УМФ ЛК

41

1

C e

Компакт Шварца:

f

(x)

x2

2 ,

x

,

1

.

0,

,

x

supp( f (x))=[- , ].

Можно показать, что C (R1 ) L (R1 ).

0

2

~

1

f C (R1 ) f ( p)

C (R1 ) и убывает при

p

быстрее,

чем

N.

0

p

N

Свойства преобразований Фурье.

1) Равенство Парсеваля: f , f

~ ~

L ( R1 ) , т.е.

Fx p

L ( R1 ) f , f

допускает изометрию.

2

x

2 p

f (x) F 1

~

2а) i

p , т.е.

i

( f ( p) p).

x

x

~

2б) x i

, т.е. x f (x)

F 1 i

f ( p).

p

p

Доказательство.

2а)

(6)

1

~

1

~

1

~

i

f (x) i

eipx

f ( p)dp

i ip eipx f ( p)dp

p eipx f ( p)dp

x

2 R1

2 R1

2 R1

~

x

F 1

( p

f ( p)).

2б) Аналогично.

Замечание 1.

Рассмотрим преобразование Фурье в многомерном случае.

(5) (5')

Свойство

F

( f (x))

1

e i p,x

f (x)d n x.

x p

2

Rn

n

2

n

2а) приобретает вид:

p j

2

p

2 p2 .

x j

2

j 1

j 1

Доказательство теоремы Пуассона.

~

u(x,t) u (x,t).

В дальнейшем ограничимся случаем n=1. Случай n>1 рассматривается аналогично.
~	~		2 ~
	u
(1)	t		p u ( p,t),
~	~		~
(2)	u	t 0 ( p).

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 2 «Уравнение диффузии или тепло- проводности. Метод разделения переменных (метод Фурье) его решения».

42

~

~

a2 p2t

(6)

1

~

1

e

ipx

a2 p2t ~

u ( p,t)

( p) e

u(x,t) Fp x

(u ( p,t))

e

( p)dp

2

R1

1

1

eipxe a2 p2t

e ip ( )d dp

G(x, ,t) ( )d

(7)

2

R1

2 R1

R1

Здесь G(x, ,t)

1

eip( x )e a2 p2t dp

(8)

2

R1p

При t>0

G C (R1

R1

R1

) .

x

t

Вычислим интеграл (8).

1

( x )2

2

2

i(x )

2

(8)

e 4a t

e a

t ( p )

dp

;

2

R1

2a

t

1

1

( x )2

e y2 dy

1

1

( x )2

e 4a2t

e 4a2t .

2 a

t

R1

2a

t

Т.о. теорема Пуассона доказана.

				dy
	p p; a t p y; dp
				a t

Теорема 2.

(1')	u a2 u f (x,t),
	tt
	u			0.
(2')
			t 0

По принципу Дионеля решение этой задачи:

t

u(x,t) W (x,t, )d

0

t
			G(x,
t t
0	R1

,t ) f ( )d d , 0 t.

Свойства ядра Пуассона.

1)Пусть 0<t< , x, R1. Тогда, если (x) const , то G(x, ,t) C (R1x R1 (0; )) .

2)При t >0 G удовлетворяет уравнению теплопроводности:

G a2 G.t

3) При t >0: G( R1

ной величины x.

G

1

x, ,t)d 1, т.е. G – плотность нормального распределения случай-

Математическое ожидание: M(x)= . Дисперсия: D2(x)=2a2t.

t1 t

2a t

2a2t

t

x

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 2 «Уравнение диффузии или тепло- проводности. Метод разделения переменных (метод Фурье) его решения».

43

4) G(x, ,t) ?
					t 0	0, x ,
lim G(x, ,t)							(x ).
t 0 0						, x .
								0			0
Т.о. получаем задачу Коши для G:
	G
				2	G,						- точечный
	t			a		G – функция Грина задачи Коши (1)-(2).
											источник
			t 0 (x ).								тепла
G

Замечание 2.

