- •Системы счисления и двоичное представление информации в памяти компьютера
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задачи для тренировки
- •Выполнение арифметических операций в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задачи для тренировки
- •Кодирование чисел. Системы счисления
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задачи для тренировки
Задание 3
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.
Общий подход:
неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через
пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через) нужно найти:
2 1 0 ← разряды
31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1
можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом; например, для числа с пятью разрядами получаем:
4 3 2 1 0 ← разряды
31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0
= k·N2 + N + 1
для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель)
Решение:
итак, нужно найти все целые числа , такие что
(**)
где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);
сложность в том, что и , инеизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что этонатуральные числа
из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делителичисла 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом, то есть,– целое число
выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)
таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.
Задание 4
Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.
Решение (вариант 1):
запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:
10 = 205, 17 = 325 .
заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли
между 205 и 325 есть еще числа
215, 225, 235, 245, 305, 315.
в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз
таким образом, верный ответ – 7.
Возможные проблемы:
|
Решение (вариант 2):
переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:
10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 .
считаем цифры 2 – получается 7 штук
таким образом, верный ответ – 7 .
Задание 5
Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.
Решение:
обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид
вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:
поскольку запись трехзначная, , поэтому
с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому
объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству
учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:
минимальное из этих значений – 4
таким образом, верный ответ – 4 .
Решение (без подбора):
выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения
найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как
проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна
таким образом, верный ответ – 4 .