Глава 2. Алгебры и алгебраические системы

2.1. Фундаментальные алгебры

Под алгеброй A = <M, S> мы понимаем совокупность множества М и заданных на нем операций S = {O1, O2, . . . ,On}. Множество М называется носителем алгебры, S – сигнатурой.

Операции Oi не обязательно бинарны, но конечноместны, сигнатура их свойств конечна. Само множество М может быть как конечно, так и бесконечно, но не является пустым.

Классическое определение фундаментальной (универсальной) алгебры требует, чтобы операции S = {O1, O2, . . . ,On} были всюду определены на множестве M [1,3].

Рассмотрим классификацию фундаментальных алгебр [1- 4]. Алгебра вида A=<M, ◦> , где ◦ – двухместная операция, называется группоидом. Если операция ◦ типа сложения, то группоид на-

зывается аддитивным, если операция ◦ типа умножения, то группоид мультипликативный.

В зависимости от свойств двухместной операции ◦ группоид мо-

жет быть коммутативным (абелевым), идемпотентным или ас-

социативным. Ассоциативный группоид называется полугруппой. Введем понятие нейтрального элемента для фундаментальных

алгебр. Элемент e M называется правым	нейтральным эле-
ментом, если x M , x e = x . Элемент	e M называется ле-
вым нейтральным элементом, если x M , e x = x .

Если элемент e M одновременно и левый и правый, то он на-

зывается нейтральным элементом (двухсторонним).

Если группоид <M, ◦> мультипликативный, то нейтральный элемент называется единицей и обозначается 1. Если группоид <M,

◦> аддитивный, то нейтральный элемент называется нулем и обозначается 0.

На рис. 2.1 приведена классификация фундаментальных алгебр. Свойства группоидов отражены на рис. 2.2.

40

41

Алгебра

Одна операция Группоид (x – мультипликативный,

+ – аддитивный)

Коммутативный			Идемпотентный
группоид			группоид
(абелев)
Ассоциативный
группоид
(полугруппа)
Моноид
(полугруппа с 1)
Группа
(Моноид с а-1)

Две операции

Кольцо

(x – мультипликативный группоид, + - абелева группа, дистрибутивность X относительно +)

Тело (группа по умножению)

Поле (абелева мультипликативная группа)

Решетка (ассоциативность, коммунитативность,

идемпотентность, поглощение)

Дистрибутивная решетка			Решетка с дополнением		Ограниченная решетка
(два закона			(законы с обратным		(законы с 0 и 1)
дистрибутивности)			элементом a-1)

Рис. 2.1

	Алгебры		Свойства
	Одна операция
	Группоид
	(x – мультипликативный, + - аддитивный)
	Ассоциативный		Свойство ассоциативности
	группоид
42	(полугруппа)		(a ◦ b) ◦ c = a ◦ ( b ◦ c)
	Моноид		Группа
	(полугруппа с 1)	(Моноид с а-1)
	Коммутативный		Свойство коммунитативности
			a ◦ b = b ◦ c
	группоид
	(абелев)
	Идемпотентный		Свойство идемпотентности
			a ◦ a = a
	группоид
			Рис. 2.2

Теорема 2.1. Никакой группоид не может иметь более одного нейтрального элемента.

Полугруппа с нейтральным элементом называется моноид, т.е.

e : a a e = e a = a .

Моноид, в котором для каждого элемента а существует обратный элемент а-1, называется группой, т.е.

a a −1 : a a −1 = a −1 a = e .

Теорема 2.2. Обратный элемент единственен.

Например, множество невырожденных матриц – группа относительно операции умножения.

Рассмотрим алгебру с двумя операциями A =< M , , >, где

– операция типа сложения, а – типа умножения.

Алгебра A =< M , , > называется кольцом тогда и только то-

гда, когда она по умножению – мультипликативный группоид, по сложению – абелева группа, и выполняются законы дистрибутивности умножения относительно сложения:

a (b c) = a b a c , (b c) a = b a c a .

Таким образом, для кольца (ассоциативного) справедливы свойства, приведенные в табл. 2.1.

			Таблица 2.1
	Свойства колец (ассоциативных)
	Свойство	Пояснение	Вывод
	a (b c) = (a b) c	Сложение ассоциа-
		тивно
	0 M , a a 0 = 0 a = a	Существует 0	Абелева группа
		Существует обрат-
	a a−1 : a a−1 = 0		по сложению
		ный элемент
	a b = b a	Сложение комму-
		тативно
	a (b c) = (a b) c	Умножение ассо-	Полугруппа по
		циативно	умножению
	a (b c) = a b a c,	Умножение дист-	Выполняются
	(b c) a = b a c a		законы дистрибу-
		рибутивно	тивности

43

Кольцо, у которого все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом. Свойства тел приведены в табл. 2.2.

			Таблица 2.2
	Свойства тел
Свойство		Пояснение	Вывод
a (b c) = (a b) c		Сложение ассоциа-
		тивно
0 M ,		Существует 0	Абелева груп-
a a 0 = 0 a = a
			па по сложе-
		Существует обрат-
a a−1 : a a−1 = 0			нию
		ный элемент
a b = b a		Сложение коммута-
		тивно
a (b c) = (a b) c		Умножение ассо-	Группа по
		циативно	умножению
a a−1 : a a−1 =1		Существует обрат-
		ный элемент
1 M ,		Существует 1
a ≠ 0 a 1 =1 a = a
a (b c) = a b a c		Умножение дистри-	Выполняются
(b c) a = b a c a		бутивно	законы дист-
			рибутивности

Тело, у которого мультипликативная группа – абелева, называется полем. Свойства полей приведены в табл. 2.3.

Например, <R, +, *> – поле вещественных чисел,<Q, +, *> – поле рациональных чисел, где «+» – операция сложения, а «*» – операция умножения.

Решетка – алгебра с двумя бинарными операциями и ∩ , такими, что выполняются условия, отраженные в табл. 2.4.

Например, алгебра множеств (алгебра Кантора) – дистрибутивная ограниченная решетка с дополнениями.

44

										Таблица 2.3
						Свойства полей
			Свойство					Пояснение		Вывод
	a (b c) = (a b) c						Сложение ассоциа-
							тивно
										Абелева
	0 M , a a 0 = 0 a = a						Существует 0
	a a	−1	: a a		−1	= 0	Существует		обрат-	группа по
							ный элемент			сложению
	a b = b a						Сложение		комму-
							тативно
	a (b c) = (a b) c						Умножение		ассо-
							циативно
										Абелева
	a a−1 : a a−1					=1	Существует		обрат-
							ный элемент			группа по
	a b = b a						Умножение		ком-	умножению
							мутативно
	1 M , a ≠ 0 a 1 =1 a = a						Существует 1
	a (b c) = a b a c						Умножение		дист-	Выполняются
	(b c) a = b a c a									законы дистри-
							рибутивно			бутивности
										Таблица 2.4
						Свойства решеток
				Свойства					Вывод
	a ∩a = a , a a = a							Идемпотентность
	a ∩b = b ∩a , a b = b a							Коммутативность
	a ∩(b ∩c) = (a ∩b) ∩c							Ассоциативность
	a (b c) = (a b) c
	(a ∩b) a = a ,			(a b) ∩a = a				Поглощение
	a ∩(b c) = a ∩b a ∩c							Дистрибутивная решетка
	a (b ∩c) = (a b) ∩(a c)
	0 M , a 0 ∩a = 0							Решетка ограниченная
	1 M , a 1 a =1
	a a−1 : a a−1 =1, a ∩a−1 = 0							Решетка с дополнениями

45