Нормальное распределение Гаусса

Определяется плотностью

В данном случае зависимость от двух параметров mи σ, которые являют математическим ожиданием и…..

Данный закон используется, когда речь идет о больших числах.

Нормальному распределению подчиняются ошибки измерения. При большом времени работы элемента и наличии восстановления среднее число отказов имеет асимптотическое нормальное распределение. Для нормального закона распределения функции надежности вычисляются следующим образом: фор, где функция Ф0(t) – функция Лапласа, значения которой сведены в таблицу.

Усеченное нормальное распределение

Получается из нормального при ограничении интервала измерения случайной величины от 0 до +∞. Плотность распределения записывается также, как и для нормального распределения, только с коэффициентом c..M0 – максимальное значение случайной величины – мода. Коэффициент с определяется из условия нормировки. Фор10.

Распределений Вэйбла

Является достаточно универсальным благодаря возможности варьирования двух параметров.

Фор11. Универсальность объясняется следующим образом: при α=1 она превращается в экспоненциальное, при α<1, плотность отказа и интенсивность функции убывающие, > - интенсивность отказов функции возрастающая, при =2 функция λ(t) превращается в линейную и распределение Вэйбла превращается в распределение Рэлея. Фор12.

Зависимость между показателями надежности в случае распределения Вэйбла имеет вид: фор13.

Нормальное логарифмическое распределение

Проверяет, когда необходимо, описание случайных величин, представляющих собой произведение достаточно большого количества случайных величин. Подобно тому, как нормальное распределение представляет собой суму случайных величин.

Проблема анализа надежности сложных технических систем

Современные технические и информационные системы являются человеко-машинными системами, в состав которых входят технические средства, средства математического обеспечения и люди, занимающиеся их созданием, технической эксплуатацией и эксплуатацией по назначению. Такие системы относятся к классу сложных систем, обладающих следующими свойствами:

1. Большое количество элементов, функционально связанных между собой

2. Наличие естественной и искусственной избыточности

3. Многофункциональность

4. Восстанавливаемость

5. Неоднозначность понятия «отказ»

6. Неодновременность работы элементов

Характеристиками таких систем являются:

1. Качество

2. Эффективность

3. Безопасность

4. Живучесть

5. Риск

6. Готовность

7. Долговечность

Все эти характеристики в той или иной степени зависят от надежности системы. Практика эксплуатации сложных технических систем ставит перед теорией надежности такие задачи, решение которых – сложная научная проблема. К таким задачам можно отнести следующие:

1. Научное обоснование критериев и показателей надежности сложных систем

2. Разработка математических моделей функционирования сложных систем (в смысле надежности и алгоритмов их практической реализации)

3. Разработка инженерных методов анализа надежности систем на всех этапах их жизненного цикла

4. Способы практического решения проблем надежности

Обоснование критериев показателей надежности

Не существует единственного критерия, достаточно полно характеризующего надежность сложной системы. Это объясняется ее многофункциональностью. От надежности сложной системы зависят такие ее показатели как качество, эффективность, долговечность, готовность, безопасность, живучесть и риск. При этом для обеспечения высоких показателей необходимо, чтобы сложная система была высоконадежной и удовлетворяла требованиям по множеству критерием, таких как вероятность безотказной работы, среднее время безотказной работы, наработка на отказ, функция и коэффициент готовности и другие.

Так, например, для достижения заданной эффективности системы необходимо гарантировать определенное значение вероятности безотказной работы, для обеспечения долговечности – среднее время безотказной работы, для обеспечения готовности – коэффициент готовности.

Между тем, все критерии надежности связаны между собой однозначными математическими зависимостями. Поэтому, задавая требования на множество критериев, в большинстве случаев обнаруживается их противоречивость и физическая не реализуемость. Например, для обеспечения эффективности сложной системы задается требование: P(t)=0,97 в течение 300 часов, а для обеспечения долговечности: наработка на отказ Т=2200 часов. Эти критерии связаны зависимостью:

То есть для задания требований на эффективность наработка на отказ уже будет однозначно определена. Например, если время до отказа системы имеет экспоненциальное распределение, то наработка на отказ не будет удовлетворять требуемому значению. Если время до отказа системы подчинено закону распределения Релея, то наработка на отказ соответствует заданному требованию на долговечность. Рис14. Техногенный риск системы фор15. Их формулы видно, что заданного риска не обязательно иметь систему с высокой вероятность безотказной работы. Достаточно, чтобы система имела высокую вероятность того, что не возникнут такие отказы, которые к большому риску. Возникли противоречия в выборе показателей надежности с точки зрения эффективности и риска.

Следует иметь ввиду, что способы обеспечения надежности существенно зависят от критериев. Для обеспечения вероятности безотказной работы эффективным методом является структурное резервирование. А для обеспечения среднего времени безотказной работы системы длительного существования – нагрузочное резервирование.

Задачи выбора критериев и показателей надежности сложных систем можно сформулировать так: дана сложная система и требования на ее надежность в виде семейства критериев. Требуется определить набор критериев, который обеспечивал бы все требования и одновременно не содержал бы противоречивых критериев. Решая эту проблему, придется во многих случаях формулировать новые критерии, так как задача в такой постановке является некорректной из-за однозначных зависимостей между существующими критериями. Таким критерием может быть обобщенный критерий: Фор16.