||||||||||||||||||
R = a x |
2 + 2a x |
|
y |
0 |
+ a |
22 |
y 2 |
+ 2a x |
0 |
+ 2a |
20 |
y |
0 |
+ a |
00 |
. |
(27) |
|||||||
11 |
0 |
12 |
0 |
|
|
0 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Каждому корню уравнения (24) соответствует точка пересечения. Обозначим через D дискриминант уравнения (24): D = 4(Q2 − PR) .
Если P ≠ 0 в зависимости от значения дискриминанта δ возможны следующие три случая взаимного расположения кривой второго порядка и прямой:
а) если D > 0 – две различные действительные точки пересечения,
б) если D = 0 – пара совпавших действительных точек, в) если D < 0 – две мнимые комплексно-сопряженные точки.
Если P = 0 , то уравнение (24) принимает вид 2Qt + R = 0 . В
этом случае возможны следующие случаи взаимного расположения прямой и кривой второго порядка:
а) если Q ≠ 0 – единственная точка пересечения,
б) если Q = 0, R ≠ 0 – точек пересечения нет,
в) если Q = 0, R = 0 – прямая l γ .
В силу (25), коэффициент P в уравнении (24) зависит только от направления прямой l . Значит, если для некоторого вектора p( p1 , p2 ) : P ≠ 0, то все прямые, параллельные вектору p ,
пересекают линию в двух точках (вещественных различных, мнимых комплексно-сопряженных, двух совпавших). Если P = 0 , то либо l γ , либо прямая l пересекает линию γ не более чем в одной точке.
2. Асимптотические направления.
Направление, определяемое ненулевым вектором p , называется
асимптотическим направлением относительно линии второго порядка γ , если прямая, параллельная вектору p , либо имеет с линией не более одной общей точки, либо содержится в линии γ .
Можно доказать (см., например, кн. [2]), что ненулевой вектор p( p1 , p2 ) определяет асимптотическое направление тогда и только тогда, когда
a |
p 2 |
+ 2a |
p p |
2 |
+ a |
22 |
p 2 |
= 0. |
(28) |
11 |
1 |
12 |
1 |
|
2 |
|
|
Несмотря на то, что нулевой вектор удовлетворяет соотношению (28), он не определяет асимптотического направления, так как нулевой вектор вообще не определяет никакого направления. Поэтому в определении асимптотического направления предполагается, что p ≠ 0 .
Можно доказать, что если линия γ задана общим уравнением (1) и
δ = a11a22 − a12 2 , то:
а) если δ > 0 , не существует асимптотических направлений относительно линии. Линия γ в этом случае называется линией
эллиптического типа. Легко проверить, что к линиям эллиптического типа относятся эллипс, мнимый эллипс и пара мнимых пересекающихся прямых.
б) если δ < 0, существует два асимптотических направления, угловые коэффициенты которых находятся следующим образом:
|
|
= − a12 ± |
|
|
k |
1, 2 |
−δ |
, линия γ в этом случае называется линией |
|
|
a22 |
|
||
|
|
|
гиперболического типа. К линиям гиперболического типа относятся гипербола и пара пересекающихся прямых.
в) δ = 0 , существует одно асимптотическое направление. В этом случае линия γ называется линией параболического типа. Линиям параболического типа являются парабола, пара параллельных прямых, пара совпавших прямых, пара мнимых параллельных прямых.
3. Центр линии второго порядка.
Точка C называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии.
Для того, чтобы точка C(x0 , y0 ) была центром симметрии линии второго порядка, заданной уравнением (1), необходимо и
достаточно, чтобы пара чисел x0 , y0 |
была решением системы: |
|
|||||||
a x + a |
y |
+ a |
= 0 |
. |
(29) |
||||
|
11 |
|
12 |
|
10 |
|
|||
a21 x + a22 y + a20 = 0 |
|
|
|
||||||
Существование и число центров линии γ |
зависит от наличия и числа |
||||||||
решений этой системы. Пусть r |
и R – ранги матриц |
|
|||||||
a |
a |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
11 |
12 |
, |
|
11 |
12 |
10 |
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
a21 |
|
a21 |
a20 |
|
соответственно. Возможны следующие случаи:
1. r = R = 2 – система (29) имеет единственное решение. Значит, линия γ имеет один и только один центр. Такие линии называются
центральными. К относятся эллипс, гипербола, пара пересекающихся прямых, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых.
2. r = R =1. Система (29) имеет бесконечное множество решений, а линия γ – прямую центров. Эта прямая задается любым из уравнений системы (29). Такими линиями будут пара параллельных прямых, пара мнимых параллельных прямых, пара совпавших.
3. r =1, R = 2 . Система несовместна, линия γ центров не имеет,
например, парабола.