2. (5)

Решив совместно уравнение (3) и (5), выразим усилия Nи через F:

Из второго уравнения выразим N:

Подставим это выражение в первое уравнение системы

.

Выполним преобразования

Тогда

Определим напряжения в стержнях и сравним с допустимыми:

< [] = 160МПа;

<[] = 160МПа.

Значит стержни проходят на прочность.

Задача 2. Расчет системы с учетом неточности изготовления стержней

Первый стержень шарнирно – стержневой системы изготовлен короче проектного размера на величину = 2 мм. Площади поперечного сечения стальных стержней равныА₁ = 0,8·10^–3 м², А₂ = 1,2·10^–3 м², Е = 2·10⁵ МПа.

Пример решения. В шарнирно – стержневой системе (рисунок 4) стержень 2 выполнен короче проектной длины на величину м (по сравнению с длиной стержня весьма мало). В связи с этим после монтажа в стержнях возникли начальные (монтажные) напряжения. Требуется определить эти напряжения и сравнить с допустимыми.

Рисунок 4 – Схема с монтажной погрешностью

Данные для расчета:

в = 3 м; А = 10^-3 м²; ; Е =,[] = 160МПа.

Решение

Направление внутренних усилий в стержнях ивыбираем из условия, что после сборки системы стержня 1 сжимается, а стержень 2 растягивается. Значит усилиенаправлено вдоль стержня к брусу, а усилие– от бруса (рисунок 5).

Рисунок 5 – Система в деформированном виде

Приведем уравнение равновесия бруса ВАС.

(1)

В данное уравнение входят два неизвестных усилия. Следовательно, рассматриваемая шарнирно – стержневая система один раз статически неопределима.

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим систему в деформированном виде (рисунок 5). После монтажа системы брус АВС повернется в положение В₁АС₁ , т.е. точка С переместится в положение С₁, а точка В в положение В₁. Восстановив из точки В₁ перпендикуляр на первоначальное направление стержня 2, получим точку D. Следовательно, деформация стержня 2 () выражается его удлинением на величину отрезкаВ₀D. Отрезок СС₁ представляет укорочение (деформацию ) стержня 1.

Для установления зависимости между величинами ирассмотрим подобие треугольниковАВВ₁ и АСС₁., из которого следует:

,

где СС₁ =;ВВ₁ =.

Тогда или.

Следовательно, уравнение совместности деформаций имеет вид:

(2)

На основании закона Гука

; .

Подставляя эти выражения в уравнение (2) и , зная, что

, ,,

получаем: .

Отсюда .

Подставив это выражение в уравнение (1), получим:

.

Отсюда

.

Тогда

.

Определим напряжение в стержнях:

< [] = 160МПа;

< [] = 160МПа.

Значит стержни по условию прочности проходят.

Задача 3. Расчет системы с учетом перепада температур

Первый стержень выполнен из стали с модулем упругости первого рода Е_с = 2·10⁵ МПа и коэффициентом линейного расширения _с = 125·10^–7 град^–1, второй из меди с Е_м = 10⁵ МПа и _м = 160·10^–7 град^–1. Площади поперечного сечения стержней А_с = 1,2·10^–3 м², А_м = 1,5·10^–3 м². Система после сборки получила положительный перепад температуры t = 50⁰ С.

Пример решения. В шарнирно – стержневой системе (рисунок 6) первый стержень стальной с площадь поперечного сечения А_с = 10^-3 м², второй медный с площадью поперечного сечения .Система после сборки получила положительный перепад температуры. Необходимо определить температурные напряжения в стержнях, возникшие в результате изменения температуры элементов системы и сравнить с допустимыми.

Рисунок 6 – Исходная схема

Данные для расчета:

; ;;; []_с = 210 МПа;

[]_v = 110 МПа..

Коэффициенты линейного расширения

; ;

Решение

Для определения направлений внутренних усилий, возникающих в стержнях, в первую очередь, необходимо оценить значения коэффициентов термического расширения для стали и меди. Стержень, для которого этот коэффициент окажется больше, имеет большее деформационное воздействие на систему.

Вычислим значения этих коэффициентов для рассматриваемой системы

град^–1;

.

Так как , следовательно, стальной стержень как бы, «пережимает» медного стержня.

При нагреве за счет удлинения стержней брус из положения ВАС повернется в положение В₁АС₁ (рисунок 7). При этом абсолютные деформации стержней составят величины и.

Рисунок 7 – К расчету температурных напряжений

Однако, если рассмотреть деформации стержней в отдельности друг от друга, то выясняются следующие особенности.

Точка С стального стержня при нагреве, если бы ему не препятствовал медный стержень, переместилась бы в точку . То есть температурная деформация составила бы величину. При отсутствии стального стержня медный стержень удлинился бы на величину(точкаВ переместилась бы в точку ) Поскольку, как отмечалось выше, деформационное воздействие стального стержня на систему больше, чем медного, то последний дополнительно удлиняется на величину силовой деформации. А деформациястального стержня за счет сопротивления медного уменьшится на величину .

Тогда

, .

Таким образом, стальной стержень оказывается сжатым за счет силового сопротивления медного стержня (усилие N_C направляем к брусу), а медный стержень за счет дополнительного воздействия со стороны стального стержня растягивается (усилие N_M направляем от бруса).

Уравнение равновесия системы при этом имеет вид:

(1)

По аналогии с предыдущими задачами при двух неизвестных продольных силах иимеется одно уравнение равновесия, следовательно, система один раз статически неопределима.

Дополнительное деформационное уравнение получим из соотношения треугольников и:

,

где ;

.

