УМФ ЛК

51

§5. Умножение в D’

Пусть f D’. Дана функция g(x) C (R1 ). Требуется определить g(x) f D .
x
Определение 1 (умножение на функцию).
def
(1) g(x) f (x),(x) f , g(x)	D.

Определение корректно, т.к. D g(x) D.

Пример 1.

Рассмотрим x (x), (x), x (x) x (x) x 0 0 x (x) 0.

Пример 2.

g(x) (x)=g(0) (x).

Теорема 1 (правило Лейбница).

Имеет место равенство:

(2) (g(x) f ) g	(x) f g(x) f	f D ,g(x) C (R1 ).
классич.

Доказательство.

опр. f		опр.1
(g(x) f ) , (x)	( 1) g(x) f , (x)	( 1) f , g(x) (x)
( 1) f , g(x) (x) g (x) (x) g (x) (x) ( 1) f ,(g ) (x) ( 1) f ,g (x) (x)
(g ) (x)
	опр.1
f , g(x) (x)	f , g (x) g(x) f , (x) g (x) f , (x)
g(x) f g (x) f , (2).

Пример 3.

(x (x)) x (x) x (x) (x) x (x).

x (x), (x)	опр.1	(x), x (x)	опр. f	( 1) (x), x (x) (x) ( 1)(x (x) (x))
					x 0

( 1) (0) ( 1) (x), (x) (x), (x)(x (x)) (x) (x) 0.

Это также можно доказать из уже доказанного факта о том, что x (x)=0. Действи-

тельно, тогда (x (x)) 0 0.

Пример 4.

x 0 y(x) 0

Рассмотрим функциональное уравнение x y(x)=0

x 0 y(x) ?

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

52

Как видно, с классической точки зрения решение этого уравнения не определено в нуле.

Рассмотрим это уравнение с точки зрения обобщенных функций.

x y(x)=0, y(x) D’. Из примера 1 следует, что y(x)= (x) удовлетворяет этому уравне-

нию, и y(x)=C (x) также решение этого уравнения.

x y(x),(x) 0 D x y(x) 0.

Замечание.

Других решений у этого уравнения нет (без доказательства).

Пример 5.

Почему g(x)f определено лишь для g(x) C (R1)?

Пусть g C (R1). Если аналогичным образом определить эту функцию, то, оказывается, можно доказать, что 0=1 (!).

Действительно, возьмем (x) такую, чтобы:

(x) D, (0) 1, (x)dx 1.

операцию умножения на

(x)

1

Вспомним о обобщенной функции P

1

P

1

,(x) v.p.

(x)

:

x

x

x

1

Очевидно, что

x P

1.

Рассмотрим:

x

1

пр р 1

1

?!

1

0 0 P

(x

(x)) P

(x) xP

(x) 1 (x). Тогда:

x

x

x

(x),(x) (0) 1, но согласно полученному:

(x),(x) 0,(x) 0 0 1

(!)

Возникшее противоречие связано с тем, что равенство помеченное,

	1		C (R1 ).
ное в связи с тем, что P
x

dx .

как «?!», невер-

§6. Замена переменных в D’

Определение (линейная замена переменных).

Пусть f D , g(x) ax b, a 0 f (g(x)) f (ax b). Тогда положим по определению:

def

f (ax b) (x)dx

f (t) (g 1 (t))

dt

(1)

f (ax b), (x)

t g ( x) ax b

g (x)

t b dt

R1

1

t b

R1

x g 1 (t )

f (t)

f (t),

.

1

a

a

a

a

R

Если f – обычная функция, то (1) превращается в равенство, если обобщенная, то это определение.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

g (x j )

				53
Замечание 1 (о корректности определения).
t b
Определение корректно. Действительно,				D , т.к. это та же самая функция
	a
, но смещенная вправо на b и сжатая в a раз.	t b
(t)
			a

-

b

Замечание 2.

(1)

1

t b

1

b

(ax b), (t),

.

a

a

a

a

Если b=0, то (ax),

1

(0)

1

(t),(t) (ax)

(x) .

a

a

a

Если a= -1, то (-x)= (x), т.е. (x) – четная функция.

