Методы и проблемы расчета надежности систем с большим числом состояний
При разработке математической модели технические системы с большим числом состояний, как правило, сталкиваются со следующими препятствиями, существенно затрудняющими анализ ее надежности:
Неоднозначность понятия отказа системы
Взаимовлияние отказов элементов и частей системы
Неопределенность исходных данных
Многокритериальность
Восстанавливаемость
Наличие избыточности (естественно или искусственной, введенной с целью повышения надежности)
Наличие контроля состояния
Возможность перестройки структуры системы
Одной из центральных проблем надежности больших систем следует считать разработку математического аппарата для его расчета, анализа и прогнозирования.
Сложность
технической системы и большое число
состояний ее функционирования приводит
к необходимости решения систем уравнений
весьма больших размерностей. Так,
например в системе из nэлементов различной надежности с
наружным резервом, обслуживаемый одним
оператором насчитывается
,
гдеAin– число размещений
отnпоi.
Даже для простейших схем (типа дублированной
системы элементов) могут быть сотни
состояний, если учитывать контроль
состояний, переключение на резерв и
другие особенности реальной системы.
В настоящее время для анализа надежности
больших систем, как правило, используется
общеизвестный математический аппарат,
основанный на метода имитационного
моделирования, асимптотического анализа,
случайных процессов и связанных с ними
интегро-дифференциальных уравнений.
На основе этих методов расчеты
характеристик надежности больших
систем, обладающих значительной
сложностью, достаточно редко могут быть
приведены для численных результатов с
требуемой точностью
Надежность нерезервированной системы
Рис17 – схема надежности нерезервированной системы. Такое соединение в теории надежности называется основным. В данном случае отказ системы происходит при отказе элемента с минимальным временемисправной работы.
Xc=min(X1,X2…Xn),
гдеXi– время до отказа
– случайные величины, которые не зависят
друг от друга.Xc– время
работы системы до отказа, при этом
остальные элементы прекращают свою
работу. По теории умножения вероятностей
получим:P(Xc>t)=P[min(X1,X2…Xn)]=
Где t– время функционирования системы. Интенсивность отказа такой системы (с основным соединением элементов) равна сумме интенсивностей отказов ее элементов, независимо от законов распределения времени до отказов. Если элементы имеют одинаковую надежность, тогда λс(t)/λ(t)=n. Это означает, что интенсивность отказа системы, составленной из равнонадежных элементов вnраз превышает интенсивность отказа элемента.
Если интенсивность отказа является постоянной величиной, то среднее время безотказной работы будет равно: T=1/λc.
Основным способом повышения надежности и снижения техногенного риска является структурное резервирование, которое реализуется путем введения в систему дополнительных элементов узлов блоков. Рассмотрим системы с постоянно включенным резервом и резервом замещения.
Постоянно включенный резерв
Структурная
схема: рис18. Элемент с номером 0 является
основным, а остальные – резервные. Общее
число элементов в системе: m+1,
гдеm– красность
резервирования. В данном случае отказ
системы наступает при отказе элементов
смаксимальным временем работы, то
есть:Xc=max(X0,X1….Xm).
По теореме умножения вероятностей:P(Xc<=t)=
.
Отсюда следует, что вероятность отказа
системы равна произведению вероятностей
отказов ее элементов. ТогдаQc(t)=
.Pc(t)=1-
.
На практике
часто имеют место случаи, когда основная
система и все резервные одинаковые и
имеют вероятность безотказной работы
P(t). Тогдаλc=P’c(t)/Pc(t).
Тогда время безотказной работы равно
.
В этом случае с ростом кратности
резервирования среднее время безотказной
работы растет медленно.