ПГУ				Каф ВиПМ
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Полный дифференциал функции			u(x, y, z)	равен:
du 0,04 u	0,01 u 0,02	u	1 0,04 0 0,01 1 0,02
x	y	z		2
0,04 0,01 0,05, следовательно,
1,041,99 ln1,02 u(1,2,1) du 1 0,05 1,05 .
	Производные сложных и неявных функций
Функция z f (u, v), где		u (x, y),		v (x, y) , называется сложной

функцией. Для нахождения частных производных сложной функции применяются формулы

	z	z u		z v	и		z	z u		z v .	(11.4)
		u x						u y
	x			v x			y			v y
	Если u (x),	v (x) , то z f (u(x), v(x)) f1(x) и тогда формула
	нахождения производной примет вид:
				dz	z du		z dv .				(11.5)
					u dx
				dx			v dx
	Если же z f (x, y(x)) , то из последней формулы, в силу того, что
	u x , а v y(x) , получим:
				dz z			z dy .				(11.6)
				dx	x		y dx
	Если уравнение F(x, y) 0 задаёт некоторую функцию y(x)										в неявном
	виде и Fy (x, y) 0 , то

			dy		Fx (x, y)			.
			dx		Fy (x, y)
Если уравнение F(x, y, z) 0 задаёт функцию двух переменных
z f (x, y) в неявном виде		и Fz (x, y, z) 0 , то справедливы формулы
z			F (x, y, z)			z			Fy (x, y, z)
			x		и					.
x			Fz (x, y, z)			y			Fz (x, y, z)

(11.7)

(11.8)

	Частные производные высших порядков
Если функция	z f (x, y) определена в некоторой области D , то ее ча-
стные производные	z fx (x, y) и	z f y (x, y) также будут определены в
	x	y

7

ПГУ	Каф ВиПМ
	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

той же области. Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второго порядка, т.е.

				z			2 z
							x2
	x			x
z							2 z
						x y
y x

fxx (x, y);

fxy (x, y);

	z				2 z
					y2			f yy (
y				y
	z				2 z
					y x				f yx
	x			y

x, y);

(x, y).

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

Частные производные вида

2 z

;

2 z

;

3z

;

3z

и т.д. назы-

x y

y x

x y x

x y y

ваются смешанными производными.

Теорема.

Если функция

f (x, y) и

ее

частные

производные

,

определены и непрерывны в точке M (x, y)

и ее окрестно-

fx

f y ,

fxy ,

f yx

сти, то верно соотношение:

2 f 2 f .x y y x

Т.е. частные производные высших порядков при этих и аналогичных условиях не зависят от порядка дифференцирования.

Подобным же образом определяются полные дифференциалы высших порядков.

dz

z dx

z dy ;

x

y

d 2 z d dz

2 z (dx)2

2

2 z

dxdy

2 z

(dy)2

;

y2

x2

x y

d3z d d 2 z

3

3

3

z

3

3z

(dx)3 3

z

dx2dy 3

dxdy2

3z

(dy)3 ;

x

2

2

y

x y

x y

…………………

Символически можно записать

d n z x dx y dy n z .

8

ПГУ	Каф ВиПМ
	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Если поверхность задана уравнением z f (x, y) где f (x, y) дифференцируемая в точке P0 (x0 , y0 ) , касательная плоскость M0 (x0 , y0 , z0 ) существует и имеет уравнение:

z f (x0 , y0 ) fx (x0 , y0 )(x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) .

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

x x0		y y0		z z0	.
fx (x0 y0 )		f y (x0 , y0 )
				1

–функция,

вточке

(11.9)

(11.10)

В случае, когда уравнение гладкой поверхности задаётся в неявном виде F(x, y, z) 0 и F (x0 , y0 , z0 ) 0 , то уравнение касательной плоскости в

точке M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид

Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0 ,

а уравнение нормали

x x0

y y0

z z0

.

Fx (x0 , y0 , z0 )

Fy (x0 , y0 , z0 )

Fz (x0 , y0 , z0 )

Пример 3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности z x2 2xy y2

x 2 y в точке М(1, 1, 1).

Решение. Находим частные производные функции и вычисляем их

значения в точке М:

z 2x 2y 1;

z

2x 2 y 2 ;

z

1;

z

2;

x

y

x

M

y

M

Уравнение касательной плоскости:

z 1 (x 1) 2( y 1);

x 2 y z 0;

Уравнение нормали:

x 1

y 1

z 1

.

1

2

1

Производная по направлению. Градиент

Пусть дана функция u f (x, y, z) , определенная и дифференцируемая в

M0 (x0 , y0 , z0 ) ,

некоторой окрестности точки

и вектор , который имеет

начало в точке M0 и направляющие косинусы cos , cos , cos . Тогда произ-

водная от функции	u f (x, y, z)	в точке M0	по направлению вектора
может быть найдена по формуле:
u(M0 ) u(M0 ) cos		u(M0 ) cos	u(M0 ) cos .	(11.11)
	x	y	z

9

можно рассматривать как производные от функции

ux , uy , uz

ПГУ								Каф ВиПМ
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
В случае функции двух переменных z f (x, y) формула упрощается:
	z(M0 ) z(M0 ) cos z(M0 ) sin ,								(11.12)
						x		y
							cos	0.
так как cos cos	2		sin ,
Производная по направлению характеризует скорость изменения
функции по этому направлению. Если								u 0 , то функция u f (x, y, z)		воз-
						u
			, если				0 , то функция u f (x, y, z)		в направле-
растает в направлении
				u		представляет собой мгновенную скорость				из-
нии убывает. Величина
менения функции u f (x, y, z)
						в точке		M0 в направлении . Частные произ-

водные

u f (x, y, z) по направлению координатных осей Ox, Oy, Oz .

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции u(x, y, z) в точке M (x, y, z) , называется градиентом функции

и обозначается gradu , т.е. gradu				u i	u j	u k .
				x	y	z
В частном случае, grad z	z i	z	j .
	x	y

Рассмотрим единичный вектор λ cos i cos j cos k и некоторую функцию u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов λ и gradu .

gradu λ	u cos	u cos	u cos .	(11.13)
	x	y	z

Выражение, стоящее в правой части (11.13) равенства является производной функции u(x, y, z) по направлению λ. Т.е. gradu λ u . Если угол

между векторами gradu и λ обозначить через , то скалярное произведение

можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор λ единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

u			gradu		cos .	(11.14)

10