Теорема (замена переменных в функции Дирака).

Если g(x) – не линейная функция, но гладкая (бесконечно дифференцируема), то для(x) можно определить (g(x)) в случае, когда выполняется следующее условие:

		) 0,
(2)	x j : g(x j ) 0, g (x j
	j J - счетное множество.

В этом случае имеет место формула:

(3) (g(x)) (x x j ) .

j J

Доказательство

I. Пусть g(x) 0 x. Тогда очевидно, что (g(x))=0 (доказывается аналогично примеру 3 из §3).

II. Пусть J={x0} т.е. состоит из одной точки. g(x) g(x0)=0, g’(x0) 0. Пусть g’(x)>0.

def		(g	1 (t))
(g(x)), (t),					.
		g (x)		x g 1 (t )

Т.к. g’(x)>0, то Im g [ A, B] (Im – обозначение

образа).

(x) supp [a,b].

1)x0 [a,b] 0supp(g 1 (t)) [g(a), g(b)].

Т.о. g -1(t) 0, t [g(a), g(b] (g(x)), 0.

2)x0 [a,b].

x

x0

		t
	(x)	g(x)
		x
a	b	x
		g(b0)
		g(a)

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

(g(x)), (x)	(g	1 (0))
	g (x)		x g 1 (0)

(x x0 ), (x) (g(x)) g (x0 )

III. Пусть теперь J 1. g(x)

x j

(x0 ) g (x0 )

(x x0 ) . g (x0 )

x

54

t

g(x)

(x)

g(b)	x

g(a) a x0 b

{xj} – нули первого порядка.

Эту часть мы докажем исходя из следующей леммы.

Лемма (о разбиении единицы).

Существует разбиение единицы, т.е.

Пусть {V j } -

интервалы,

покрывающие все R1,

такие,

что для

j’=j=1,2,…,M xj Vj,

т.е. Vj

содержит

ровно один

корень

g(x), а

Vj j , j 1,2, M , не содержит ни одного корня.

Причем j’ J – счетное множество и V j попарно пересекаются.

Тогда существует набор функций {e j (x) D(R1 )}, подчиненный разбие-

нию V j , т.е.: suppe j Vj и e j 1 x R1

(*) Причем e j j (x j ) 1.

1

j J

x1	x2	x j	xM
V1	V2	V3	V
			M

V j j

Разобьем R1 на интервалы, указанные в лемме, причем так, чтобы на V j j функция g(x) была бы монотонной.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

55

(*)

Т.о. D (g(x)), (x) (g(x)),1 (x) (g(x)), e j (x) (x)

				j J
		M
(g(x)),	e j (x) (x)	(g(x)),	e j (x) (x)
j J		j j 1
	ее носитель		на ее
	V j		носителе
			g(x) строго
			монотонна
			и
			! xj: g(xj )0.

пред. результат M

(x x j

)

(g(x)),

e

(x)

,e

(x) (x)

0

j

j

g (x j )

j j

j 1

j j

на ее

носителе

g(x)0.

M

(x x j

)

, (x) .

g (x j )

j 1

Объяснение последнего равенства:

(x x j ),e j (x) (x) (x x j ),(x) , т.к.

e j (x j ) 1.

Т.о. теорема доказана.

§7. Классическое преобразование Фурье

Напоминание (классическое преобразование Фурье).

Пусть f L2(R1).

~				1
							e ipx f (x)dx (1)
f (x) f ( p) F		( f (x))( p)		2
x p
~		~			~				~
f ( p) f (x) F	p x	( f ( p))(x) F 1 ( f ( p)) F ( f ( p))

	1			~
			eipx f ( p)dp (2)
	2

Теорема 1 (теорема обращения).

F F F F 1, если f L2(R1).

Без доказательства.

Замечание 1.

Если f D(R1), то теорема 1 доказывается легко (тривиально), но D(R1) всюду плотно в L2(R1).

Лемма 1 (Лебега).

