ПГУ				Каф ВиПМ
		Контрольная работа № 6
328.
	x	2,1	2,3	3,1		3,8	4,5
	y	-9,3	-7,2	-13,4		-16,1	-18,9
329.
	x	0,1	0,3	0,5		1,2	2,1
	y	1,0	1,1	1,2		1,4	1,6
330.
	x	10,1	11,5	13,6		16,2	17,5
	y	0,9	0,8	0,6		0,3	0,2

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

271-280. Дана функция z arccos xy . Найти: 1) полный дифференциал

dz ; 2) частные производные второго порядка 2 z , 2 z ; 3) убедиться в

x2 y2

том, что 2 z 2 z .

x y y x

Решение.

1) Полный дифференциал функции двух переменных имеет вид: dz xz dx yz dy . Найдём частные производные первого порядка

z

1

x

y

y

y

y

arccos

;

x

y 2

x2 y2

x2

x x2

y2

x x

x x

1

x

z

1

x

y

y

arccos

y 2

y

x y

x y

x2 y2

1

x

Соответственно,

dz

y

dx

1

dy

x

x2 y2

x2 y2

2) Находим частные производные второго порядка му правилу:

		1					1	.
						x2	y2
	x
			1			( ydx xdy).
x		x2 y2

2 z , 2 z по следующе-

x2 y2

17

ПГУ	Каф ВиПМ
	Контрольная работа № 6

2 z

z

y

2

x

x

x

x2 y2

x

x2

y2

x

x

y

x2 y2

x2 (x2 y2 )

				2			2
					y
		x x
	y							x
			x2 (x2 y2 )
x
	y(2x2 y				2 )		,
	x2 (x2		y2 )3 2

	2	z				z
y2
				y		y

	y
		.
	(x2 y2 )3 2

		1				2		2		1 2			1			2 y
					(x		y		)
x	2	y	2										2		(x2	y2 )3 2
				y

	3) Убедимся в том, что	2 z		2 z	. Действительно,
		x y		y x

2

z

1

z

x y

x y

x2 y2

2 z

z

y

y x

y x

x2

y2

x

y

2

2

1 2

x

(x

y

)

,

x

(x2

y2 )3 2

x

x x2

y2 y x x2

y2

y

x2 (x2 y2 )

	x x2 y2 xy	y
		x2 y2			x3 xy2 xy2					x	.
	x2 (x2 y2 )				x2 (x2 y2 )3 2				(x2	y2 )3 2
	281-290. Дана функция z					4x2 y2		4 y и две точки А(2; 4) и

В(1,96; 4,16). 1) Найти приближённое значение данной функции в точке В, исходя из её точного значения в точке А и заменяя приращение z дифференциалом dz . 2) Составить уравнение касательной плоскости к поверхности z f (x, y) в точке С( x0; y0; z0 ).

Решение.

1) Применим формулу приближённого вычисления функции f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) dz(x0 , y0 ) .

18

ПГУ	Каф ВиПМ
	Контрольная работа № 6

При x	2	и y	4	имеем f (x	, y )	4 22 42 4 4 4 .
0		0		0	0

x 1,96	2 0,04, y 4,16 4 0,16. Находим полный дифференциал
функции	z	4x2 y2		4 y в любой точке:
		dz		4x		x	y 2	y .
			4x2 y2				4x2 y2 4 y
					4 y
Вычисляем его значение в точке А(2; 4) при данных приращениях
x 0,04 и y 0,16 :				dz 8	( 0,04)		4 2 0,16 0,16		. Тогда
				4			4

z(B) 4 0,16 3,84 .

2) Если поверхность задана уравнением z f (x, y) , то уравнение касательной плоскости в точке С( x0; y0; z0 ) к данной поверхности имеет вид:

z z0 fx (x0 , y0 )(x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) .
z0 f (x0 , y0 ) 4 ,	fx (x0 , y0 )					4x					8 2 ,
			4x2 y2 4 y
								(2, 4)			4
f y (x0 , y0 )		y 2				2			1 .
		4x2 y2 4 y
						4			2
Подставим в уравнение плоскости, получим						(2, 4)
z 4 2(x 2) 1 ( y 4) 2z 8 4x 8 y 4 4x y 2z 4 0 .
2									z		z в задан-
291-300. Вычислить значения частных производных										,
									x		y

ной точке M0 (x0 , y0 , z0 ) от функции z(x, y) , заданной неявно x3 y3 еz xyz 6 0 . M0 (2,1, 0) .

Решение.

Если уравнение F(x, y, z) 0 задаёт функцию двух переменных

z f (x, y) в неявном виде и Fz (x, y, z) 0 , то справедливы формулы (11.8).

Найдём частные производные функции F(x, y, z) и вычислим их значения в заданной точке.

Fx 3x2 yz		12,	Fy 3y2 xz		3,	Fz еz xy		1.
		(2,1,0)			(2,1,0)			(2,1,0)

19

ПГУ						Каф ВиПМ
	Контрольная работа № 6
Следовательно, z	(M0 ) 12		12,			z (M0 )	3 3.
x	1					y	1
301 -310. Даны функция z		x		y	, точка M0 (1, 2)		и вектор
		y
				x
a 12i 5 j . Найти: 1) grad z в точке			M0 ;			2) производную в точке M0 по
направлению вектора a .

Решение.

1) Для нахождения grad z надо вычислить значения частных производных функции z f (x, y) в заданной точке. Имеем

z

y

1

y

3

x

;

x

x

y

x2

2

y

x

(1,2)

z

x

y

x

1

3

3

3

. Следовательно, grad z

i

j.

y

x

y2

x

4

2

4

y

y

(1,2)

z

x

y

в точке M

2) Найдём производную от функции

0 (1, 2)

по на-

y

x

a 12i 5 j .

правлению

вектора

Воспользуемся

формулой

z(M0 )

z(M0 ) cos z(M0 ) sin . Значения частных производных были

a

x

y

z(M0 )

z(M0 ) 3 .

вычислены

в

предыдущем пункте

3

,

Найдём

x

2

y

4

cos

a

x

12

12

,

sin

ay

5

5

,

тогда

a

a

122 ( 5)2

13

13

122 ( 5)2

z

z

x

y

3

12

3

5

87

z

.

0 , следовательно, функция

в

a

2

13

4

13

52

a

a 12i

5 j

y

x

точке

M0 (1, 2)

по направлению вектора

убывает.

311 -320.

Исследовать на экстремум функцию

z x3 y3

3xy .

Решение.

Так

как в

данном

случае

z 3x2 3y,

x

z 3y2 3x , то для нахождения стационарных точек составляем систему

y

20

ПГУ

Каф ВиПМ

Контрольная работа № 6

2

3y 0,

уравнений

3x

и

решаем её:

3y2

3x 0;

2

,

2

,

y 0,

y

1,

y x

y x

или

4

3

1

2

x

x 0;

x(x

1) 0;

x1 0;

x2 1.

Таким образом, получили две стационарные точки: M1(0; 0) и M2 (1;1) .

Далее находим:

A

2 z

6x,

B

2 z

3,

C

2 z

6 y .

x2

x y

y

2

В точке

M1(0; 0)

A 0,

B 3,

C 0

и

AC B2 9 0, т. е. в

этой точке экстремума нет.

В точке

M2 (1;1)

A 6,

B 3,

C 6 ,

AC B2 36 9 27 0 и

A 6 0 , следовательно, в

этой

точке

данная

функция достигает

локального

минимума zmin (1;1) 1.

321-330. Экспериментально получены пять значений искомой функции y f (x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице.

x	1,1	2,1	3,4	4,3	4,9
y	-0,8	1,2	3,8	5,4	6,7

Методом наименьших квадратов найти функцию y f (x) в виде y ax b .

Решение. Перепишем таблицу в виде столбцов и проведём необходимые вычисления

n	xi	yi	x2	xi yi
			i
1	1,1	-0,8	1,21	-0,88
2	2,1	1,2	4,41	2,52
3	3,4	3,8	11,56	12,92
4	4,3	5,4	18,49	23,22
5	4,9	6,7	24,01	32,83
5
	15,8	16,3	59,68	70,61
i 1

Система линейных уравнений для определения параметров a и b будет

иметь вид: 59,68a 15,8b 70,61,		Решая систему, получим
	15,8a 5b 16,3.
a 1,96,	b 2,93. Следовательно,	y 1,96x 2,93 .

21

ПГУ	Каф ВиПМ
	Дифференциальные уравнения

Тема 12. Дифференциальные уравнения

Бермант А.Ф., Араманович И.Г., глава 10. Пискунов Н. С., часть 2, гл. 13. Письменный Д.Т., часть 2, § 1-5.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., часть 2, гл. 4.

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связы-

вающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции.

Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую перемен-

ную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший поря-

док производных, входящих в уравнение.

Например, x3 y 8y x 5 0 - обыкновенное дифференциальное уравне-

ние 1 – го порядка. x d 2 y xy dy x2 y - обыкновенное дифференциальное dx2 dx

уравнение 2 – го порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотно-

шение, связывающее независимую переменную x , неизвестную функцию y и её первую производную y , т.е. соотношение вида:

	(12.1)
F(x, y, y ) 0
Если это уравнение можно преобразовать к виду
y f (x, y) ,	(12.2)

то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться урав-

нением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем уравнение (12.2):

dy	f (x, y);	dy f (x, y)dx;	f (x, y)dx dy 0;
dx

22

	ПГУ	Каф ВиПМ
		Дифференциальные уравнения
	Функцию	f (x, y) представим в виде: f (x, y)	P(x, y)	,	Q(x, y) 0; тогда
			Q(x, y)

получим так называемую дифференциальную форму	уравнения первого по-
рядка:
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 .	(12.3)

Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция y (x, C) , которая при подстановке в исходное уравнение обраща-

ет его в тождество при любых значениях C .

Свойства общего решения.

1) Так как С – произвольная постоянная величина, то дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При заданных начальных условиях x x0 ,		y(x0 ) y0 существует
такое значение C C0 , при котором решением дифференциального уравне-
ния является функция	y (x, C0 ) .
Решение вида y (x, C0 ) называется частным решением дифферен-
циального уравнения.	График решения y (x) ДУ	называется интеграль-

ной кривой. С геометрической точки зрения y (x, C) есть семейство интегральных кривых на плоскости Oxy , частное же решение y (x, C0 ) - одна кривая этого семейства, проходящая через точку (x0 , y0 ) .

Если общее решение дифференциального уравнения найдено в неявном виде (x, y, C) 0 , то такое решение называется общим интегралом;

уравнение вида (x, y, C0 ) 0 в этом случае называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида y (x, C0 ) , удовлетворяющего начальному

условию	y(x0 ) y0 .
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения
дифференциального уравнения 1- го порядка).
Если в уравнении (12.2) функция f (x, y) непрерывна в некоторой об-
ласти D	плоскости Oxy и имеет в этой области непрерывную частную
производную f (x, y) , то какова бы не была точка (x			, y ) в области D,
	y	0	0
существует единственное решение y (x) этого		уравнения, удовлетво-
ряющее заданному начальному условию y(x0 ) y0 .

23