лись бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей? (Ответ: 3, 6 и 4 см.)

5.14. Из круга вырезан сектор с центральным углом ®. Из сектора свернута коническая поверхность. При каком значе-

нии угла ® объем полученного конуса будет наибольшим? q

(Ответ: 2¼ 23 )

5.15. Объем правильной треугольной призмы равен v. Какова

должна быть сторона основания, чтобы полная поверх- p

ность призмы была наименьшей? (Ответ: 3 4v)

Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл

6.1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Структура неопределенного интеграла

Функция F называется первообразной фукнции f

на промежутке I =< a; b >, если F дифференцируема на I и F 0(x) = f(x) при всех x 2 I.

Например, функция y = x2 является первообразной функции y = 2x, т.к. (x2)0 = 2x, но функция y = x2 + 2 также является первообразной функции y = 2x, вообще, любая функция вида y = x2 + C, где C произвольная константа (какое-либо число), является первообразной функции y = 2x, т.к. (x2 + C)0 = 2x.

Таким образом, справедлива следующая теорема : Теорема 6.1. Если F1 и F2 две первообразные функции f,

то они отличаются на константу, т.е. F1 = F2 + C.

	Совокупность всех первообразных функции f называют
неопределенным		интегралом функции f и обозначают
Z	f(x)dx, где f(x)	подынтегральная функциия, f(x)dx

89

подынтегральное выражение, x переменная интегрирования, dx - дифференциал переменной x.

Если F первообразная функции f на промежутке I, то f(x) = F 0(x) при всех x 2 I, так что имеем:

f(x)dx = F 0(x)dx = d(F (x))

при всех x 2 I, т.е. f(x)dx производная функции F в точке x, записанная в дифференциальной форме (с помощью дифференциала).

Из теоремы 6.1 следует, что если F первообразная функ-

Z

ции f, то f(x)dx = F (x)+C, где C произвольная константа.

Последнее равенство называют структурой неопределенного интеграла.

6.2. Свойства неопределенного интеграла

10: dx µZ		f(x)dx¶ = f(x):
	d
20: Пусть		F - первообразная функции f, тогда
Z F 0(x)dx = F (x) + C, или			Z	d(F (x)) = F (x) + C:

ZZ

30	: ¸f(x)dx = ¸ f(x)dx; ¸ 2 R:
40	: Z (f1(x) + f2(x))dx = Z	f1(x)dx + Z	f2(x)dx:
50	: Пусть F - первообразная функции f, u - какая-либо

дифференцируемая функция переменной x (u = '(x)) , тогда Z Z

f('(x))'0(x)dx = f('(x))d('(x)) =

Z

= f(u)d(u) = F (u) + C = F ('(x)) + C:

90

6.3. Таблица неопределенных интегралов

Пусть u - какая-либо функция переменной x (u = '(x)), тогда

справедливы следующие формулы

1: Z

2: Z

u2

du = u + C;

udu =

+ C;

2

3: Z

u®du =

u®+1

+ C;

4: Z

1

du = ln juj + C;

® + 1

u

5: Z eudu = eu + C;

6: Z

audu =

au

+ C;

ln a

7: Z

cos udu = sin u + C;

8: Z

sin udu = ¡ cos u + C;

9: Z

1

du = tg u + C;

10: Z

1

du = ¡ ctg u + C;

cos2 u

sin2 u

11: Z

1

1

u

du =

arctg

+ C;

u2 + a2

a

a

12: Z

p

1

du = arcsin

u

+ C;

a

a2 ¡ u2

13:

1

du =

1

ln

u ¡ a

+ C;

Z

u2

a2

¯u + a

¯

¡

¯

¯

¯

¯

14: Z

1

¯

¯

p

du = ln ju + pu2 § aj + C:

u2 § a

91

Для нахождения первообразных полезно заметить справед-

ливость равенств:

dx = d(x + a) = du; где u = x + a

dx =

1

d(kx + b) =

1

du; где u = kx + b

k

k

xdx =

1

d(kx2 + b) =

1

du;

где u = kx2 + b

2k

2k

1

1

x2dx =

d(kx3 + b) =

du;

где u = kx3 + b

3k

3k

cos xdx = d(sin x) = du; где

u = sin x и т.п.