~		1
					e ipx f (x)dx .
Пусть f (x) L (R1 ) f ( p)		2
1 x

Тогда Фурье-образ функции существует, и выполняются свойства:

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

56

1)	~					~
	f ( p) C(R1 ),					f
		p

~ ~

2)f ( p) 0 ( f ( p)

p

	1		f			1		,
				L1
						2
	C ( Rp )

o(1) ( p )).

(x)

Пример 1.	1

f (x)										,	(x) L1
								2																																x
										2
																											sin		p
~				1									1							2				2										2		2
f ( p)										e ipx (x)dx										e ipxdx								2		.
					2										2
																												p
~																					2
	?
f ( p) C (R1 ).
										p
Лемма 2 (об Фурье-образе производной).
Пусть f(x) – непрерывно дифференцируема, и																											f (x), f			(x) L (R1 ).
																														1
Тогда Fx p ( f (x)) ip Fx p ( f (x)) (3)
Доказательство.
				1									1																			1
								e ipx f (x)dx									e ipx f (x)							ipe ipx f (x)dx													ipe ipx f (x)dx ,
				2										2																			2
	т.к. lim							f (x) 0 , т.к. f(x) L1(R1). Лемма 2 доказана.

x

Замечание 2.

Следствие из леммы 2: чем больше суммируемых производных имеет оригинал, тем быстрее убывает его Фурье-образ, т.е.:

Пусть f (k ) (x) L (R1 ), k N.
			1 x
	d k		f (x) Fp 1 x ( pk		~
Тогда i					f ( p))
	dx
				~			1
В силу леммы Лебега				pk f ( p)						( i)k f
					1		2
					C ( R )

~

~

1

1

k

o(1) или

o(1) O

p

f ( p)

f ( p)

p

k

p

k

(k ) (x)

L1

( p ) 0.

Лемма 3.

Чем быстрее убывает оригинал на бесконечности, тем более гладкой функцией явля-

	ется предел Фурье-образа, т.е. если xk f (x) L (R1 ), k N
	~	1 x
		( f (x)) C k (R1 ).
	f ( p) F
	x p

Доказательство.

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

(( p)) D.

					57
Лемма очевидна по модулю двух фактов:
		d k		~
1)	i			f ( p) F	(xk f (x)). Это доказывается «в лоб», т.е. с помощью тупо-
				x p
		dp

го дифференцирования (воспользовавшись теоремой о дифференцировании несобственных интегралов по параметру).

2) Лемма Лебега.

Следствие.

									sin p
F								~		C (R1 ) (является бесконечно дифференцируемой).
x p									p	p
					2	,
							2

§8. Обобщенное преобразование Фурье (для обобщенных функций медленного роста)

Следующее определение некорректно.

«Определение 1» (обобщенное преобразование Фурье).

Пусть f D’.

def

(1) Fx p ( f (x)),( p) f (x), Fp x (( p)) ( p) D(R1p ).

Замечание 1 (некорректность определения 1).

Формула (1) в случае, когда f и - обычные функции, есть тождество, но с точки зрения обобщенных функций она некорректна, т.к. (p) D, но Fp x

Исправим это. Для этого сузим класс обобщенных функций, тем самым расширив класс основных функций.

D(R1 ) S(R1 ),

D S .

Определим S и S’.

Определение 2 (пространство Шварца).

Рассмотрим пространство S(R1x ) - пространство Шварца – пространство бесконеч-

но дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности быстрее любой степени x, да еще вместе со всеми своими производными, т.е.:

(x) S(R1x )	x			(x)	C ,	, Z , x R1	(2)
		x
						(x)

Пример 1.

(x) e	x2
	2 S , но (x) D.		x

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

58

Определение 3 (обобщенные функции медленного роста).

Пространство линейных непрерывных функционалов на S – пространство S’ –, назы-

вается пространством обобщенных функций медленного роста.

Т.к. S D, то S’ D’.

Пример 2.

x2

f (x) e 2 .

x2

f , e 2 (x)dx D f D' , но

x2			сходится не для каждого S (пример: e	x2
f , e	2	(x)dx		100	).

Лемма 1 (инвариантность преобразования Фурье).

S(R1) инвариантно относительно преобразования Фурье в следующем смысле:

S(R1x ) Fx p S(R1p ).

