Глава 8
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ЗАДАНИЕ 1
Для заданного ряда: а) найдите сумму первых 4-x членов ряда; б) докажите сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости; в) найдите сумму ряда:
1) З; 2) З;
3) З; 4) З;
5) З; 6) З;
7) З; 8) З;
9) : 11) .
ЗАДАНИЕ 2
Найдите сумму ряда:
1) ; 2); 3); 4);
5) ; 6); 7); 8);
9) ; 10).
ЗАДАНИЕ 3
Найдите сумму ряда:
1) ; 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8);
9) ; 10).
ЗАДАНИЕ 4
Установите расходимость ряда, используя критерий Коши или необходимый признак сходимости ряда:
1) ; 2);
3) ; 4);
5) ; 6);
7) ; 8);
9) ; 10).
ЗАДАНИЕ 5
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
ЗАДАНИЕ 6
Исследуйте сходимость ряда с помощью признаков сравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
ЗАДАНИЕ 7
Исследуйте сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
ЗАДАНИЕ 8
Исследуйте сходимость ряда с помощью радикального признака Коши (в некоторых случаях следует воспользоваться тем, что ):
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10)
ЗАДАНИЕ 9
Исследуйте сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
ЗАДАНИЕ 10
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1) ; 2); 3); 4); 5);
6) ; 7); 8); 9); 10).
ЗАДАНИЕ 11
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1);2);
3);4);
5);6);
7);8);
9);10).
ЗАДАНИЕ12
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1);2) ;
3);4) ;
5);6) ;
7);8) ;
9);10) .
ЗАДАНИЕ 13
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1);2);
3);4);
5);6);
7);8);
9);10).
ЗАДАНИЕ 14
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1);2);3);
4);5);6);
7);8);9);
10).
ЗАДАНИЕ 15
Исследуйте на сходимость числовой ряд:
1);2);3);
4);5);6);
7);8);9);
10).
ЗАДАНИЕ 16
Исследуйте на сходимость ряды:
1) а) ; б);
в) ; г);
2) а) ; б);
в) ; г);
3) а) ; б);
в) ; г);
4) а) ; б);
в) ; г);
5) а) ; б);
в) ; г);
6) а) ; б);
в) ; г);
7) а) ; б);
в) ; г);
8) а) ; б);
в) ; г);
9) а) ; б);
в) ; г);
10а) ; б);
в) ; г).
ЗАДАНИЕ 17
Исследуйте на сходимость, абсолютную или условную сходимость знакочередующийся ряд:
1); 2);3);4);
5);6);7);8);
9);10) .
ЗАДАНИЕ 18
Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость.
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) .
ЗАДАНИЕ 19
Исследуйте на сходимость, абсолютную или условную сходимость знакочередующийся ряд:
1);2) ;3);
4);5);6);
7);8) ;9);
10).
ЗАДАНИЕ 20
Исследуйте на сходимость ряды:
1)а) ; б);
в) ; г);
2)а) ; б);
в) ; г);
3)а) ; б);
в) ; г);
4)а) ; б);
в) ; г);
5)а) ; б);
в) ; г);
6)а) ; б);
в) ; г);
7)а) ; б);
в) ; г);
8)а) ; б);
в) ; г);
9)а) ; б);
в) ; г);
10)а) ; б);
в) ; г).
ЗАДАНИЕ 21
Найдите интервал и область сходимости степенного ряда:
1) ; 2); 3); 4);
5) ; 6); 7); 8);
9) ; 10).
ЗАДАНИЕ 22
Найдите область сходимости степенного ряда:
1); 6) ;
2) ; 7) ;
3) ; 8) ;
4) ; 9) ;
5) ; 10) .
ЗАДАНИЕ 23
Найдите область сходимости ряда:
1);2);3);4);
5);6);7);8);
9);10).
ЗАДАНИЕ 24
Найдите область сходимости ряда:
1); 2) ; 3); 4);
5) ; 6); 7); 8); 9);
10) .
ЗАДАНИЕ 25
Найдите область сходимости ряда:
1);2);3); 4);5);6) ; 7);8);9); 10).
ЗАДАНИЕ 26
Исследуйте на сходимость: а) знакоположительный ряд; б) знакочередующийся ряд; в) Найдите радиус степенного ряда и Исследуйте его сходимость на концах полученного интервала.
1. |
; |
; |
. |
2. |
; |
; |
. |
3. |
; |
; |
. |
4. |
; |
; |
. |
5. |
; |
; |
. |
6. |
; |
; |
. |
7. |
; |
; |
. |
8. |
; |
; |
. |
9. |
; |
; |
. |
10. |
; |
; |
. |
ЗАДАНИЕ 27
Дано разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки. Найдите:
1) f(x) = 2-3(x+7)-(x+7)2+3(x+7)3+O((x+7)4) , ,;Ответ f''(-7) = -2
2) f(x) = 7-4(x+1)-10(x+1)2+2(x+1)3+O((x+1)4) , ,; Ответ f''(-1) = -20
3) f(x) = -1-6(x+3)+2(x+3)2-3(x+3)3+O((x+3)4) , ,;Ответ f''(-3) = 4
4) f(x) = 5+10(x+6)+10(x+6)2+7(x+6)3+O((x+6)4) , ,;Ответ f'(-6) = 10
5) f(x) = -9+6(x+4)+5(x+4)2-(x+4)3+O((x+4)4) , ,; Ответf'(-4) = 6
6) f(x) = -10+5(x-10)-(x-10)2-6(x-10)3+O((x-10)4) , ,;Ответ f''(10) = -2
7) f(x) = -7-5(x+3)-9(x+3)2+3(x+3)3+O((x+3)4) , ,;Ответ f''(-3) = -18
8) f(x) = 2+8(x-9)-4(x-9)2-10(x-9)3+O((x-9)4) , ,;Ответ f'(9) = 8
9) f(x) = -5-6(x+4)+2(x+4)2+2(x+4)3+O((x+4)4) , ,;Ответ f''(-4) = 4
10) f(x) = -5+9(x+2)-5(x+2)2-(x+2)3+O((x+2)4) , ,.Ответ f'(-2) = 9
ЗАДАНИЕ 28
Предположим, что мы можем представить функцию в окрестности точкив данном виде. Найдитеи.
1) f(x) = -10-3(x-3)+4(x-3)2+7(x-3)3+O((x-2)4); Ответ x0 = 2 f '(x0) = 10
2) f(x) = 1+5(x+3)+8(x+3)2+3(x+3)3+O((x-2)4); Ответ x0 = 2 f '(x0) = 310
3) f(x) = -1+8(x-3)-4(x-3)2+8(x-3)3+O((x-5)4); Ответ x0 = 5 f '(x0) = 88
4) f(x) = 10+(x-4)+(x-4)2+(x-4)3+O((x+2)4); Ответ x0 = -2 f '(x0) = 97
5) f(x) = -9+5(x-3)-(x-3)2-7(x-3)3+O((x-5)4); Ответ x0 = 5 f '(x0) = -83
6) f(x) = -7+7(x-2)-4(x-2)2+6(x-2)3+O((x-3)4); Ответ x0 = 3 f '(x0) = 17
7) f(x) = -4-2(x+4)+(x+4)2-9(x+4)3+O((x+5)4); Ответ x0 = -5 f '(x0) = -31
8) f(x) = 10+(x+3)-3(x+3)2+7(x+3)3+O((x+4)4); Ответ x0 = -4 f '(x0) = 28
9) f(x) = 5+(x-3)-6(x-3)2+10(x-3)3+O((x+3)4); Ответ x0 = -3 f '(x0) = 1153
10) f(x) = -5+10(x+5)+10(x+5)2-4(x+5)3+O((x-3)4). Ответ x0 = 3 f '(x0) = -598