Пример 6.1. Найдите интегралы, пользуясь только табли-

цей итегралов.

1: Z

1

2: Z x(2x2 + 3)2dx;

(p3 x +

+ 3x3)dx;

x2

3:

Z

3x + x2

dx;

4:

1 ¡ x + x2

dx;

x3

Z

x(1 + x2)

5: Z

5x3

+ p

x

dx;

p3

x

Решение

1.

1

1

Z (p3 x +

+ 3x3)dx = Z x3 dx + Z x¡2dx + 3 Z x3dx =

x2

x

31 +1

x¡2+1

x3+1

3

4

3

=

+

+ 3

+ C =

x3 ¡ x¡1 +

x4 + C

1

+ 1

¡

2 + 1

3 + 1

4

4

3

92

2.

Z Z Z

x(2x2 + 3)2dx = x(4x4 + 12x2 + 9)dx = 4 x5dx+

+12 Z

x3dx + 9 Z

xdx = 4 6 + 12

4

+ 9 2

+ C =

x6

x4

x2

2

6

4

2

=

x + 3x + 4; 5x

+ C

3

3.

3x + x2

3x

x2

Z

dx = Z µ

+

¶dx =

x3

x3

x3

= Z

x2 dx + Z

xdx = ¡3x¡1 + ln jxj + C

3

1

4.

x(1 + x2)

Z µx(1 + x2)

x(1 + x2)¶

Z

1 ¡ x + x2

dx =

1 + x2

+

¡x

dx =

= Z

1

dx ¡ Z

1

dx = ln jxj ¡ arctg x + C

x

1 + x2

5.

Z

5x3

+ p

5x3

Z

x

x2

p3 x

Z x3

x3

1

= 5 Z x3¡3 dx + Z

dx =

1

dx +

1

dx =

x2 ¡

3 dx = 5 Z

x

3 dx + Z x6 dx =

1

1

1

8

1

3

11

6

7

15

11

6

7

= 5 ¢

x 3 +

x6 + C =

x

3

+

x6

+ C

11

7

11

7

93

6.4. Некоторые методы вычисления неопределенных интегралов

Замена переменной

Замена переменной под знаком интеграла может быть двух типов. Замену первого типа мы рассмотрели в свойстве 50 параграфа 6.2. Здесь мы заменили функцию '(x) на новую переменную u. Такая замена переменной называется "подведением

функции u = '(x) под знак дифференциала".

Z

Пример 6.2. Найдите интеграл (2x + 1)3dx, применяя ме-

тод подведения под знак дифференциала (свойство 50, параграф

6.2).

Решение

Z (2x + 1)3dx =

¯

¯

dx =

2

= 21 d(2x + 1) = 21 du;

где u = 2x + 1

¯

Так как

d(2x + 1) = (2x + 1)0dx = 2dx; то

¯

=

¯

¯

=

¯

=

2 Z

(2x + 1)3d(2x + 1) = ju = 2x + 1j =

¯

d(2x+1)

= Z

u4

(2x + 1)4

u3du =

+ C =

+ C:

4

4

Пример 6.3. Найдите интегралы, применяя метод подведе-

ния под знак дифференциала.

Z

Z

1: 23x+4dx;

3: Z	1			dx;
	p5
		2 + 7x
5: Z	p3	x	dx;
		x2 + 3

2: sin(7 ¡ 5x)dx;

Z

4: x2 cos(3x3 + 1)dx;

Z

1

6: p2 + x + x2 dx:

94

Решение
1.							Z 23x+4dx = 3 Z																				23x+4d(3x + 4) = 3 Z																				2udu =
																			1																									1
		1 2u																													1 23x+4																1			23x+4 + C
	=									+ C = ju = 3x + 4j =																														+ C =
		3			ln 2																										3		ln 2														3 ln 2
2.	Z	sin(7¡5x)dx = ¡5																						Z			sin(7¡5x)d(7¡5x) = ¡5																						Z	sin udu =
																			1																												1
							1																								1
							=					cos u + C = ju = 7 ¡ 5xj =																														cos(7 ¡ 5x) + C
										5																													5
3.	Z														dx = Z																							Z
							1																					1			1																		1
			p5																(2 + 7x)¡5 dx =																									(2+7x)¡					5 d(2+7x) =
																																		7
						2 + 7x
							1						5															4			5																		4
							=				µ¡						¶(2 + 7x)¡											5 + C = ¡																(2 + 7x)¡5						+ C
									7							4																					28
4.
																												1
				Z			x2 cos(3x3 + 1)dx =																							Z	cos(3x3 + 1)d(3x3 + 1) =
																													9
																			=					1		sin(3x3 + 1) + C
																									9
5.	Z													dx = Z																										Z (x2+3)¡
							x																					1			1																		1
			p3																x(x2								+3)¡3 dx =																						3 d(x2+3) =
																																			2
						x2 + 3
							= 2						µ¡2¶(x2 + 3)¡3 + C = ¡4(x2 + 3)¡																																				3 + C
							1						3															2			3																		2

95

6.

Z

p

1

dx = Z

1

dx =

p

2 + x + x2

(x + 1=2)2 + 12 ¡ 1=4

dx

d(x + 1=2)

p

p

= Z

(x + 1=2)2 + 47=4 = Z

(x + 1=2)2 + 47=4

=

j

p

j

= ln x + 1=2 +

(x + 1=2)2

+ 47=4

+ C

Рассмотрим второй тип замены переменной.

Пусть y = f(x) непрерывна, а функция x = '(t) является обратимой и имеет непрерывную производную '0(t) ('(t) 2 D(f) при всех t 2 D(')), кроме того, функция f('(t))'0(t)dt имеет первообразную F (t), тогда:

Z	f(x)dx =	¯	dx = '0(t)dt;	t = '¡1(x)	¯	=
		¯	x = '(t);		¯
		¯			¯
		¯			¯

Z

=f('(t))'0(t)dt = = F (t) + C = F ('¡1(x)) + C

Пример 6.4. Найдите интеграл Z

ep

x

dx.

p

x

Решение

¯

¯

Z

px

dx = (t2)0dt = 2tdt

p

¯

¯

e

x

dx =

¯

x = t2

: Пусть t ¸ 0; тогда t = px:

¯

=

t

e

¯

t

t

p

x

¯

= Z

¢ 2tdt = Z 2e

dt = 2e

+ C = 2e

+ C

t

Пример 6.5. Найдите интеграл Z

xp

dx

, применяя за-

5x + 4

мену переменной под знаком интеграла t = p5x + 4.

Решение

¯

Z

xp5x + 4dx = ¯

dx = ((t2

¡

4)=5)0dt = 2t=5dt

=

dx

¯

t = p

;

тогда x =

t2¡4

¯

¯

5

¯

¯

¯

96

Z

t25¡4 t

Z

t2

¡

4

2

¢

2

¯t + 2

¯

=

2t=5dt = 2

ln

¯

t ¡ 2

¯

+ C =

dt

= 2 1

¯

¯

¯

¯

¯p ¯

=1 ln ¯¯¯p5x + 4 ¡ 2¯¯¯ + C

2 5x + 4 + 2

Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям применяют в случае нахождения первообразной произведения функций, которое нельзя свести ни к первому, ни ко второму типу замены переменной. При этом справедлива следующая формула:

	Z f(x) ¢ g0(x)dx = f(x)g(x) ¡ Z f0(x) ¢ g(x)dx
	Чаще всего ее применяют к следующим произведениям:
(1)	Pn(x) ¢ e®x; Pn(x) ¢ sin ®x;	Pn(x) ¢ cos ®x;
(2)	ln x ¢ Pn(x); arcsin x ¢ Pn(x);	arccos x ¢ Pn(x);

где Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn - многочлен степени n; n 2 N; an =6 0

При этом в произведениях вида (1) функцию Pn(x) обозначают за f(x), а произведениях вида (2) функцию Pn(x) обозначают

за g0(x).

Пример 6.6. Найти интеграл Z

xe3xdx.

Решение

Z

xe

3x

dx = ¯

Пусть f(x) = x;

g0(x) = e3x;

¯ =

тогда f0(x) = 1;

g(x) = 31 e3x

¯

¯

¯

¯

1

1

¯

1

1

1

1

¯1

= x

e3x ¡Z

e3xdx =

xe3x ¡

Z e3xdx =

xe3x ¡

¢

e3x +C =

3

3

3

3

3

3

3

1

1

1

1

=

xe3x

¡

e3x + C =

e3x

µx ¡

¶:

3

9

3

3

97

Интегрирование рациональной функции

Рациональной функцией называют функцию вида

R(x) = Pn(x) , где Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn много- Qm(x)

член степени n; n 2 N; an =6 0, а Qm(x) = b0 + b1x + b2x2 + ¢ ¢ ¢ + bmxm многочлен степени m; m 2 N; bm =6 0.

В курсе Высшей алгебры доказывается, что каждая пра-

вильная рациональная функция R(x) = Pn(x) , т.е. та, у ко-

Qm(x)

торой степень числителя меньше степени знаменателя (n < m), может быть разложена в конечную сумму дробей простейшего вида. К таким дробям относят дроби следующих четырех типов:

	1:		A	; 2:	A	; 3:	ax + b	; 4:	ax + b	;
		x ¡ a			(x ¡ a)k		x2 + px + q		(x2 + px + q)k
	где k целое число, большее единицы; A;							a; b;	p; q действи-

тельные числа; квадратный трехчлен x2 + px + q (знаменатель

дробей 3-го и 4-го видов) не имеет действительных корней, т.е. p2 ¡ 4q < 0.

	Если	степень		числителя	рациональной	функции
	R(x) =	Pn(x)		больше либо	равна степени	знаменателя
		Qm(x)

(n ¸ m), то необходимо у функции R(x) выделить целую часть (т.е. разделить многочлен Pn(x) на многочлен Qm(x)) и представить функцию R(x) в виде суммы ее целой и дробной частей, получившуюся при этом правильную дробь и раскладывают на простейшие дроби.

В результате интегрирование рациональной функции сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших дробей.

Найдем неопределенные интегралы от простейших дробей

первых трех типов:
	A		1
1. Z		dx = A Z		d(x ¡ a) = A ln jx ¡ aj + C
	x ¡ a		x ¡ a

98

2. Z

(x ¡ a)k

Z

¡

¡

¡

¡k + 1

A

dx = A (x

a)

kd(x

a) = A

(x ¡ a)¡k+1

+ C

ax + b

a2 (2x + p) + b ¡ ap2

3. Z

dx = Z

dx =

x2 + px + q

x2 + px + q

a

(2x + p)

b ¡ ap2

=

Z

dx + Z

dx =

2

x2 + px + q

(x + p=2)2 + q ¡ p2=4

= 2 Z

d(x2

+ px + q

+ (b ¡

2 ) Z

(x + p=2)2

+ q ¡ p2=4 =

a

x2

+ px + q)

ap

d(x + p=2)

a

ap

1

x + p=2

=

ln jx2 + px + qj + (b ¡

)

arctg

+ C

2

2

p

p

q ¡ p2=4

q ¡ p2=4

Методы разложения некоторых рациональных функций на простейшие дроби и интегрирование этих функций рассмотрим на примерах.

Сначала приведем пример разложения рациональной функции на простейшие дроби. Для представления рациональной функции в виде суммы простеших дробей необходимо, чтобы знаменатель этой функции (многочлен Qm(x)) был разложен на множители, т.е. представлен в виде произведения сомножителей вида:

x ¡ a; (x ¡ a)k; x2 + px + q; (x2 + px + q)k:

x2 + 1

Рассмотрим функцию R(x) = (x ¡ 1)(x + 2)3(x2 + x + 1): Множителю (x¡1) соответствует простешая дробь 1-го типа:

A , множителю (x+2)3 соответствует сумма трех простейших x ¡ 1

дробей:	B	+	C	+		D	, а множителю x2 + x + 1 со-
	x + 2		(x + 2)2			(x + 2)3
ответствует простейшая дробь 3-го типа:								Ex + F		.
								x2 + x +	1

99

правильная, т.к. степень числителя

Пример 6.7. Найдите интеграл

Решение

Итак имеем:

x2 + 1

(x ¡ 1)(x + 2)3(x2 + x + 1) =

=

A

+

B

+

C

+

D

+

Ex + F

:

x ¡ 1

x + 2

(x + 2)2

(x + 2)3

x2 + x + 1

Неизвестные коэффициенты числа A; B; C; D; E; F находят из предположения, что последнее равенство является тождеством, т.е. справедливо при всех x 2 D(R). Сначала правую часть равенства приводят к общему знаменателю, затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях левой и правой частей равенства, далее решают систему

линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

Z

x + 1

x2 + x ¡ 12dx.

x + 1

Дробь x2 + x ¡ 12

меньше степени знаменателя (1<2). Знаменатель x2 +x+12 имеет два действительных корня –4 и 3. Разложим знаменатель на множители: x2 +x+12 = (x+4)(x¡3). Теперь разложим данную функцию на простейшие дроби:

x + 1

=

x + 1

=

A

+

B

;

x2 + x ¡ 12

(x + 4)(x ¡ 3)

x + 4

x ¡ 3

где A и B неизвестные коэффициенты, найдем их. Приведем правую часть последнего равенства к общему зна-

менателю и приравняем полученную дробь к исходной:

	A		+		B		=	A(x ¡ 3) + B(x + 4)	=	x + 1
	x + 4			x ¡ 3				(x + 4)(x ¡ 3)		(x + 4)(x ¡ 3)

Освобождаясь от знаменателя, получим:

A(x ¡ 3) + B(x + 4) = x + 1

100

x(A + B) + (¡3A + 4B) = x + 1

A + B = 1; ¡3A + 4B = 1

3

4

A =

; B =

.

7

7

Итак, имеем:

x + 1

3

4

7

7

Z

x2 + x ¡ 12

dx = Z

x + 4

dx + Z

x ¡ 3

dx =

3

4

==

ln jx + 4j +

ln jx ¡ 3j + C:

7

7

Пример 6.8. Найдите интеграл: Z

x2 + 4x + 5

3

dx

x2 + x ¡ 12

Решение

3x2 + 4x + 5

Дробь

неправильная, т.к. степень числителя

x2 + x ¡ 12

равна степени знаменателя (2=2). Необходимо выделить целую часть:

	3x2 + 4x + 5		= 3 +	x + 41
	x2 + x ¡ 12			x2 + x ¡ 12

Знаменатель x2 + x + 12 имеет два действительных корня –4 и 3. Разложим знаменатель на множители:

x2 + x + 12 = (x + 4)(x ¡ 3)

x + 41

Теперь дробь

разложим на простейшие дроби:

x2 + x ¡ 12

x + 41

=

x + 41

=

A

+

B

;

x2 + x ¡ 12

(x + 4)(x ¡ 3)

x + 4

x ¡ 3

где A и B - неизвестные коэффициенты. Найдем их:

A(x ¡ 3) + B(x + 4) = x + 41

x(A + B) + (¡3A + 4B) = x + 41

101

A + B = 1; ¡3A + 4B = 41

34

41

A = ¡

;

B =

.

7

7

Итак, имеем:

3dx + Z

x¡+74dx + Z

x ¡ 3dx =

Z

x2

+ x ¡ 12 dx = Z

3x2

+ 4x + 5

34

41

7

34

41

= 3x ¡

ln jx + 4j +

ln jx ¡ 3j + C:

7

7

Пример 6.9. Найдите интеграл: Z

x + 5

dx

x(x2 + 3)

Решение

x + 5

Разложим дробь

на простейшие дроби:

x(x2 + 3)

x + 5

=

A

+

Bx + C

;

x(x2 + 3)

x

x2 + 3

где A; B и C - неизвестные коэффициенты. Найдем их:

A(x2 + 3) + (Bx + C)x = x + 5

x2(A + B) + Cx + 3A = x + 5

A + B = 0; C = 1; 3A = 5

5

5

A =

; B = ¡

; C = 1:

3

3

Итак, имеем:

xdx + Z ¡x2 + 3

Z

x(x2 + 3)dx = Z

dx =

x + 5

5

5 x + 1

3

3

5

5

x

1

=

ln jxj ¡

Z

dx + Z

dx =

3

3

x2 + 3

x2 + 3

102