Доказательство.

Пусть (x) S. Будем основываться на свойствах оператора Фурье.

~

Т.к.

i

p

, а x i

, то (2)

i

(ip)

( p)

C

x

p

,

p

~

~

~

1

(2)

p

( p)

C ,

, Z

, p ( p) S(Rp ) .

p

1

1

Осталось доказать,

что

S(Rx )

S(Rp )

морфно.

(x)

ker Fx p

{0} Fx p

-

сюръекция.

Эта часть доказательства опущена (смотри в книге Колмогорова).

Fx p - изо-

инъекция и

Т.о. мы доказали, что для обобщенных функций медленного роста формула (1) корректным образом определяет преобразование Фурье, т.е.:

(x) S Fx p () S.

Пример 3 (Фурье-образ функции Дирака).

?

f (x) (x) S D .

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

																										59
														опр.1									1
( p) S(R1 )						F			( (x)), ( p)						(x), F					p x	( ( p)) (x),					e ipx ( p)dp
				p				x p															2
						~			( p)
		1							1						1
				e ip0 ( p)dp									( p)dp						, ( p) S.
		2									2						2
			~			1
Итак, ( p)								.
						2

Пример 4 (формула обращения).

Для обобщенных функций из S’ имеет место формула обращения Фурье:

F F F F I. Покажем это, используя теорему обращения для классического преобразования Фурье.

S, f S

опр.1

опр.1

F

(F ( f )),

F ( f ),

F

()

f ,(F

F

)( )

лемма 1

I

f ,

F I.

F

Пример 5 (разложение -функции на плоские волны).

пр р 4

пр р 3

1

1

1

eipx

(x) I (x)

(

F

F)( (x))

F

(F ( (x))

F

2

2

2

спектр

сигнал

сигнала

~

(x)

( p)

1

2

p

f , I ( )

		1
	dp		eipxdx.
		2

x

§9. Оператор Лапласа и обобщенные функции

Пример.

Докажем, что в D’ выполняется формула:

			1							3
(1)					4 (x),					x R	.
	r
3			2
						, (x) (x1 ) (x2 ) (x3 ).
		x j			2
j 1
r x		2 x					2	x 2 .
1					2			3

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».

Известно, что, если r 0, то		1		0 ,
	классич.
	r

	1	,	1	, (x)		1	(x)d 3 x
					3 r
r			r
					R

Воспользуемся 2-ой формулой Грина:

где 1r - обычная функция.

					1
	lim					(x)d 3 x	(2)
	0			R r
	R		x

I ,R

(3) (u v v u)d	3	x		v	v	u
			u	n		dS , где n – внешняя
						n
							n

нормаль к .

Положим в этой формуле:

u 1r , v , {x, x R}, S SR .

	1
Заметим, что			0, x .
r

I ,R

1

3

1

1

пов.

пов.

(4)

d

x

dS

I

I R

.

r

S SR

r

n

n r

I

пов.

,R

При R

I

пов.

0 , т.к. (x) D из формул (2)

и (4)

R

1

1

1

lim A( ) B( )

(5)

, lim

dS

dS

r

0 0

r n

n r

0 0

S

S

r

, dS 2 d , d sin d d .

n

r

1

1

A( )

n dS

2 n

( ,, ) dS O( ) ( 0).

r

S

S1

гладкая при

0

B( ) ( 1)

1

dS.

S

n r

1

1

1

1

1

1

1

r

1

r

n

n,

n, n

r 2

r 2

n

r 2

r 2

r

r

r

r

r

r

(6)

B( ) ( 1) ( ,, )

1

2 d ( 1) ( ,, )d

2

S1

S1

Подставляя (6) в (5), получим:

1

( 1) ( ,, )d ( 1) (0)d ( 1) (0) d

(7)

, lim

r

0 0

S1

S1

S1

2

( 1) (0)

sin d d ( 1)4 (0) 4 (x), (x) D

0 0

4

60

S SR

D(R3 ).

Уравнения математической физики, семестр 1. Глава 3 «Элементы теории обобщенных функций».