1.3.4. Модель с учетом неудовлетворенных требований

В некоторых случаях, когда потери из-за дефицита сравнимы с издержками хранения, дефицит допускается. Пусть требования, поступающие в момент отсутствия запаса, берутся на учет. Обозначим через y максимальную величину задолженного спроса рис. 2.3. Максимальная величина наличного запаса Y = q-y расходуется за время r₁ (время существования наличного запаса), а затем поступающие требования ставятся на учет в течение времени r₂ (время дефицита). При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетворяется задолженый спрос, а затем пополняется запас. Убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени, составляют d. Затраты на хранение продукции пропорциональны средней величине запаса (q-y)/2 и времени его существования (q-y)/v; аналогично убытки от дефицита пропорциональны средней величине дефицита y/2 и времени его существования y/v. Средние издержки работы системы в течение цикла, включающие затраты на размещение заказа, содержание запаса и потери от дефицита

I

q-y

r₂

r₁

t

y

рис

Р азделим издержки цикла на его величину r = q/v и получим издержки работы системы в единицу времени

Откуда обычным способом находим

П одставив значения q* и y* в соответствующие выражения, найдем другие оптимальные параметры системы

В более сложных моделях управления запасами сохраняется общий подход: строится функция затрат на приобретение запаса, строится функция потерь при хранении запаса и при его нехватке, находится уравнение запасами, при котором минимизируются затраты и потери.

1.3.5. Модель управления запасами при случайном спросе.

В данном случае интенсивность расходования ресурсов  - величина случайная со своим законом распределения, то есть известно P(), F() , тогда в данной ситуации возможны случаи:

1. q -   0

q,

Затраты за дефицит (штрафы)

₂

q

₁

t₁

t

Затраты хранения

2. 

3. h – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени;

4. k – затраты на размещение (оформление) ресурсов, сырья.

Так как  - величина случайная, то ( q -  ) и ( - q) будут величины случайные, поэтому оптимизация и функция цели будут находится как для случайных величин.

Функция цели будет представлять собой математическое ожидание от суммы слагаемых. Одно из них представляет собой математическое ожидание затрат на размещение заказа; другое математическое ожидание затрат на хранение ресурсов.

Известно, что оптимальное размещение запасов можно найти из системы неравенств:

Методом линейной интерполяции определяется q*.

1.3.6. Модель управления запасами с ограничениями на складские помещения.

Данная модель многопродуктовая с n-видами сырья.

Введем обозначения для данной модели:

q_i – размер объема заказа на сырье i – вида ();

А – максимальный размер складских помещений для сохранения n-видов продукции;

а_i – размер площади, необходимой для хранения продукции i – вида;

_i – интенсивность спроса на сырье i – вида;

k_i – затраты на размещение заказа на поставку сырья, продукции i – вида;

h_i – затраты на сохранение единицы сырья (продукции) i – вида.

Данная модель от вышеизложенной отличается наличием ограничений на складские помещения и выглядит так:

q_i / 2 – оптимизация по среднему уровню запасов

Данная ЭММ решается с помощью метода множителей Лагранжа. Полученная функция путем добавления в целевую функцию слагаемого, состоящего из системы ограничений и множителя , называется Лагранжианом.

(*)

Для того, чтобы найти q_i* и оптимальное значение *, необходимо взять частные производные по q_i и  Лагранжиана (*).

(1)

(2)

из формулы (1) определяем - оптимальный размер заказа.

Оптимальный размер заказа при ограничении a_i определяется путем последовательного расчета для разных значений q_i и . Методом линейной интерполяции по значениям, представленным в промежуточной таблице, находится коэффициент  и оптимальное значение q_i*.