Тогда

или . (2)

Исходя из закона Гука и закономерности температурного расширения, запишем:

; ;;,

где ;

Подставив эти зависимости в уравнение (2) получаем:

или .

Подставляем числовые значения

.

Откуда . (3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), получаем

.

Тогда .

Вычислим напряжения в стержнях:

< []_с = 210 МПа;

< []_м = 110 МПа.

Значит стержни проходят по условию прочности.

Контрольные вопросы к РГР №1

1. Что такое абсолютная и относительная деформации?

2. Что такое напряжение?

3. Виды напряжений?

4. Закон Гука?

5. Что такое жесткость поперечного сечения?

6. Что характеризует величина Е?

7. В чем заключается метод сечений?

8. Вид деформаций в стержнях?

9. Какое напряжение действует в поперечном сечении стержня?

10. Как определить степень статической неопределимости системы?

11. Условие прочности при растяжении (сжатии)?

12. С какой целью используется коэффициент термического расширения?

13. По какому правилу выбирается направление внутреннего усилия в стержне?

РГР №2 – Геометрические характеристики плоских сечений

Задание. Для заданного сечения (рисунок 8) и номера варианта профилей (таблица 2) определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.

Методические указания. Если в таблице 2 поставлена буква Б при том или ином профиле, то нужно брать больший профиль из помещенных в таблице, при букве М – меньший профиль.

При расчете все необходимые геометрические и другие данные профилей следует брать из таблиц сортамента прокатной стали [1, 2, 3, 4].

В сечении, состоящем из двух фигур, центр тяжести всего сечения находится на отрезке, соединяющем центры тяжести этих фигур (ближе к большей).

Рисунок 8 – Профили поперечных сечений

Рисунок 8 – Профили поперечных сечений

(продолжение)

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции сечения. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения – один J_max, другой J_min и называются главными моментами инерции.

Если есть хотя бы одна ось симметрии фигуры, то эта ось и перпендикулярная к ней центральная ось являются главными центральными и, соответственно, центробежный момент инерции такой фигуры равен нулю.

Таблица 2 – Номера вариантов и виды профилей

№ варианта	Вид профиля
1	75×50×8	63×40×6	63×63×6	12	10	8	5
2	90×56×8	75×50×6	70×70×8	14	12	10	6,5
3	100×63×8	80×50×6	75×75×8	16	14	12	8
4	110×70×8	90×56×6	80×80×8	18	16	14	10
5	125×80×8	100×63×6	90×90×8	18а	18	14а	12
6	141×90×8	110×70×7	100×100×8	20	18а	16	14
7	90×56×8	75×50×6	70×70×8	12	10	8	5
8	75×50×8	63×40×6	63×63×6	14	12	10	6,5
9	100×63×8	80×50×6	75×75×8	14	12	10	6,5
10	110×70×8	90×56×6	80×80×8	16	14	12	8

Центробежные моменты инерции уголков приведены в соответствующих стандартах [3, 4]. Их значения являются положительными в том случае, если зев уголка с его центром тяжести располагается во втором или четвертом квадранте координатных осей, проведенных по боковым граням уголка. Отрицательное значение центробежный момент инерции принимает в первом и третьем квадрантах.

Пример решения. Для поперечного сечения, состоящего из швеллера и равнополочного уголка (рисунок 9) определить положение главных центральных осей и величину главных центральных моментов инерции.

Рисунок 9 – Поперечное сечение

Данные для расчета:

Фигура 1 – швеллер № 20 ГОСТ 8240-97 (рисунок 10):

hмм; Асм;

вмм; z см;

Jсм⁴; J см.

Фигура 2 – уголок 80808 ГОСТ 8509–93

вмм; А см;

zсм; JJ;

Jсм.

Рисунок 10 – Геометрические размеры сечений

Решение

1. Определим положение центра тяжести сложного сечения (рисунок 9). Разобьем сложное сечение на составляющие фигуры 1 и 2. За вспомогательные оси сечения выберем систему координат Z Y₂. Это удобно, так как в системе этих осей координаты центров тяжести элементарных фигур не будут принимать отрицательных значений. Найдем координаты центра тяжести сложного сечения по формулам:

; y,

где ,–суммарные статические моменты инерции эле-

ментарных фигур относительно вспомогатель-

ных осей Z Y₂.

z cм;

см;

В этом случае согласно рисунка 5:

z см; z=0;

= 0; уcм.

Полученные координаты центра тяжести сечения отложим от вспомогательных осей Z₁ Y₂ и через найденную точку проведем центральные оси Z_с Y_с параллельно осям ZY.

2. Найдем величины осевых и центробежных моментов инерции сечения относительно центральных осей Z_с Y_с. Для этого используем формулы перехода от центральных осей к параллельным:

;

;

, (1)

где ,осевые и центробежные моменты

инерции элементарных фигур от-

носительно центральных осей

всей сложной фигуры;

, – осевые моменты инерции этих же фигур относи-

тельно собственных центральных осей. Эти ве-

личины найдены по таблицам сортамента прокат-

ных профилей;

координаты центров тяжести швеллера и уголка от-

носительно центральных осей всего сечения;

–центробежные моменты инерции швеллера и уголка

относительно собственных центральных осей.

Как видно из рисунка 9,

см;

см;

см;

см.

Поскольку оси ZYявляются главными осями сечения швеллера, то.

Для определения знака уголка пользуемся правилом: если зев уголка с его центром тяжести располагается в 1 или 3 квадрантах координатных осей, центробежный момент инерции принимается отрицательным, если в 2 или 4 квадрантах – положительным. В нашем случае зев уголка расположен в 3 квадранте, значит

J см.

Подставив численные значения в формулы (1), получим: