Если нечеткое множество задано в дискретном виде, то α- сечение определяется следующим образом.

Задача 7.8. Для А = 1/1+0,8/2+0,5/3+0,1/4 определить α-сечение при α = 0,1, α = 0,5 и α = 1.

Решение. А0,1={1,2,3,4}, А0,5={1,2,3}, А1={1}.

Теорема 7.1 (о декомпозиции). Любое нечеткое множество А

можно представить в виде A = maxα× Aα .

α

Доказательство. Обозначим через В нечеткое множество с

функцией принадлежности μB (x) = max α× Aα . Зафиксируем неко-

α

торую точку x U . Пусть μA (x) = a . Тогда при α≤ a и β > a , со-

ответственно, имеем μA (x) =1	и	μA (x) = 0 . Таким образом,
α		β
max α× Aα (x) = μβ (x) = a . Итак,	при	x U имеем μA (x) = μB (x) ,
α

что означает равенство множеств А и В.

7.5.Индекс нечеткости

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество А) лишь в частной мере, т.е. 0 <μA (x) <1, то внутренняя

неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, «обладающих свойством R», и классу объектов, «не обладающих свойством R».

Эта двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам равны, т.е. μА(х) = μА(х) = 0,5 , и ми-

нимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо μА(х) =1 и μА(х) = 0 , либо μА(х) = 0 и μА(х) =1.

Если объединить такие «двусмысленности» по всем объектам данного нечеткого множества, то итоговая характеристика будет называться индексом нечеткости. Нечеткие множества могут иметь разную степень нечеткости. Меры нечеткости важны в приложениях теории нечетких множеств. Этот показатель является параметром оценки качества различных процедур и алгоритмов в распознавании образов, принятии решений, моделях поиска информации и т.п.

254

Исторически первыми были разработаны методы оценки нечеткости через энтропию, однако они обладают определенными недостатками и пригодны не для всех приложений. В настоящее время чаще применяется метрический подход, хотя в прикладных целях иногда разрабатываются и используются иные способы подсчета индекса нечеткости, объединенные в так называемый аксиоматический подход.

7.5.1. Оценка нечеткости через энтропию

Этот подход к оценке степени нечеткости множества базируется на использовании понятия энтропии в физике. Степень неопределенности компонент физической системы относительно вероятности ее состояния составляет содержание понятия энтропии. Поэтому желание использовать его для вычисления степени нечеткости (неопределенности) множества являлось естественным в силу очевидной аналогии. Напомним определение энтропии.

Пусть Ω1 ,Ω2 ,...,Ωn - состояния системы, p1 , p2 ,..., pn – вероятности состояний. Энтропия системы H ( p1 , p2 ,..., pn ) определяется как

n

H ( p1 , p2 ,..., pn ) = −∑pi ln pi .

i=1

Если перед знаком суммы поставить нормировочный коэффи-

циент ln1n , то значение энтропии будет меняться в пределах от 0

до 1.

Непосредственно из данного определения вытекают следующие

свойства энтропии:
а)	H = 0 (минимально), если j (1 ≤ j ≤ n) ( pj =1) ;
б)	H = ln n (максимально), если j (1 ≤ j ≤ n) ( pj =	1	) .
		n

Оценка степени нечеткости через энтропию заключается в следующем.

1. Проводится «нормировка» нечеткого множества А:

255

• вычисляется величина С(А) = ∑μA (xi ) (для конечного уни-

xi U

версального множества). Эта величина называется «мощностью нечеткого множества»;

• строится нечеткое множество А' :

μА' (х) = μСА((Ах)) .

Множество А' и есть пронормированное множество А.

2. В качестве степени нечеткости А берется значение пронормированной формулы энтропии для пронормированного множества А:

ξ(А) = − 1 ∑μA' (xi )ln μA' (xi ) . ln n xi U

На самом деле рассчитанное с помощью энтропийного подхода значение степени нечеткости зависит не от собственного значения функции принадлежности, а от их относительных значений. Это приводит к ряду «парадоксов», например к тому, что степень нечеткости четкого множества U (содержащего все элементы) максимальна, тот же результат (максимум, т.е. 1) получим, если все элементы U имеют равную, отличную от нуля или единицы степень принадлежности (например, 0,5 или 0,1).

Также интересен тот факт, что степень нечеткости множеств (как четких, так и нечетких) минимальна (равна нулю) в случае, если имеется единственный ненулевой элемент. Из сказанного вытекает, что энтропийная мера нечеткости обладает недостатками. Тем самым важно иметь в виду другие подходы к оценке степени нечеткости.

7.5.2. Метрический подход к оценке нечеткости

Метрический подход к оценке нечеткости основан на понятии расстояния между нечеткими множествами. Идея метрического подхода заключается в оценке степени нечеткости как расстояния между оцениваемым множеством и некоторым множеством с известной степенью нечеткости, например с ближайшим четким множеством.

256

Расстояние между нечеткими множествами. Пусть A и B –

нечеткие подмножества универсального множества U. Расстоянием между А и В называется величина r(A, B), если

выполняются следующие условия:

1)r(A, B) ≥0 – неотрицательность;

2)r(A, B) = r(B, A) – симметричность;

3)r(A, B) ≤ r(A, C) + r(C, B);

4)r(A, A) = 0.

Расстояние Хемминга (линейное расстояние):

n

r( A, B) = ∑| μA (xi ) − μB (xi ) | .

i=1

Очевидно, что r(A, B) [0; n].

Евклидово (квадратичное) расстояние:

n

e( A, B) = ∑(μA (xi ) − μB (xi ))2 ;

i=1

e( A, B) [0; n ].

Относительное расстояние Хемминга:

r'( A, B) = 1 ∑n | μA (xi ) − μB (xi ) | ; n i=1

r'( A, B) [0;1].

Относительное евклидово расстояние:

		1	n
	e'( A, B) =		∑(μA (xi ) − μB (xi ))2 ;
		n
			i=1
		e'(A, B) [0;1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае, когда U бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если U счетное, то

∞

r( A, B) = ∑| μA (xi ) − μB (xi ) | ;

i=1

∞

e( A, B) = ∑(μA (xi ) − μB (xi ))2 ;

i=1

257

если U = R (числовая ось), то

r( A, B) = ∞∫| μA (xi ) − μB (xi ) | dx ;

	−∞
e(A, B) =	∞∫(μA (xi ) − μB (xi ))2 dx .
	−∞

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие определения понятия расстояния. Выбор того или иного расстояния зависит от природы рассматриваемой проблемы. Каждое из них обладает своими преимуществами и недостатками, которые становятся очевидными в приложениях.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому. Пусть A – не-

четкое множество. Вопрос: какое обычное множество является ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от нечеткого множества A.

Таким подмножеством, обозначаемым А, является подмножество с функцией принадлежности:

0,	если μА(х) < 0,5;
μA (x) = 1,	если μA (x) > 0,5;
0	или 1, если μА(х) = 0,5.

Если μА (х) = 0,5 обычно принимают μА(х) = 0 .

Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным множеством:

А∩ В = А∩ В , А В = А В .

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.

Линейный индекс нечеткости:

dr ( A) = 1n r(A, A) .

Здесь r( A, A) – линейное (хеммингово) расстояние, множитель 1/п обеспечивает выполнение условия 0 < dr(A) < 1.

258