Рассмотрим вопрос о том, когда доказанная формула дает классическое решение задачи (1)-(2)? Для этого необходимо выполнение условий:

1)u(x,t) C 2 (R1x (0,T )),

2)u t 0 0 (x).

Заметим, что u(x,t) C (R1 (0,T )). Действительно:

x

k

k

1

( x )2

(x )k 1 e

2

u ~

G ( )d ~

4a

t d I .

xk

xk

2

t

Сходится ли I равномерно? Будем считать, что

(x)

const.

( x )2

z2

I

C

x

k 1 e

4a2t d x z C

z

k 1 e

4a2t

dz - сходится при t>0 I сходится

равномерно u(x,t) C (R1x (0,T )) по соответствующей теореме из математического

анализа.

Осталось доказать только пункт 2), что и делает следующая лемма.

Лемма 1.

Пусть u t 0 (x) C R1 .

Тогда lim u(x,t) (x) , где u(x,t) G(x, ,t) ( )d .

t 0 0

И, т.о., формула Пуассона дает классическое решение рассматриваемой задачи (1)-

(2).

Доказательство.

u(x,t) (x)

G(x, ,t) ( )d 1 (x)

G(x, ,t)( ( ) (x))d

, т.к.

Gd 1 .

R1

R1

R1

( x )2

e

4a2t

x

G

. Сделаем замену переменных: y

2a

t

4a2t

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 2 «Уравнение диффузии или тепло- проводности. Метод разделения переменных (метод Фурье) его решения».

u(x,t) (x)

I (x, y) 0 ,

t 0 0

1

e y2 ( (x

4a2t y) (x))dy

при

t

( )

R1

I (x,y)

1

e y2

1

т.к.

I (x, )

(x 4a2t y) (x)

dy

R1

по теореме о предельном переходе под знаком интеграла. И, т.о., лемма 1 доказана.

44

, т.к.

2sup(x) e y2 dy

x R R1

Замечание 3.
				x	Какова		скорость распространения
	(x)				тепла в бесконечно-длинном стержне?
					x t(x, L) : u(x,t) 0, t t(x, L)
0		0
						L		vраспр. тепла
		L
						t(x, L)
	b
	u(x,t) G ( )d 0 x,t 0 t(x, L) 0 vраспр. тепла						.

a

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 2 «Уравнение диффузии или тепло- проводности. Метод разделения переменных (метод Фурье) его решения».

45

Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций»

§1. Эвристические соображения

Переформулируем результат леммы 1.

Сделаем замену переменных:

4a2t , положим х=0, заменим на x. Тогда:

x

2

1

G (x,t) G(0, x,t)

2

. Лемма 1 говорит о том, что

G (x,t) (x)dx (0) (1)

e

lim

0 0 R1

Поставим вопрос:

lim G (x,t) ? Можно доказать, что поточечной сходимости здесь нет,

0 0

т.к. в этом случае

lim G (x)

1

, x 0,

0 0

0, x 0.

Но инженеры (прикладные математики) все-таки вводят функцию – предел G . Они гово-

рят, что G (x) (x) ,

где (x) определяется соотношением: (x) (x)dx (0) , т.е. (x)

0 0

R1

– функционал на C(R1).

((x))

(x) (x)dx (0).

R1

Функцию (x)

0, x 0

называют еще функцией Дирака.

, x

0

(1) C(R1 )

lim

G (x) (x)dx (0) (x)dg(x)

- интеграл Лебега-Стилтьеса, где

0

R1

R1

g(x)

g(x) – функция, ограниченная вариацией.

1

x

0

Пример.

r

x 2 x

2

x 2 .

1

2

3

1

3

2

1

Найдем

.

Аккуратно продифференцировав, мы получим, что это

x

2

r

j 1

j

r

выражение равно 0, т.е.

1

- гармоническая функция.

r

q 1

Действительно, рассмотрим единичный точечный заряд и функцию

u

1

. Как известно из физики, эта функция удовлетворяет уравнению

r

r

Пуассона:

1

1

u

u 4 , = (x), т.к. заряд точечный. И, т.о.,

4 (x) и,

r

r

если r 0, то (x)=0

1

r, r 0.

r

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

46

§2. Основные определения теории обобщенных функций

Определение 1 (пространство основных функция).

D(R1) – пространство основных или пробных функций, а именно: пространство бес-

конечно дифференцируемых функций, имеющих компактный носитель:

D(R1 ) { , C (R1 ) supp компакт в R1}. Вспомним: supp {x, (x) 0}.

D(R1) , т.к. ему принадлежит, например, рассматриваемый ранее компакт Шварца.

Определение 2 (сходимость).

Введем в пространстве D(R1) понятие сходимости.

Пусть { n} D. Тогда мы скажем, что n D, если выполняются условия:

1) K, n : suppn K;

	2) ( ) (x) ( ) (x), N, где ( ) (x)		d	(x).
			dx
	n

Определение 3 (определение обобщенной функции).

Обобщенная функция – это непрерывный линейный функционал на D. f : D(R1x ) R1.

D’={f , f – линейный непрерывный функционал на D} – пространство обобщенных функций.

Замечание (об обычных функциях).

Всякая обычная функция является обобщенной. Под обычной функцией мы будем понимать функцию f (x), которая локально и абсолютно интегрируема по времени.

Если f – обычная, тогда соответствующая обобщенная функция определяется так:

	f () f (x) (x)dx (1)

Обычные функции называются обобщенно регулярными.

Обобщенные функции, не являющиеся обычными, называются сингулярно обобщенными. Примером может служить -функция Дирака.

§3. Свойства обобщенной - функции Дирака

Предварительное уведомление.

Большинство описанных здесь свойств будет объяснено и обобщено в последующих параграфах.

Вариант определения - функции.

def	x0 D *. Вариант записи: x0
x0 () (x ),		(x x ).
0		0

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

47

x0 () (x0 ) x0 (x) (x)dx (x x0 ) (x)dx x0 , L2 .

R1 R1

Производная - функции.

(n) (x x0 ) d nn (x x0 ) : D(R1 ) R1. dx

(n) (x x0 ), (x) ( 1)n (n) (x0 ) D.

Первообразная от - функции.

(x x0 )		1,	x x0 ,		(x x0 )
			x x0 .
		0,			- «тета»-функция.
d (x x ) (x x ), где (x x )
dx	0		0	0

x x0

Умножение на гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию.

g(x) C (R1 ) g(x) (x x0 ) g(x0 ) (x x0 ).

Серьезной проблемой является нахождение (x x0 ) (x x0 ) 2 (x x0 ). Классическая математика не в состоянии этого сделать.

Носитель - функции.

supp (x x0 ) {x, x x0} { D(R1 ) , supp {x x0} }. Для всех других : (x x0 ),(x) 0.

Замена переменных.

Рассмотрим (g(x)).

g(x) C (R1 ), x j : g(x j ) 0, j 1,2, ; j J. g (x j ) 0.

Тогда полагаем: (g(x)) (x x j ).
j J	g (x j )

Пример 1.

g(x)=ax. (ax) (x) (x) (x). a

(x),(x) (x) (x)dx x x

Покажем это.

	(x ) (x )dx (x ) (x )dx (0).

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

48

Пример 2.

g(x) sin x.

sin x 0 x j j, j Z.

x x j cos x

x x j 1 0.

sin x

(sin x) (x j) : supp [a,b], (sin x), (x)

j

( j).

(x j), (x)

( j)

j

j

j: j [a,b]

Пример 3.

Покажем, что (x2+1) 0.

Пусть supp [a,b]. Тогда:

b

b2 1

1

(x2

1), (x) (x2 1) (x)dx

t x2 1

(t) ( X (t))

dt 0

. Обоснуем

dt

a

a2 1

dx

исходя из свойства носителя - функции:

~

1

),

~

2

1,b

2

1] {t 0} .

( X (t))

(t) D(R

supp [a

1

g(t) C .

dt

( X (t))

dx

Преобразование Фурье - функции.

Fx p ( (x x0 ))

1

e ipx (x x0 )dx (x x0 ),

e

ipx

e ipx0

.

2

R1

2

2

Положим x0=0 Fx p ( (x x0 ))

1

~

( p).

2

F 1

1

(x)

1

eipxdp.

p x

2

2

Формулы Сохоцкого.

1

1

1

1

def

i (x) P

, где

lim

в D’.

x i0

x

x i0

0 0 x i

1

(x)

dx i (0) P

1

, , где

lim

,(x) lim

x i

x i

0 0

0 0

x

1

(x)

(x)

(x)

def

P

, v.p.

dx

dx lim

dx - интеграл в смысле главного

x

x

0

x

x

значения. Он не совпадает с несобственным интегралом. Так, хотя 1x - не суммируемая в нуле и на бесконечности функция в смысле несобственного интеграла, но:

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

49

1

1

A

1

v.p.

dx 0 , т.к.

dx

dx 0

A 0.

x

A

x

x

-функция, как слабый предел -образной последовательности.

Пусть O (0).

Последовательность {

(x) C (R1 )} называется - образной, ес-

0

ли выполняются условия:

1) (x)dx 1

;

2) lim (x) (x)dx (0) D(R1 )

0

											def
lim , (0) , lim (x) (x) - слабый предел.
0																				0
Примеры.
																	x		2
							1
1)			(x)										e						2	( 2a t ). Используется в процессах тепломассопере-
носа.
2)			(x)	1						2									. Используется в радиотехнике, теории связи.
									x2							2
									sin		x
					1
3)			(x)												. Используется в оптике, распространении электромагнитных
										x

волн.

Задача.

Доказать, что 2), 3) - -образные последовательности.

§4. Дифференцируемость в D’

Предварительное замечание.

Пусть f D’. Чему равна производная этой обобщенной функции?

Пусть этой обобщенной функции соответствует обычная функция f (x) (C1(R1)):

D f , f (x) (x)dx .

Тогда определена ее производная f . Естественным путем поставим этой производной функционал и найдем его:

def
(1) f ,	f (x) (x)dx f		f (x) (x)dx f , (x) f ,( 1) (x) .
	0

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

50

Определение 1 (производная обобщенной функции).

Пусть f D’. Тогда определена ее производная:

def

(2) f D : f , ( 1) f , .

Данное определение корректно, т.е. правая часть – линейный непрерывный функционал на D.

Следствие (о бесконечной дифференцируемости обобщенной функции).

Пусть f D’.

	(k )	d			(k )
Тогда f					f k N , т.е. любая обобщенная функция бесконечное число
		dx

раз дифференцируема в D’, и ее k-ая производная определяется так:

f (k ) , ( 1)k f , (k ) (x)		D.
									(x)
Пример (тета-функция).							1
Как обычная функция, тета-функция не дифференциру-										x
ема в нуле. Найдем ее производную, как производную
обобщенной функции.
	(x), (x) ( 1) , (x) ( 1)			(x) (x)dx				(x)dx
D							(x)
						0	1

( 1)[ ( ) (0)] (0) в смысле равенства функционалов в D .

0

Теорема (о дифференцировании кусочно-гладкой обобщенной функции).

Пусть f (x) – кусочно-гладкая (кусочно-дифференцируемая с разрывами 1-го рода). Будем считать без нарушения общности, что разрыв только в точке x0. Т.о.

f (x) в кассическом смысле x x . Будемобозначать ее f

(x).

f (x)

Обозначим A f (x) x x0

0

классич.

lim

f (x)

lim f (x) .

x x0 0

x x0 0

Тогда в пространстве D’

f

A (x x

) f

(x)

(3)

0

классич.

x

Доказательство.

x0

x0

D

f

, ( 1) f ,' ( 1) f (x) (x)dx ( 1)

f (x) (x) f (x) (x)

0

x0

x

x0

( 1) f (x) (x)

(x) (x)dx f (x) (x)

(x) (x)dx

fклассич.

x0

fклассич.

x

0

(x) (x)dx ( 1) f (x

)

f

0

0) (x ) f (x

0

0) (x

f

(x) (x)dx A (x

).

классич.

0

0

классич.

0

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».